Определение.Любое подмножество множества называется бинарным отношением.
Аналогичным образом можно рассматривать декартовы произведения трёх и более множеств. Их подмножества будут называться тернарными и т.п. отношениями.
Изучим понятие бинарного отношения более подробно, так как оно является важным не только для математического анализа, но и для компьютерной математики.
Задавать бинарные соотношения конечных множеств можно, например, с помощью таблиц. Например, пусть . Зададим отношение
свойством: пара
принадлежит отношению
тогда и только тогда, когда
есть делитель
. Отношение
, таким образом, состоит из пар:
Это бинарное отношение можно задать матрицей, состоящей из 0 и 1. Её строки соответствуют элементам множества , столбцы – элементам множества
. Элемент этой матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда он стоит на пересечении строки и столбца, соответствующих паре
, для которой
.
Определение.Элемент называется проекциейэлемента
на множество
. Для произвольного подмножества
его проекцией на
называется множество, состоящее из проекций на
всех элементов множества
.
Определение. Сечением множества
называется множество
элементов
, для которых
. Множество сечений отношения
называется фактормножеством
по отношению
и обозначается
.
Так как отношения представляют собой множества, к ним можно применить операции, определённые в предыдущем параграфе. Но кроме этих операций есть ещё важные операции композиции и симметризации.
Пусть даны множества и отношения
.
Определение. Композицияотношений - это отношение
между элементами множеств
и
такое, что для всех
сечение множества
по
совпадает с сечением множества
по подмножеству
, т.е.
.
Если даны две пары отношений ,
и
, причём
и
, то операция композиции обладает следующим свойством:
.
Определение. Отношение, симметричноек некоторому отношению и обозначаемое
, представляет собой подмножество множества
, образованное теми парами
, для которых
. Если
и
, то
.
Предположим, что задано некоторое основное множество . Отношение
называется отношением эквивалентности, если оно обладает такими свойствами:
1. Рефлексивностью: всякий элемент эквивалентен самому себе. Иными словами, для любого
пара
.
2. Симметричностью: для любых двух элементов из того, что
эквивалентен
следует, что
эквивалентен
. Другими словами, если
, то
. Это означает, что отношение
совпадает со своим обратным,
.
3. Транзитивностью: если эквивалентен
, а
эквивалентен
, то
эквивалентен
. Иначе говоря, если
и
, то
.
Очень часто отношение эквивалентности элементов обозначается так:
.
Важным понятием является понятие класса эквивалентности. Класс эквивалентности элемента состоит из всех элементов
, эквивалентных элементу
. Для неэквивалентных элементов их классы эквивалентности не пересекаются. Множество классов эквивалентности называется фактормножествоммножества
по отношению
и обозначается
. Если взять ровно по одному элементу из каждого класса эквивалентности, получим системупредставителей.
ОТОБРАЖЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА
Определение.Назовём бинарное отношение функциональным, если для каждого
сечение
содержит не более одного элемента.
Определение.Если отношение , симметричное к отношению
, также является функциональным, то отношение
называется взаимно однозначным.
Определение.Если для каждого сечение
содержит ровно один элемент, то функциональное отношение всюду определено.
С функциональным отношением непосредственно связано понятие отображения.
Определение. Отображение, обозначим его , сопоставляет каждому элементу, называемому аргументом отображения, для которого сечение
- непустое множество, единственный элемент
подмножества
множества
. Этот элемент
называется образомэлемента
при отображении
.
Множество тех элементов , для которых существует
, называется областью определения отображения
.
Определение.Если отображение определено на всём множестве
, то говорят, что задано отображение
в
.
Определение.Множество образов элементов при отображении
называется образомотображения. Если
, то образ
определяется, как множество образов элементов
.
Определение.Если образ совпадает со всем множеством , то говорят, что задано отображение
на
, или что
- сюръективное отображение, или сюръекция. (При этом требование всюду определённости не является обязательным).
Определение.Если , то
обозначает прообраз множества
, т.е. множество тех элементов
, для которых
.
Отметим очевидные свойства образа и прообраза:
.
Определение.Если отношение является взаимно однозначным, то отображение, соответствующее
, называется обратнымк
и обозначается
. Если при этом отношение
всюду определено, то
называется инъективным отображением, или инъекцией. Если, кроме того, отображение ещё и сюръективно, то оно называется биективным или биекцией.
Отметим, что выше мы использовали обозначение прообраза и в случаях, когда обратное к
отображение
не существует. Если же обратное отображение существует, то прообраз
можно рассматривать, как образ множества
при отображении
.
Наиболее часто встречающимся функциональным отношением является обычная функция , определённая на некотором подмножестве
числовой прямой, значения которой образуют множество
. Действительно, эту функциональную зависимость можно трактовать, как задание подмножества в множестве
, в которое входят те пары
, для которых выполнено равенство
. Изображение этого множества пар на плоскости носит название графика функции.