Ввиду определений 1 и 2 ясно, как следует понимать дифференцируемость функции на промежутках [a,b) и (a,b].
Пусть , a < b, – произвольный промежуток, ограниченный или неограниченный, а функция f дифференцируема на нем. Определим на этом промежутке новую функцию g: для всякой внутренней точки х положим g(х) =
(х); если точки a принадлежит
, то g(а)=
; если b принадлежит
, то g(b )=
. Функцию g, определенную на
описанным способом называют производной функцией от функции f или, проще, - производной функции f и обозначают символами
,
(х),
.
Опираясь на примеры, рассмотренные в п.п.1 и 3, можно сделать следующие выводы.
Если функция тождественно на промежутке равна константе, то ее производная равна нулю тождественно на этом промежутке ( это часто выражают записью
). Для показательной функции
имеем:
на (- ∞, + ∞); в частности, при а = е отсюда следует
. Для степенной функции
, где μ –любое вещественное число, на интервале (0,+ ∞)
; при некоторых μ, например, при μ
, это равенство справедливо на всей числовой оси. Для логарифмической функции
на (0,+ ∞)
; При а = е отсюда следует:
на (0,+ ∞). На всей числовой оси
. На каждом из интервалов
, имеем:
, а на каждом из интервалов
. На интервале (-1,1)
(пример 10). Так как при всяком х
(-1,1) arcsinx + arccosx =
(гл. 1, п. 5.6), то arccosx =
- arcsinx , и по теореме 3
. Отсюда: на (-1,1)
. На всей числовой оси
( пример 11). При любых х arctgx + arcctgx =
(гл. 1, п. 5.6). Отсюда
: .
1.8. Производные высших порядков
Пусть , a < b, – произвольный промежуток, ограниченный или неограниченный, а функция f дифференцируема на нем. Тогда на
, определена производная
. Функция
может оказаться дифференцируемой на
. В таком случае на
определена производная функции
. Эту производную называют производной второго порядка функции f и обозначают символами
.
Пример 13. На (- ∞, + ∞) имеем: Функция cosx , в свою очередь, дифференцируема на (- ∞, + ∞), и
. Значит, функция – sinx является производной второго порядка функции sinx:
.
Производную функции называют производной третьего порядка функции f . Вообще, при всяком натуральном n >1 производной порядка n функции f называют производную производной порядка n –1 этой функции.Производную порядка n функции f обозначают символами
,
. Ради единообразия производную
функции f часто называют производной первого порядка функции f.
С помощью метода математической индукции можно доказать справедливость следующих утверждений: пусть функции f и g имеют на промежутке производные до порядка n , n >1, включительно; тогда сумма и произведение этих функций также имеют на
производные до порядка n включительно, причем
, где С
;
, где
.
Приведем доказательство последнего утверждения по методу математической индукции (см.гл. 1, п.2.5). Равенство есть утверждение А(n); нужно доказать его справеждливость при всех натуральных n. При n=1 имеем: А(1) есть равенство:
; в силу теоремы 3 оно справедливо. Пусть теперь n – некоторое натуральное число; допустим, что А(n) справедливо, т.е.
. Взяв производную от обеих его частей, получим:
Заметим: ; следовательно,
Но (см. [1] , стр. 12) . Значит,
.
Таким образом, из допущения “ A(n) справедливо” вытекает справедливость A(n+1). Следовательно, установлена справедливость A(n) при всех натуральных n.