Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).

2.1 Понятие комплексного числа

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел. Выражения – алгебраическая форма к.ч., где - действительные числа, а - специальный символ; при этом для комплексных чисел , введены понятия равенства и арифметические операции по следующим правилам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Из 1) и 3) следует, что .

Таким образом, введенные операции сложения и умножения обладают свойствами:

1) коммутативности ;

2) ассоциативности ;

3) дистрибутивности ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Если на плоскость введена декартовая прямоугольная система координат , то всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие некоторая точка с абсциссой x и ординатой y. При этом говорят, что точка изображает к.ч. . Плоскость, на которой изображаются к.ч., называется комплексной плоскостью. Ось – действительной осью, а ось – мнимой осью.

Число называется модулем к.ч. и обозначается символом . Модуль числа z равен расстоянию от начала координат до точки M, изображающей это число.

Всякое решение системы уравнений

(*)

называется аргументом к.ч. . Все аргументы числа z различаются на целые кратные и обозначаются единым символом .Каждое значение аргумента совпадает с величиной некоторого угла, на который следует повернуть ось до совпадения с радиус-вектором точки M (при этом , если поворот совершается против часовой стрелки, и в противном случае). Значение , удовлетворяющее условию , называется главным значением аргумента и обозначается символом . В некоторых случаях главным значением аргумента называется значение , удовлетворяющее условию .

.

Из соотношений (*) следует, что для всякого к.ч. z справедливо равенство

,

называемое тригонометрической формой числа z.

Для к.ч. и в тригонометрической форме, где и , справедливы равенства:

,

.

2.2 Комплексные числа в показательной форме

Пусть - произвольное действительное число. Символом обозначается комплексное число . С помощью этого обозначения всякое к.ч. может быть записано в показательной форме

.

Формулы Эйлера:

Для к.ч. и в показательной форме, где и , справедливы равенства:

,

,

,

.

Число называется сопряженным к комплексному числу . Очевидно, что .

Операция построения сопряженного к.ч. обладает следующими простыми свойствами:

, , .

Формула Муавра:

.

2.3 Разложение многочленов на множители

Многочленом n-ой степени называется функция вида

,

где – постоянные коэффициенты (действительные или комплексные), а – комплексная переменная, которая может принимать любые комплексные значения или, выражаясь геометрическим языком, может быть любой точкой комплексной плоскости.

Если при , то число называется корнем или нулем многочлена .

Для многочленов определены следующие арифметические операции:

В результате операций 1) и 2) снова получится многочлен. Частное двух многочленов может не быть многочленом.

Деление многочленов с остатком.

,

,

где – частное, а – остаток.

Теорема Безу.

Для того, чтобы многочлен имел (комплексный) корень , необходимо и достаточно, чтобы он делился на , т.е. чтобы его можно было представить в виде произведения , где – некоторый многочлен степени n-1.

Если при разложении , то на основании теоремы Безу применимой к , многочлен не делится на , а хотя и делится на , но не делится на . В этом случае говорят, что – простой корень (нуль) многочлена .

Пусть теперь . Тогда по теореме Безу, применимой к , многочлен делится на , и мы получим , где – некоторый многочлен степени n-2. Если , то делится на , но не делится на , и тогда число называется корнем (нулем) кратности 2.

В общем случае для некоторого натурального имеет место

,

где – многочлен степени n-s, и тогда говорят, что – корень (нуль) многочлена кратности s.

3.1 Умножение матриц

Матрицей размера или ( )-матрицей называется прямоугольная таблица из чисел , , ,

,

состоящая из строк и столбцов. При матрица называется квадратной матрицей n-ого порядка.

Суммой ( )-матриц и называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц и :

, , .

Легко видеть, что

,

.

Замечание: складывать можно только матрицы одного размера.

Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называется матрица , получающаяся из матрицы умножением всех ее элементов на :

, , .

Причем .

Произведением -матрицы на -матрицу называется -матрица , элемент которой , стоящий в i-ой строке и в j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы и j-ого столбца матрицы :

, , .

Легко видеть, что

.

Матрицы и называются перестановочными (коммутирующими), если .

Свойства умножения квадратных матриц.

1) При перемножении квадратных матриц, допустим -матрицы на -матрицу , получим -матрицу . Причем .

2) , , т.е. матрица коммутирует с . Вообще .

Матрица называется транспонированной к матрице , если выполняется условие

для всех , где и – элементы матриц и соответственно. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется.

Матрица транспонированного произведения есть произведение транспонированных матриц в обратном порядке, т.е.

.

3.2 Обратная матрица

Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен 0, и невырожденной (неособенной) в противном случае. Если – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица такая, что

,

где E – единичная матрица (т.е. такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны 0). Матрица называется обратной к матрице и ищется следующим образом:

,

где – транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Решение матричных уравнений.

1)

Домножив справа на , получим

.

2)

Домножив слева на , получим

.

3)

Домножив слева на и справа на , получим

.

Решение систем линейных уравнений.

Дана система:

.

Решение:

Данная система является частным случаем матричного уравнения 2), где

, , .

При условии, что система имеет единственное решение, а именно

, где .

Рассмотрим теперь на примере системы:

.

Решение:

(*)

Полученное матричное уравнение имеет вид 2), т.е. . Находим матрицу , обратную к матрице :

;

Преобразовав наше матричное уравнение (*) как описано выше в пункте 2), получим

4. Линейные пространства