Интегральное преобразование Фурье
Литература: [Л.1], с 43-55
Рассмотренный выше гармонический анализ периодических сигналов можно обобщить и на непериодические (одиночные) сигналы. Возвратимся к периодическому сигналу произвольной формы (рис. 2.6, а).
Рис. 2.6
Увеличим значение 
до 
. Соседние с центральным сигналы сдвинутся вправо и влево по оси времени. Если теперь устремить Т к бесконечности, на временной диаграмме (рис. 2.6, б) останется только одиночный сигнал конечной длительности. Если мощность сигнала отлична от нуля, то энергия такого сигнала конечна. Математически это условие равносильно требованию сходимости интеграла
,
где 
– абсолютное значение функции 
.
Иными словами функция 
должна быть абсолютно интегрируемой.
Обратимся к спектральным диаграммам (рис. 2.2, б, в). Т.к. расстояние по оси частот между соседними составляющими равно
, (2.24)
то с увеличением 
величина 
уменьшается и спектральные составляющие сближаются. При этом значения комплексных амплитуд составляющих уменьшаются. При 
величина Δω →0и спектр из линейчатого становится сплошным и представляет собой бесконечно большое число гармоник и бесконечно малыми амплитудами.
Воспользуемся комплексной формой ряда Фурье (2.16). Подставляя в эту формулу выражение (2.17),
, (2.16)
, (2.17)
Получим:
.
Тогда с учетом того, что 
и 
, запишем
. (2.25)
Т.к. в пределе при величина 
, то в соответствии с (2.24) 
превращается в бесконечно малое приращение 
, а частота k-той гармоники – в текущую частоту 
. При этом пределы внутреннего интеграла в (2.25) расширяются от 
до 
, а суммирование переходит в операцию интегрирования. С учетом этого выражение (2.25) принимает следующий вид:
. (2.26)
Интеграл, заключенный в скобки выражения (2.26), описывает комплексный спектр одиночного сигнала
. (2.27)
Тогда с учетом (2.27) выражение (2.26) запишется следующим образом
. (2.28)
Выражения (2.27) и (2.28) представляют собой соответственно прямое и обратное преобразование Фурье.
Выясним физический смысл комплексного спектра 
одиночного сигнала. Зафиксируем некоторую частоту . Так как для периодического сигнала 
, а для вычисления комплексной амплитуды 
в выражении (2.17) пределы интегрирования можно распространить на область 
, т.е.
. (2.29)
С другой стороны на этой же частоте для одиночного сигнала в соответствии с (2.27)
. (2.30)
Интегралы в (2.29) и (2.30) совпадают, с точностью до коэффициента 1/Т поэтому можно записать
, (2.31)
период 
согласно (2.24) равен
, (2.24)
,
где 
– элементарный интервал частот, измеряемый в герцах.
Тогда
.
Амплитудный спектр сигнала описывается выражением:
. (2.32)
Отсюда следует, что 
характеризует плотность распределения амплитуд составляющих сплошного спектра одиночного сигнала по частоте. Если 
– изменяющиеся во времени напряжение или ток, то размерность составляет 
или 
.
Запишем (2.32) с учетом (2.24) в виде
. (2.33)
Отсюда следует, что огибающая сплошного спектра одиночного сигнала и огибающая соответствующего периодического сигнала совпадают по форме и отличаются только масштабом. На практике в ряде случаев при вычислении спектра периодического сигнала гораздо проще сначала найти 
одиночного сигнала, а затем, пользуясь соотношением (2.33) перейти к спектру периодического сигнала.
Преобразования Фурье (2.27) и (2.28) представлены в комплексной форме. Воспользовавшись известными соотношениями
, (2.34, а)
и
, (2.34,б)
можно получить тригонометрическую форму преобразований. Так, с учетом (2.34, б) выражение (2.27) принимает следующий вид
, (2.35)
где первый интеграл представляет собой вещественную, а второй – мнимую часть 
, т.е.
, (2.36)
. (2.37)
Тогда модуль 
или амплитудный спектр вычисляется по формуле
, (2.38)
а аргумент 
или фазовый спектр - в соответствии с выражением
. (2.39)
Если сигнал 
является четной функцией времени 
, то второй интеграл в (2.35) равен нулю, т.к. произведение 
является нечетной функцией, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля. В этом случае описывается вещественной и четной функцией
. (2.40)
Если же сигнал 
является нечетной функцией времени, то первый интеграл обращается в ноль и представляет собой нечетную и чисто мнимую функцию частоты 
, т.е.
. (2.41)
Таким образом (2.35), (2.40) и (2.41) характеризуют тригонометрическую форму прямого преобразования Фурье.
Обратимся теперь к обратному преобразованию Фурье (2.28).
С учетом того, что
,
выражение (2.28) можно представить в следующем виде
,
или, в соответствии с (2.34,а)
.
Если 
– четная функция, то второй интеграл является нечетной функцией и его значение равно нулю. Тогда окончательно запишем
. (2.42)
В качестве примера рассмотрим преобразование Фурье прямоугольного импульса длительности 
и амплитудой 
, определенного на интервале 
Воспользовавшись выражением (2.27), после несложных преобразований получим
.
На рис. 2.7 изображены форма импульса и его спектральная функция.
Рис. 2.7
Сравнение спектральных диаграмм рис. 2.4 и рис. 2.7,б показывает, что формы огибающей линейчатого и сплошного спектров совпадают, что подтверждает сделанные ранее выводы. При этом как огибающая линейчатого, так и огибающая сплошного спектров достигают нулевого значения на частотах ω = 2lπ/τ, где 
. При 
значение спектральной функции равно площади 
импульса.
Перейдем к рассмотрению основных свойств преобразования Фурье. Для краткости записи пару преобразований (прямое и обратное) символически будем представлять следующим образом:
1. Линейность преобразования Фурье
, (2.43)
где 
и 
– произвольные числовые коэффициенты.
Доказательство формулы (2.43) не вызывает затруднений, для этого достаточно подставить сумму 
в выражение (2.27).
2. Свойство временного сдвига (теорема запаздывания)
. (2.44)
Т.к. 
, то (2.44) можно представить в виде
. (2.45)
Таким образом задержка сигнала во времени на величину 
приводит к изменению его фазового спектра на 
.
3. Изменение масштаба времени
. (2.46)
В зависимости от величины 
имеет место либо сжатие 
, либо растяжение 
сигнала во времени. Из (2.46) следует, что при сжатии сигнала во времени в раз происходит расширение его спектра во столько же раз. И наоборот.
4. Операция дифференцирования
. 2.47)
При дифференцировании сигнала 
все гармонические составляющие его спектра изменяют начальную фазу на 
.
5. Операция интегрирования
. (2.48)
При интегрировании сигнала все гармонические составляющие его спектра изменяют начальную фазу на 
. Свойство (2.48) справедливо, если
.
6. Если 
, то
. (2.49)
Интеграл в правой части выражения (2.49) называется сверткой. Таким образом, преобразование Фурье произведения сигналов представляет собой свертку (с коэффициентом 
) их спектров. В частном случае при 
и равенстве двух сигналов 
можно получить следующее соотношение:
, (2.50)
которое представляет собой интегральную форму равенства Парсеваля (2.22). Из этого соотношения следует, что полная энергия непериодического сигнала равна сумме энергий всех его спектральных составляющих. При этом зависимость
, (2.51)
представляет собой спектральную плотность энергии или энергетический спектр одиночного сигнала.