Производная и дифференциал вектор- функции
2.1. Производная вектор- функции в точке
Пусть вектор-функция определена в окрестности
точки t0 , т.е. на не- котором интервале (α,β),
, и пусть t принадлежит этой окрестности, но не совпадает с t0. Составим проиэведение скалярного множителя
на вектор разности
-
:
. Это произведение представляет собой вектор- функцию, определённую в проколотой окрестности точки t0 , и можно ставить вопрос о сущест- вовании её предела при
. В дальнейшем выражение
будем записывать в виде дроби:
.
Определение. Если существует
, то этот вектор называют произ- водной вектор-функции
в точке t0 .
Производную вектор-функции в точке t0 обозначают символами
и
. Таким образом,
Используя введённые в п.3 обозначения, можем записать:
=
=
=
.
Установим связь между производной вектор-функции и производными её координатных функций.
Теорема 7. (О связи производной вектор- функции с производными её коорди- натных функций) Пусть вектор-функция определена в окрестности
t0
, а x(t), y(t) и z(t) – её координатные функции. Тогда:
1) для того, чтобы существовала производная необходимо и достаточно, чтобы существовали производные
и
;
2) если производные и
существуют, то
=(
,
)
► Так как -
= (x(t)- x(t0), y(t)- y(t0), z(t) - z(t0)), то
=
.
1) Необходимость. Пусть существует:
. По тео- реме о покоординатной сходимости координаты вектора
являются пределами при
соответствующих координатных функций
,
,
вектор-функции
. Значит, каждая из дробей
,
,
имеет при
конечный предел, т. е. производные
и
существуют.
Достаточность. Пусть существуют и
, т.е. дроби
,
и
имеют при
пределами числа
и
соответственно. Тогда из теоремы о покоординатной сходимости следует, что существует предел при
вектор-функции
, причём числа
и
являются его координатами, т.е.
существует, причём
=(
,
) ,
2) Это утверждение уже доказано, см. Достаточность. ◄
2.2.. Дифференцируемые вектор-функции
Пусть - скалярная функция, определенная в окрестности
. t0
, а μ – - некоторое положительное число. Если
, то говорят, что при
есть “о малое” от
и при этом записывают:
=
(
).
Сформулируем аналогичное понятие для вектор- функций.
Пусть вектор-функция определена в окрестности
. t0
, а α1(t), α2(t) и α3(t) – её координатные функции:
= (α1(t), α2(t), α3(t)). Пусть, далее, μ – некоторое положительное число.
Определение. Если
, будем говорить, что при
вектор-функция
есть “о малое” от
и при этом записывать:
=
(
).
Замечание. Так как
( см. Замечание к теореме 1). а
- скалярная функция, то справедливо следующее утверждение: при
вектор-функция
есть “о малое” от
тогда и только тогда, когда её длина
при
есть “о малое” от
.
Лемма. Чтобы при вектор-функция
была “о малым” от
, необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладала каждая её координатная функция:
=
(
)
.
► Имеем: . По теореме о покоординат- ной сходимости
. ◄
Определение. Вектор-функцию назовём дифференцируемой в точке t0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки, и существует вектор
та- кой, что для приращения Δ
(h) справедливо асимптотическое представление:
Δ (h) =
h +
(3) Здесь
, Δ
(h) =
-
=
-
, а
- некоторая вектор-функ- ция
такая, что
.
Теорема 8.(Критерий дифференцируемости)Пусть вектор-функция определена в окрестности
t0
. Чтобы
была дифференцируемой в точке t0 , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная
.
► Необходимость. Пусть дифференцируема в точке t0 . Заменив в форму- ле (3)
на
получим:
-
=
+ +
(
). Отсюда:
и
.+
. Так как
=
, то
, т.е. производная
существует и равна
.
Достаточность. ,Пусть существует и пусть. x(t), y(t) и z(t) – координат- ные функции
Тогда по теореме 6 существуют производные
и
. Значит, эти скалярные функции дифференцируемы в точке t0; поэтому для их прира- щений справедливы представления:
где ,
,
- функции, удовлетворяющие условиям:
Отсюда:
-
= (x(t0+h)- x(t0), y(t0+h)- y(t0), z(t0+h) - z(t0)) =
= (
) =
= (
) h + h (
,
,
) =
= h +h
,
где = (
,
,
). Ввиду условий, которым удовлетворяют
,
,
, можем записать:
. Итак,
-
=
h +h
,
где . Заметим:
, т.е. h
=
. Значит,
Δ (τ) =
h +
, (4) Получено представление (3), в котором
=
. ◄
Следствие 1.Вектор в представлении (3) приращения дифференцируемой функции определяется единственным образом, а именно,
=
.
Этот результат уже получен, см. Необходимость.
Следствие 2.Если вектор-функция дифференцируема в точке
, то суще- ствует вектор-функция
, удовлетворяющая условиям
, и такая, что справедливо представление Δ
(τ) =
h +h
.
Существование уже доказано, см. Достаточность.
Следствие 3.Вектор-функция дифференцируема в точке
тогда и толь- ко тогда, когда в этой точке дифференцируемы её координатные функции.
Утверждение следует из доказанной теоремы и теоремы 7.
Замечание. Если вектор-функция дифференцируема в точке
,то она и непрерывна в этой точке.
Действительно, из (3) следует: ; значит (см. теорему 6) ,
неп- рерывна в
.
Пусть вектор- функции и
, а также скалярная функция
определе- ны в окрестности
точки t0 . Пусть, далее,
-некоторое число, а
- некоторый вектор. Введём обозначения:
+
;
;
(
,
)- - скалярное произведение;
[
,
] - векторное произведение.
Теорема 9.(О действиях над дифференцируемыми вектор-функциями) Если ,
и
дифференцируемы в точке t0 , то
,
,
и
также диф- ференцируемы в этой точке, причём
1) =
+
;
2) =
+
; в частности, если
≡
, то
=
;
3) (
,
) + (
,
); в частности, если
≡
, то
(
,
).
4) [
,
] + [
,
]; в частности, если
≡
, то
[
,
].
Доказательства всех четырёх утверждений проводятся по единой схеме. Из- ложим доказательство утверждения 4).
► Пусть
,
. Тогда
[
,
]=
=
= . По условию теоремы
и
дифференцируемы в точке t0 ; значит (см. следствие 3 теоремы 8), в этой точке дифференцируемы их координатные функции. Отсюда вы-текает дифференцируемость в точке t0 функций
=
,
= =
и
=
, которые являются коорди- натными функциями вектор-функции
. Следовательно (см. следствие 3 теоремы 8),
дифференцируема в точке t0 . Значит, существует производная
, причём ( см. теорему 7)
= (
,
). Вычислив производные
,
, получим:
=(
) + (
) = = [
,
] + [
,
] . ◄
Теорема 10.(О производной сложной вектор-функции) Пусть скалярная функ- ция определена в окрестности
, t0
, а вектор-функция
определена в окрестности
точки
=
. Если
дифференцируема в точке
, а
дифференцируема в точке t0 , то сложная вектор-функция
дифференци- руема в точке t0 , причём
.
► Пусть x(θ), y(θ) и z(θ) – координатные функции :
= (x(θ), y(θ) ,z(θ)). Заметим:
=(
). Так как
дифференцируема в точке
, то в этой точке дифференцируемы её координатные функции ( см. следствие 3 теоремы 8). По теореме о производной сложной скалярной функции суперпозиции
дифференцируемы в точке t0 , причём
. Теперь можем записать:
(
) = (
) =
= ( =
. ◄
Определение. Будем говорить, что вектор-функция дифференцируема на интервале (α , β) , если она дифференцируема в каждой его точке. Будем говорить, что вектор-функция
дифференцируема на сегменте [α , β] , если она дифференцируе- ма на интервале (α , β) и, кроме того, существуют односторонние производные
и
.
Теорема 11. Пусть вектор-функция непрерывна на сегменте [α , β] и диф- ференцируема на интервале (α , β) . Тогда существует точка
(α , β) такая, что справедливо неравенство:
.
► Рассмотрим скалярную функцию f(t), заданную на [α , β] равенством: f(t) = ( ,
). Из условия теоремы вытекает, что f(t) непрерывна на сегменте [α , β] и дифференцируема на интервале (α , β) . По теореме Лагранжа существует точ- ка
(α , β) такая, что справедлива формула конечных приращений: f(β) - fα) = =
.Отсюда : | f(β) - fα) | = |
. Опираясь на свойства скалярно- го произведения, можем записать :
f(β) – f(α) = ( ,
) =
;
| |((
,
)|
| |
| . Отсюда и из равенства | f(β) - fα) | = |
следует:
| |
|
. Сократив на
| , получим неравенство, которое и требовалось доказать. ◄
Теорема 12.Пусть вектор-функция удовлетворяет на интервале (α , β) ус- ловию:
, где С≥ 0. Если
дифференцируема на интервале (α , β), то при всяком
скалярное произведение (
,
) равно нулю.
► Рассмотрим скалярную функцию f(t), заданную на (α , β) равенством: f(t) = ( ,
) =
. Очевидно, f(t)
на (α , β), и потому
на (α , β). Но
(
,
) = (
,
) + (
,
)= 2 (
,
). Отсюда:
( ,
)
на (α , β). ◄
Замечание. Если при соблюдении условий этой теоремы оба вектора и
ненулевые, то они ортогональны.
2.3. Дифференциал вектор- функции
Пусть вектор-функция дифференцируема в точке t0 , t0
.
Определение. Дифференциалом вектор-функции в точке t0 назовём произ- ведение
h, где h = Δt – приращение аргумента t.
Обозначать дифференциал будем символами d или d
, подчеркнув во вто- ром символе то обстоятельство, что дифференциал представляет собой вектор-функ- цию аргумента h , определённую на всей числовой оси равенством d
=
h или, так как приращение h = Δt независимой переменной t равно дифференциалу d t, равенством d
=
d t. Заметим ещё, что формулу (4) теперь можно записать в виде:
Δ (h) = d
+
.
Из утверждений теоремы 9 вытекают следующие правила вычисления диффе- ренциалов в точке : Если
+
;
;
(
,
) и
[
,
] , то
1) ;
2)
;
3)
;
4)
.
Иэ теоремы 10 вытекает инвариантность формы дифференциала вектор-функ- ции. Действительно, пусть - скалярная функция, дифференцируемая в точке
, а
дифференцируема в точке t0 , где
.Тогда сложная вектор-функ- ция
дифференцируема в точке
, причём
. Отсюда, так как
, получим:
. Таким обра- зом, формула
справедлива и в том случае, когда аргумент
вектор-функ- ции
является зависимой переменной.
2.4. Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть вектор-функция дифференцируема в окрестности
точки
,
, т.е. на некотором интервале
,
. Сопоставив каждому t,
, вектор
, мы определим на
новую вектор-функцию, которую называют производной от вектор-функции
и обозначают через
, или через
, или через
.
Если производная дифференцируема в точке
, то производную от
в точке
называют производной второго порядка от вектор-функции
в точке
и обозначают через
. Если производная
дифференцируема в каждой точке интервала
, то на
существует производная от вектор-функции
; эту производную называют производной второго порядка от вектор-функции
и обозначают через
, или через
, или через
. Вообще, при всяком натуральном n,
, производной порядка n от вектор-функции
называют производную от производной порядка
этой вектор-функции, обозначая ее через
, или через
, или через
.
Определение 5. Будем говорить, что вектор-функция n,
, раз дифференцируема в точке
,
, если в точке
существуют производные от
до порядка n включительно.
Для скалярных функций аналогичное понятие введено в §10 гл.1. Заметим, что n-кратная дифференцируемость вектор- функции в точке
означает, что
и ее производные
определены и дифференцируемы в некоторой окрестности
и, кроме того, производная
дифференцируема в точке
.
Упражнение. Доказать утверждения:
I. Пусть вектор-функция определена в некоторой окрестности
,
. Тогда:
1) ( n раз дифференцируема в точке
) Û (
,
и
n раз дифференцируемы в точке
);
2) ( n раз дифференцируема в точке
) Þ
.
II. Пусть вектор-функции и
n раз дифференцируемы в точке
,
, и пусть l – некоторое число, а
– некоторый вектор. Положим:
,
,
,
. Тогда:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
В этом и предыдущих пунктах введены основные понятия дифференциального исчисления вектор-функций: предел, непрерывность, производная, дифференциал. Они аналогичны соответствующим понятиям дифференциального исчисления скалярных функций и обладают аналогичными свойствами. Однако, полной аналогии между тео- ремами дифференциального исчисления для скалярных и векторных функций нет. Например, ясно, что не имеет смысла говорить о наибольшем или наименьшем значе- нии вектор- функции на промежутке, поэтому для вектор- функции нельзя сформулиро-вать теорему, аналогичную теореме Ферма (гл.2, п.2.1.). Нет для вектор- функций и аналогов теорем Ролля, Коши и Лагранжа (гл.2, п. 2.2.). Однако, справедлива теорема, аналогичная теореме Тейлора- Пеано (§4 ).
Теорема 6. Пусть вектор-функция n,
, раз дифференцируема в точке
,
. Тогда справедлива асимптотическая формула:
.
Так как
n раз дифференцируема в точке
, то и ее координатные функции обладают этим свойством. По теореме Тейлора–Пеано (§4 гл.2)
,
,
,
где ,
,
. Отсюда:
,
где . Так как
,
,
, то
,
.