Раздел 1. Краткое изложение теоретического материала
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Классическое определение вероятности 
, где п – общее количество всех возможных исходов опыта, а m – количество тех исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующих событию А).
Элементы комбинаторики
1) если множество из l элементов перемешивается (элементы множества меняются местами), то речь идёт о перестановках, количество которых равно 
2) если из множества l элементов берётся k элементов, то получаются:
а) сочетания, когда порядок следования элементов не важен, общее количество которых равно 
;
б) размещения, когда порядок следования элементов важен, общее количество которых равно 
.
Алгебра событий
1) 
А или В 
А и В несовместны, тогда 
Если 
попарно несовместны ( т.е. 
), то
2) 
А и В ( одновременно) 
, где 
– условная вероятность события В при условии, что событие А произошло.
Если 
, то А и В – независимые события.
Если попарно независимы, то
3) 
не А (противоположное событию А)
Полная вероятность
Если эксперимент состоит из нескольких этапов, требуется найти вероятность события, произошедшего на последнем этапе, а о результатах промежуточных этапов мы можем строить лишь предположения (гипотезы), то пользуются формулой полной вероятности:
,
где 
– полная группа гипотез: 1) 
;
2) 
Если событие на последнем этапе представлено как свершившийся факт, а требуется найти вероятность того, что вместе с событием А осуществилась одна из гипотез 
, то пользуются формулой Байеса:
,
где 
– полная вероятность события А.
Схема Бернулли (схема повторных независимых испытаний)
Если один и тот же эксперимент в одних и тех же условиях проводится п раз (несколько раз), причём результаты испытаний не зависят друг от друга, то мы находимся в рамках схемы Бернулли.
Пусть А – случайное событие, происходящее при одном испытании, 
, 
.
1) Если требуется найти вероятность того, что в п испытаниях событие А произошло ровно m раз (говорят: « произошло m успехов»), то применяют:
а) Формулу Бернулли 
, единственную формулу, дающую точный ответ.
Для больших п применяют предельные теоремы, дающие ответ приближенно:
б) Локальную теорему Муавра-Лапласа 
, где 
– функция Гаусса (значения по таблице), 
.
в) Теорему Пуассона 
, где 
– порядка единиц ( 
).
2) Если требуется найти вероятность того, что в п испытаниях событие А произошло от 
до 
раз, то применяют интегральную теорему Муавра-Лапласа 
, где 
– интеграл Лапласа (значения по таблице), 
, 
.
3) 
– наивероятнейшее количество наступлений события А в п испытаниях вычисляется из формулы: 
, где может быть одним целым числом, в случае, если концы интервала дробные (единственное целое число на интервале длиной единица), и двумя целыми числами, если концы интервала целые.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайной величиной называется функция, определённая на пространстве элементарных событий 
, которая ставит в соответствие каждому элементарному событию из некоторое действительное число (любое, следующее из условия задачи) 
.
Случайные величины (с.в.) делятся на дискретные и непрерывные. И те и другие обладают функцией распределения: функцией, определённой на всей числовой оси R, значения которой равны вероятности того, что случайная величина примет значения, строго меньшие аргумента функции
.
Свойства функции распределения:
1.  ;
2.  ;
3.  ,  ;
4.  (непрерывность слева);
|  ;
 .
|
Числовые характеристики случайных величин
С.в. обладают: математическим ожиданием 
(математическим средним), демонстрирующим, какое в среднем значение должна принять случайная величина (зависящее от возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей); дисперсией 
, показывающей степень рассеянности значений случайной величины от её математического ожидания (дисперсия равна мат.ожиданию квадрата отклонения значения случайной величины от её математического ожидания 
), вычислительная формула – 
, а также среднеквадратическим отклонением 
, показывающим то же, что и дисперсия, но в других единицах.
Свойства математических ожиданий и дисперсий
, 
, 
, где С=const.
, 
– верно для независимых Х и Y.
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
(принимающие конкретные значения)
обладают законом (рядом) распределения – таблицей из двух строк: в верхней отражаются упорядоченные по возрастанию значения случайной величины, в нижней – вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения.
| Х | 
| 
| … | 
|
| Р | 
| 
| … | 
|
где 
.
Функция распределения для этих величин кусочно-непрерывная, график её представляет собой участки прямых параллельных оси Ох, образующих ступени, поднимающиеся от 0 до 1.
Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле: 
,
а её дисперсия: 
.
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
(принимающие значения на интервале, например временном промежутке)
обладают плотностью распределения (вместо закона распределения у дискретных с.в.), которая является некоторой неотрицательной функцией, определённой на всей числовой прямой, обладающей свойством 
.
Связь с функцией распределения: 
, а 
.
Функция распределения непрерывных с.в. непрерывна.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле: 
, а её дисперсия: 
.
СТАНДАРТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для дискретных случайных величин:
1. Биномиальное распределение – когда вероятности в законе распределения находятся по формуле Бернулли 
:
, 
.
2. Распределение Пуассона – когда вероятности в законе распределения находятся по теореме Пуассона 
, где 
:
, 
.
3. Геометрическое распределение – когда вероятности в законе распределения находятся по формуле 
:
, 
.
Для непрерывных случайных величин:
4. Равномерное распределение на промежутке 
(с параметрами a и b):
, 
, 
,
, 
.
5. Показательное распределение с параметром 
:
, 
, 
, 
,
.
6. Нормальное распределение с параметрами а и 
:
, 
,
, 
,
, 
,
Правило трёх сигм: 
.