Рациональные алгебраические дроби
Комплексные числа
1.1 Множество C комплексных чисел
Введем традиционные обозначения: R – множество вещественных чисел, R - совокупность всевозможных упорядоченных пар
вещественных чисел. Произ- вольный элемент
множества R
обозначим через z:
, где
R,
R.
Два элемента и
множества
считаем равными, если
и
:
.
Введем две операции, одну их которых назовем сложением элементов из R , а другую – умножением этих элементов. Каждая из них представляет собой правило, в силу которого любой упорядоченной паре
элементов из R
ставится в соот- ветствие некоторый третий элемент этого множества.
Элемент, который паре сопоставляет операция сложения, назовем суммой элементов
и
и обозначим через
.
Элемент, который паре сопоставляет операция умножения, назовем произведением элементов
и
и обозначим через
или
.
Сумму и произведение элементов и
определим с помощью следующих равенств:
(1)
Множество всевозможных упорядоченных пар вещественных чисел R , на котором указанным выше способом введены операции сложения и умножения называ- ют множеством комплексных чисел и традиционно обозначают буквой C. Элементы множества Cназывают комплексными числами.
Нетрудно убедиться, что введенные равенствами (1) операции обладают свойс- твами, аналогичными свойствам сложения и умножения вещественных чисел:
1.(Коммутативность) ;
.
2.(Ассоциативность) ;
.
3.(Дистрибутивность) .
Наименования операций над комплексными числами – сложение и умножение - обьясняются этими аналогиями.
Таким образом, комплексное число C, представляет собой упорядоченную пару вещественных чисел:
. Первое число x пары
называют вещест- венной частью комплексного числа z и обозначают через
, второе число y этой пары называют мнимой частью комплексного числа z и обозначают через
.
Пусть мнимые части чисел и
равны нулю:
,
. Тогда из (1) получим:
;
.
Заметим, что сложение и умножение комплексных чисел и
, мнимые части которых равны нулю, сводятся соответственно к сложению и умножению их вещественных частей. Это обстоятельство позволяет отождествить комплексное число вида
с вещественным числом x, т.е., считать, что
= x. Особо отметим равенство
,а также справедливость следующего утверждения: пусть
; равенство
имеет место тогда и только тогда, когда х=
и у=
.
Комплексное число , мнимая часть y которого отлична от нуля, назы- вают мнимым. Следовательно, всякое комплексное число является либо вещественным, либо мнимым.
Остановимся на геометрических ин- терпретациях множества C . Как известно, геометрической интерпретацией множества R
является плоскость с введенной на ней декартовой прямоугольной системой коор- динат: упорядоченная пара
изобража- ется точкой плоскости с абсциссой x и орди- натой y. Эту же точку плоскости считают изображением комплексного числа
. Когда точки плоскости рассматривают как изображения комплексных чисел, саму плоскость считают интерпретацией множества С и называют комплексной плоскостью. Изображениями комплексных чисел вида
, т.е., вещественных чисел, будут точки оси абсцисс; поэтому ее называют веще- ственной осью комплексной плоскости. Мнимые числа вида
,
, изобража- ются точками оси ординат; эту ось называют мнимой осью комплексной плоскости (рис. 1).
Другая возможная геометрическая интерпретация комплексного числа состоит в том, что его изображают вектором, проекции которого на вещественную и мнимую оси есть x и y соответственно. В частности, в качестве изображения числа
может выступать радиус-вектор точки с абсциссой x и ординатой y ( рис. 1). Такой взгляд на комплексное число удобен в ряде случаев, например, при геометриче- ской интерпретации действий сложения и вычитания комплексных чисел (см. ниже).
1.2.Алгебраическая форма комплексного числа.
Среди комплексных чисел особая роль принадлежит мнимому числу . Его называют мнимой единицей и обозначают обычно буквой i : i =
. Это название связано с равенством
. Действительно, вычислив произведение
в соответ- ствии со вторым из равенств (1) получим:
.
Пусть – некоторое комплексное число. Используя (1), нетрудно убе- диться в справедливости равенства
. Но
,
,
; поэтому равенство
можно переписать так:
. Правую часть последнего равенства называют алгебраической формой комплексного числа
.
Пусть заданы комплексные числа и
. Из равенств (1) вытекают правила сложения и умножения комплексных чисел, записанных в алгеб- раической форме: если
,
, то
;
. (2)
Отметим три свойства этих действий. Они дополняют свойства 1 – 3, указанные в п. 1.1 и тоже вполне аналогичны соответствующим свойствам действий над вещест- венными числами.
4.
,
.
Запишем числа
и z в алгебраической форме:
,
. Из (1) получим:
. Доказательство второго равен- ства аналогично.
5. Пусть и
– некоторые комплексные числа. Для того, чтобы произве- дение
было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из мно- жителей
и
был равен нулю:
.
Необходимость. Пусть
. Покажем, что если один из множителей отличен нуля, то другой должен равняться нулю. Пусть, например,
; покажем, что тогда
. Действительно, запишем эти числа в алгебраической форме:
,
. Из (1) имеем:
и
. Отсюда сле- дует, что числа
и
удовлетворяют однородной системе
где
,
. Определитель D этой системы отличен от нуля: так как
, то
. Значит, система имеет только нулевое решение:
; поэтому
.
Следовательно, из вытекает, что либо
, либо
.
Достаточность очевидна в силу свойства 4.
6. Пусть и
– комплексные числа. Тогда
.
Пусть
,
. Тогда
Û
.
Отсюда:
.
Пусть z Î C. Число (–1) z обозначают через –z и называют числом, проти- воположным z. Из свойства 6 следует: сумма числа z и числа противоположного z равна нулю: "z Î Cz + (–z) = 0.
Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: пусть и
– заданные числа; разностью чисел
и
называют число z такое, что
; разность чисел
и
обозначают через
.
Запишем ,
и z в алгебраической форме:
,
,
. Имеем:
. Отсюда:
, так что к правилам сложения и умножения (2) можно добавить правило вычитания:
. (3)
Заметим, что равенства (2) и (3) можно получить складывая, перемножая и вычитая двучлены и
по правилам алгебры, известным из школьных учебников; при перемножении этих двучленов используется равенство
. Следовательно, складывая, вычитая, умножая, возводя в натуральную степень комп- лексные числа, записанные в алгебраической форме, можно руководствоваться правилами алгебры, изложенными в школьных учебниках, учитывая при этом значения степеней числа i:
,
,
,
,
и т. д. В частности, можно применять формулы сокращенного умножения.
Пример 1. Найдём алгебраическую форму числа .
Число запишем в виде двучлена
и воспользуемся формулой
. Получим:
.
Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: пусть и
– комплексные числа, причем
; частным чисел
и
называют число z такое, что
; обозначают это число символами
и
. Запишем числа
,
и z в алгебраической форме:
,
,
; тогда из
следует:
,
. Эти два равенства рассмотрим как систему двух линейных относительно x и y уравнений. Определитель D этой системы равен
; так как
, то и
; поэтому система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
. .Таким образом,
. (4) Выполняя деление
на
, обычно прибегают к следующему приему: числитель и знаменатель дроби
умножают на двучлен
(число
называют сопряженным числу
, см. ниже 1.7) :
.
Пример 2. Вычислить .
Имеем:
.
В заключение этого пункта оста- новимся на геометрической интерпрета- ции суммы
и разности
. Будем изображать комплексные числа векторами, лежащими на комплексной плоскости. Число
изобразит- ся радиусом-вектором точки
, число
– радиусом-вектором точки
. Число
изобразится вектором, проекции которого на оси равны
и
. Из векторной алгебры известно, что такой вектор является суммой векторов
и
, т.е. диагональю параллелограмма, построенного на векторах
и
( рис. 2). Разность
представлена на этом рисунке разностью радиусов-векторов точек
и
, т.е. второй диагональю параллелограмма.
1.3.Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа называют вещественное число
. Модуль числа z обозначаем через
; таким образом,
, где
,
. Если z является вещественным числом, т.е., если
, его модуль совпадает с абсолютной величиной числа x:
.
Геометрический смысл модуля числа очевиден:
есть расстояние от начала координат до точки
, изображающей число z, или длина вектора, проекции которого на оси есть x и y.
Замечание 1. Разность изображается вектором, начало которого есть точка
комплексной плоскости, а концом является
(рис.2); значит, модуль разно- сти, число |
|, есть длина этого вектора, т.е. расстояние между точками комплекс- ной плоскости
и
.
Отметим рядсвойств модуля. Они аналогичны свойствам абсолютной величины вещественного числа.
1. Для всякого z Î C его модуль есть неотрицательное число, причем
тогда и только тогда, когда
.
2. Для всякого z Î C ,
.
Справедливость этих утверждений очевидна.
3. Для любых и
; если
, то
.
Запишем числа
и
в алгебраической форме:
,
; тогда (см. (2)):
;
.
Пусть , и пусть
; тогда
. По доказанному выше,
; отсюда, поскольку здесь все числа вещественные,
.
4. Для любых комплексных и
справедливы неравенства
.
Докажем сначала неравенство
.
Справедливость его очевидна в случае . Пусть
. Обо- значим:
. Отсюда
; таким образом, сумма
является вещественным и притом положительным числом, в силу чего сумма
равна сумме вещественных частей слагаемых
и
:
, где
,
. Так как
, можем записать:
; эдесь зак- лючительное неравенство вытекает из свойств абсолютной величины вещественных чисел. Из свойств 2 и 3 модуля следует:
;
. Таким образом,
, и так как (см. свойство 3)
, то окончательно получим:
.
Докажем неравенство .
Это неравенство очевидно, если . Пусть
; тогда
. По доказанному выше
. Значит,
. Случай
рассматривается аналогично.
Замечание 2. Неравенство назывют неравенством треуголь- ника, поскольку на него можно смотреть как на неравенство, связывающее длины сторон треугольника, вершинами которого являются точки
,
и
( рис. 2).
Упражнение. Используя метод математической индукции, доказать обобщение неравенства треугольника: пусть ,
, ¼ ,
– заданные комплексные числа; тогда
.
1.4.Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая
форма комплексного числа
Аргументом комплексного числа z, , называют вещественное число j такое, что
, (5) где
Если некоторое число j удовлетво- ряет равенствам (5), то им удовлетворит и любое число вида j + 2kp, k Î Z, причем множество {j + 2kp}, где k принимает всевозможные целые значения, есть сово- купность всех чисел, удовлетворяющих (5). Таким образом, аргумент числа z имеет бесконечное множество значений, которые отличаются одно от другого слагаемым, кратным 2p. В дальнейшем через
мы обозначаем какое-либо одно из значений аргумента числа z. Равенство
означает, что число j есть одно из значений аргумента числа z. Неравенства
означают, что в данном случае
есть то единственное значение аргумента z, которое лежит на промежутке
; иногда такое число называют главным значением аргумента z.
Геометрически число j , удовлетворяющее условиям (1), есть угол между поло- жительным направлением вещественной оси и вектором z . Если j , угол отсчиты- вается от вещественной оси против часовой стрелки, если же j < 0 – угол отсчитыва- ется по часовой стрелке (рис.3).
Пусть – отличное от нуля комплексное число,
,
. Учитывая равенства (5), можем записать:
. Здесь
,
(
- одно из значений аргумента z, любое).
Выражение называют тригонометрической формой числа z.
Пример 3. Найдём тригонометрическую форму числа .
Имеем: ;
.
Последнее выражение уже является тригонометрической формой z. Найдём .Равенства (5) в рассматриваемом случае выглядят так:
,
. Отсюда:
, k Î Z.Взяв в качестве
, например, число
, получим представ- ление числа z в тригонометрической форме, в котором явно фигурирует и модуль, и аргумеит z:
.
1.5.Умножение и деление комплексных чисел, записанных
в тригонометрической форме
Пусть отличные от нуля комплексные числа и
записаны в тригонометри- ческой форме:
. (6)
Найдем тригонометрическую форму произведения . Заметим, что
; кроме того,
.
Отсюда:
, (7) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа
.
Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргумен- ты складываются (точнее: сложив аргументы сомножителей, мы получим одно из зна- чений ). Геометрически умножение числа
на число
сводится к пово- роту вектора
на угол
и к изменению длины этого вектора в
раз.
Используя (7), с помощью метода математической индукции нетрудно устано- вить справедливость следующего утверждения: пусть ,
, ¼ ,
, где n ³ 2, – заданные отличные от нуля числа,
,
, k = 1, 2, ¼ , n; тогда
, (8) где
,
,
, т.е. при перемножении n, n³2, комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Упражнение. Доказать равенство (8).
Найдем частное , где
и
заданы равенствами (6). Заметим (см. п.1.3), что
. Кроме того,
.
Значит,
, (9) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа
. Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делят- ся, а аргументы вычитаются (точнее: вычитая из аргумента числителя аргу- мент знаменателя, мы получим одно из значений аргумента частного).
Пример 4. Пусть ,
,
. Найти
и
.
Запишем заданные числа в тригонометрической форме:
;
;
.
Таким образом, ,
;
;
;
. Теперь получим:
;
.
1.6.Возведение в целую степень и извлечение корня
Пусть ,
, где r = | z |,
, и пусть n – натуральное число. Степень
представляет собой произведение n множителей:
; поэтому
можно вычислить по формуле (8) ; в рассматриваемом случае
, y = = nj; поэтому
. (10)
Определим целые неположительные степени комплексного числа z, z ¹ 0. По определению положим ; и для всякого n, n Î N, по определению положим
. Заметим: если r = | z |,
, а n Î N, то
.
Таким образом, равенство (10) справедливо при любых целых n. Это равенство называют формулой Муавра; его правая часть представляет собой тригонометрическую форму числа , n Î Z. Заметим, что
равен
. Если
, то nj есть одно из значений
.
Пусть заданы комплексное число a и натуральное число n, n ³ 2, и пусть комплексное число z удовлетворяет равенству . Тогда z называют корнем степени n из числа a.
Если a = 0, то и z = 0 ( см. 1.2, свойство 5). Пусть a ¹ 0. Найдем модуль и аргумент числа z. Обозначим: ,
. Из
следует
, а из фор- мулы Муавра вытекает
; значит,
и
( это “арифметический ” корень:
) . Пусть
, j = argz. Тогда {y + 2kp}, где k Î Z, есть мно- жество всех значений аргумента a; поэтому число nj, будучи одним из значений
, должно совпадать с одним из чисел указанного множества. Значит, найдется
,
, такое, что
; тогда
. (11)
Пусть k – любое целое число. Обозначим:
![]() |
(12) По формуле Муавра получим: "k Î Z
, так что каждое из чисел (12) является корнем степени n из a. С другой стороны, из (11) следует,что всякое число, явля- ющееся корнем степени n из a, содержится среди чисел
, k Î Z. , Значит, множест- во
, k Î Z, есть множество всех значений корня степени n из a. Отметим, что в этом мно- жестве имеется всего n попарно различных чисел:
,
, ¼ ,
, очевидно, попарно различны, а всякое число
, где k £ –1 или k ³ n, совпа- дает с одним из чисел
,
, ¼ ,
. Таким образом, для вся- кого a Î C, a ¹ 0, имеется ровно n попарно различных значений корня степени n; эти значения можно найти, придавая в формуле (12) ин- дексу k значения 0, 1, 2, ¼ , n– 1. Точки комплексной плоскости, изображающие чис- ла
,
, ¼ ,
лежат на окружности радиуса
с центром в a = 0 и делят её на n равных дуг ( рис.4).
Иногда употребляют символ для обозначения корня n-й степени из числа a; при a ¹ 0 этот символ имеет n различных значений.
Пример5. Положим a = 1 и вычислим корни степени n, где n –нату- ральное число, n ³ 2. Для a = 1 имеем: r = | a | = 1; ; значит,
, где k достаточно придавать значения 0, 1, ¼ , n – 1. Положив здесь n = 2 и k = 0, 1, найдем два значения корня квадратного из единицы:
;
.
Положив n = 3 и k = 0, 1, 2, найдем три значения корня кубического из единицы:
,
;
.
Эти три точки делят единичную окружность на три равные дуги.
1.7.Сопряженные комплексные числа
Пусть ,
,
. Обозначим через
комплексное число такое, что
,
. Таким образом, если
, то
, что обычно записывают в виде разности:
.
Каждое из чисел пары z и называют числом, сопряженным с другим числом этой пары. На комплексной плоскости точки, изображающие числа z и
, располагают- ся симметрично относительно вещественной оси.
Справедливы следующие утверждения.
1. .
2 .
3. .
4. Пусть ; если
, то число – j является одним из значений аргумента
.
5. .
6. .
7. Пусть , где
и
– комплексные числа; тогда
.
Упражнение. Доказать перечисленные утверждения.
1.8.Сходящиеся последовательности комплексных чисел
Здесь мы рассматриваем бесконечные последовательности комплексных чисел. Нашей целью является распространение основных понятий и теорем теории последова- тельностей вещественных чисел на более общий случай последовательностей комп- лексных чисел. Последовательность ,
, ¼ ,
,.. обозначаем через
, иногда через
.
Сформулированное ниже определение вполне аналогично определению предела последовательности вещественных чисел (гл. 1, п. 3.2).
Пусть заданы последовательность ,
, и комплексное число
.
Определение 1. Число называют пределом последовательности
, если для любого положительного числа e существует натуральное число
такое, что все члены последовательности
, номера k которых превышает
, удовлетворяют нера- венству
.
Если является пределом последовательности
, будем записывать:
или
; саму последовательность
при этом будем называть схо- дящейся последовательностью. Будем также говорить, что последовательность
сходится или стремится к
. Таким образом,
, если
![]() |
. (13)
Замечание 1.Обозначим: . Тогда
.
Заменив в (13)
на
, получим:
, а это значит, что последовательность вещест- венных чисел
является бесконечно ма- лой. Следовательно, утверждения
и
эквивалентны.
Пусть e – некоторое положительное число, а a – некоторое комплексное число. Множество комплексных чисел z, таких, что , назовем e-окрест ностью точки a и обозначим через
:
.
. Геометрически неравенство
означает, что расстояние между точками z и a комплексной плоскости меньше e; значит,
есть внутрен- ность окружности радиуса e с центром в точке a ( рис. 5).
Согласно определению 1, если , то все члены
последовательности, номе- ра k которых больше