Решение ОНС трех уравнений ДУ (1).

П. 4 Системы дифференциальных уравнений.

 

Общие понятия. Нормальные системы.

Определение.Системой ДУ называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная t, искомые функции и их производные.

Примеры.

1) , где .

2) , 3) , 4) . 5) .

Определение. Нормальной системой n ДУ 1-гго порядка с n неизвестными называется система уравнений вида:

. – система трех ДУ 1-го порядка с 3 неизвестными (*).

В примере это1, 2 и 5 системы.

Замечание. Рассмотрим лишь системы трех линейных ДУ 1-го порядка с 3 неизвестными.

 

Определение. Общее решение нормальной системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид: , где С₁, С₂, С₃ – произвольные постоянные. (**)

Замечание 1.Количество произвольных постоянных системы ДУ 1-го порядка равно количеству неизвестных функций системы.

Замечание 2. В выражения некоторых искомых функций могут входить не все произвольные постоянные. Но в общем решении должны присутствовать все произвольные постоянные, например, .

Задача Коши. Начальные условия для системы (*): , , . Для нахождения частного решения системы (*), подставляем начальные условия в общее решение (**). Получим систему алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных. Определитель данной системы – вронскиан.

Теорема Коши. Если правые части нормальной системы (*) непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности значений t₀, х₀, y₀, z₀ , то существует единственная система функций x(t), y(t), z(t), являющаяся решением системы и удовлетворяющая заданным начальным условиям.

Замечание. Механическая иллюстрация решений нормальной системы двух линейных ДУ с двумя неизвестными .

Пусть (х,у) – координаты точки на плоскости (Оху), которую называют фазовой плоскостью.

Параметрическое уравнение х = x(t), y = y(t) – параметрическое задание линии на фазовой плоскости. Если t – время, то функции х = x(t), y = y(t) выражают законы движения проекций движущейся точки на оси координат, линия х = x(t), y = y(t) – траектория движения, – проекции скорости движущейся точки на оси координат.

 

Определение. Неоднородной нормальной системой (ННС) трех линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами с тремя неизвестными называется система вида: .

Определение. Однородной нормальной системой (ОНС) трех линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами с тремя неизвестными называется система вида: . (1)

Замечание. Рассмотрим решение только однородных нормальных систем трех (двух) линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами.

Определение.Общим решением ОНС называется . (2)

Замечание (Задача Коши) . Для нахождения частного решения надо подставить заданные начальные условия , , в общее решение (2). В итоге получим систему алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных. Данная система будет иметь решение тогда и только тогда, когда определитель данной системы – вронскиан – не будет равен нулю ни при каких значениях t₀: .

Определение. Совокупность трех частных решений, удовлетворяющих условию . Образуют фундаментальную систему решений.

Определение. Матрица – матрица нормальной НОС (1).

Определение. Уравнение det (A – rE) = 0 или =0 (3)

называется характеристическим уравнением системы, числа r_i, i = 1, 2, 3, называются собственными числами.

 

Решение ОНС трех уравнений ДУ (1).

1 метод. Сведение к одному ДУ.

Нормальная однородная система может быть заменена одним однородным ДУ, порядок которого равен числу уравнений системы. (Нормальные неоднородные системы ДУ сводятся к неоднородным уравнениям).

И обратно, одно ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, с помощью введения новых вспомогательных функций всегда можно свести к нормальной системе, например, уравнение с помощью вспомогательных функций сводится к системе