а) Метод сведения системы к одному ДУ.
Продифференцируем первое уравнение: 
. Подставим в полученное равенство из второго уравнения 
, получим: 
. Выразим 
из первого уравнения: 
и подставим в последнее равенство. Получим 
или, окончательно, после преобразований: 
– линейное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составим характеристическое уравнение: 
и найдем его корни: 
. Следовательно, общее решение полученного ДУ будет иметь вид: 
.
Найдем , используя равенство: . Имеем:
.
Итак, найдено общее решение системы: 
.
Подставляя начальные условия: 
, найдем частное решение: 
Ответ: 
.
Б) Алгебраический метод.
Будем искать решения системы в виде 
.
Подставим в систему, получим:
( 
) 
. 
Для того чтобы система (*) имела нетривиальное решение н. и д., чтобы её определитель равнялся нулю. Имеем
– характеристическое уравнение.
– характеристические числа.
Подставим их в систему .
При 
. Пусть 
, тогда 
.
Значит, корню 
соответствует частное решение: 
.
При 
. Пусть 
, тогда .
Получим другое частное решение системы: 
.
Составляя линейные комбинации полученных частных решений, получим окончательно:
– общее решение.
Подставляя начальные условия, найдем частное решение системы:
Ответ: .
В) Операторный метод.
Введем изображения искомых функций и их производных:
, 
,
,
.
Тогда система примет вид:
.
Решим системы методом Крамера:
;
; 
Откуда:
; 
.
По таблицам преобразования Лапласа находим частное решение системы дифференциальных уравнений:
Ответ:
14. Найти общее решение системы ДУ: 
.
Решение:
Будем решать эту систему алгебраическим методом.
Ищем решения в виде 
.
Подставим в систему, получим:
Составим характеристическое уравнение:
.
Решая уравнение, находим 
–характеристические числа. Подставим их в систему 
.
.
Тогда, 
– частное решение, соответствующее корню 
.
.
Тогда, 
частное решение, соответствующее корню 
.
.
Тогда, 
частное решение, соответствующее корню 
.
Общее решение системы будет иметь вид:
Ответ:
15. Составить уравнение кривой, проходящей через точку 
и обладающей тем свойством, что в каждой её точке угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точки касания.
Решение:
Обозначим за 
угол, образованный касательной к искомой кривой 
в произвольной точке 
этой кривой (Рис. 1). Тогда 
.
По условию задачи 
– дифференциальное уравнение.
Общее решение этого дифференциального уравнения: 
.
Найдём 
, используя условие задачи:
.
Тогда уравнение искомой кривой будет иметь вид: 
.
Это уравнение параболы.
 |
Рис.1.
Ответ: .
Список литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. тт.I и II,М: Наука, 1985.
2. Письменный Д. Курс лекций по высшей математике. 1 и 2 часть, М: Айрис-пресс, 2005.
3. Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для втузов, ч.1 и 2, М: Наука, 1993.
4. Данко П.Е. и др.Высшая математика в упражнениях и задачах. М: Высшая школа, 1999.