Метод модального управления при описании системы
В пространстве состояний
Метод модального управления основан на использовании корней характеристического уравнения, которые относятся к модальным характеристикам системы.
Рассмотрим основные соотношения метода для случая, когда математическая модель объекта управления представлена в переменных состояния:
В общем случае система может иметь правые или собственные значения матрицы 
, определяющие ярко выраженные колебательные переходные процессы.
Графически требования к устойчивости, быстродействию и точности сводятся к тому, чтобы отклонение регулируемой величины не выходило при единичном входном воздействии из области допустимых отклонений регулируемой величины в переходном процессе («коробочка» Солодовникова) , при этом корни характеристического полинома должны лежать внутри желаемой области на плоскости корней.
Требования к поведению замкнутой системы формулируются в виде оценок переходных процессов 
, от которых можно перейти к желаемому распределению корней на комплексной плоскости и сформировать желаемую передаточную функцию замкнутой системы
(1)
и определить условия разрешимости задачи синтеза.
Рассмотрим объект управления, полагая, что помеху измерения удалось исключить, тогда операторное уравнение объекта управления имеет вид
, (2)
где 
- возмущающее воздействие, отражающее влияние внешней среды.
Приравняем правые части выражений (1) и (2), определим «точное» управляющее воздействие
(3)
Если удастся реализовать закон управления (3), то поведение замкнутой системы будет точно соответствовать желаемой передаточной функции.
Для реального объекта ресурс управления всегда ограничен, поэтому задача синтеза будет разрешима при выполнении условия
,
которое называется ресурсным ограничением и определяет первое условие разрешимости задачи синтеза.
Второе условие разрешимости: задача синтеза будет иметь решение, если обратная модель объекта 
будет устойчива, т.е. все «нули» передаточной функции объекта лежат в левой полуплоскости.
Третье условие разрешимости задачи синтеза: задача синтеза будет имеет решение, если объект управляем и наблюдаем.
Рассмотрим алгоритм решения задачи синтеза. Пусть выполняются все условия разрешимости задачи синтеза. Пусть объект управляем и наблюдаем, т.е. измеряются все переменные состояния, тогда можно сформировать скалярное управляющее воздействие в виде линейной функции
,
где 
- матрица-строка неизвестных коэффициентов. Соответствующее управляющее устройство имеет определённую структуру: оно безинерционно и не повышает порядок системы. Т.о. нам надо решить задачу параметрического синтеза - определить значения элементов матрицы обратной связи по состоянию .
Подставим управляющее воздействие в исходное дифференциальное уравнение, в результате преобразований получим
.
Матрица замкнутой системы 
должна иметь собственные заданные значения 
. Сформируем желаемую сопровождающую матрицу, в которой элементами последней строки являются коэффициентами желаемого характеристического полинома с обратными знаками.
.
Пусть объект полностью управляем. Исходное дифференциальное уравнение записано в управляемой каноническом базисе – матрица имеет форму Фробениуса, матрица-столбец 
состоит из нулей кроме единицы в последней строке.
.
Матрица системы также имеет форму Фробениуса.
.
Искомые коэффициенты регулятора находятся из равенства матриц 
и : 
.
При использовании обратной связи по состоянию порядок системы совпадает с порядком объекта. Однако это не говорит о простоте технического решения задачи стабилизации – измерение переменных состояния часто является проблемой.
Практическая часть.
1. Описание системы в пространстве состояний.
Рассмотрим пример:
Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет вид
.
Для описания заданной системы в пространстве состояний вернёмся к дифференциальному уравнению.
.
Приведём дифференциальное уравнение к нормированному виду
.
Для решения дифференциального уравнения необходимо выделить старшую производную
.
При использовании метода в описании системы должны присутствовать производные первого порядка, поэтому введем в рассмотрение переменные:
.
Последние зависимости можно переписать так
.
С учетом выражений введённых обозначений можно записать:
Модель системы можно представить в виде:
Рис.15. Модель системы в пространстве состояний.
Последняя система в матричной форме запишется в виде:
.
Описание системы в пространстве можно провести с использованием стандартных функций пакета Matlab (см. Приложение).
Проверим правильность преобразования системы в пространство состояний. Построим переходную характеристику.
Рис. 1. Переходная характеристика системы
При описании системы в пространстве состояний переходная характеристика системы полностью совпадает с ранее полученной (см. пример ДЗ № 1 (1-й семестр).
2. Определение управляющего воздействия, обеспечивающего заданные требования к качеству системы, с использованием метода модального управления.
В п.1 получено описание заданной системы в пространстве состояний. Предположим, что система не удовлетворяет требованиям по времени быстродействия и колебательности.
Сформулируем требования к системе: обеспечить время управления 
и перерегулирование 
. (задаются преподавателем).
Заданные параметры с применением корневых оценок позволяют сформировать область расположения корней характеристического уравнения системы или собственных значений матрицы А.
Пусть 
и 
. Время управления позволяет определить величину корня, лежащего ближе всех к мнимой оси.
.
Перерегулирование, равное нулю, предполагает наличие в системе только вещественных корней, которые будут обеспечивать системе апериодический процесс.
На основании полученных данных выберем три вещественных корня, левее значения -20 и определим желаемый характеристический полином или желаемое расположение собственных чисел матрицы А*.
Пусть 
.
Сформируем желаемую сопровождающую матрицу, в которой элементами последней строки являются коэффициентами желаемого характеристического полинома с обратными знаками.
Рассмотрим алгоритм решения задачи синтеза. Пусть выполняются все условия разрешимости задачи синтеза. Пусть объект управляем и наблюдаем, т.е. измеряются все переменные состояния, тогда можно сформировать скалярное управляющее воздействие в виде линейной функции
,
где - матрица-строка неизвестных коэффициентов.
Подставим управляющее воздействие в исходное дифференциальное уравнение, в результате преобразований получим
.
Матрица системы имеет форму Фробениуса.
.
Искомые коэффициенты регулятора находятся из равенства матриц и : 
.
Получен пропорционально-дифференцирующий (ПД) закон управления
.
Передаточная функция регулятора имеет вид 
и не удовлетворяет условию физической реализуемости системы (степень полинома числителя превышает степень полинома знаменателя). Однако в данном случае реализуется регулятор состояния, который формирует управляющее воздействие по измеренным значениям производной 
и 
, т.е. операция дифференцирования не производится.
Проверим правильность расчётов. Зададим передаточную функцию желаемой системы и построим переходную характеристику скорректированной системы.
Рис.17 Переходные характеристики исходной и скорректированной системы
Полученная переходная характеристика не полностью отражает желаемые требования, а именно, время управления 0,183с не соответствует заданному не более 0.15с. Требования по перерегулированию выполняются полностью, переходная характеристика не имеет колебаний. Не соответствие времени управления заданному может быть обусловлено тем, что не правильно выбран первый корень(-25), он очень близко лежит к правой границе области желаемого расположения корней на комплексной плоскости.
Произвольный выбор желаемых корней и простота определения значений коэффициентов обратных связей может привести к неверному выводу о том, что в замкнутой системе можно добиться любого качества процессов управления. В рамках линейных математических моделей это так. Однако линейные модели адекватны реальным системам только для малых отклонений переменных состояния и управления и ограниченных диапазонов частот. Стремление к быстрому затуханию переходных процессов приводит к выбору больших по модулю желаемых корней, т.е. к увеличению степени устойчивости (быстродействия).
Это приводит к тому, что некоторые из переменных состояния и переменная управления за время переходного процесса изменяются с большой скоростью и принимают очень большие значения. Кроме того, необходим анализ процессов в синтезированной системе при типовых и других начальных условиях с целью проверки допустимости отклонений переменных состояния 
и управления 
.
Проблема выбора желаемых корней – это есть основная проблема синтеза по описанной методике. Она должна решаться с учётом комплекса условий.
Приложение.
1. Построение модели в пространстве состояний
>> A=[0 1 0;0 0 1;-2500 -400 -25];B=[0;0;2500];C=[1 0 0];D=[0];– % задание числовых матриц.
>> sys=ss(A,B,C,D) – % задание системы в пространстве состояний
a =
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 0 0 1
x3 -2500 -400 -25
b =
u1
x1 0
x2 0
x3 2500
c =
x1 x2 x3
y1 1 0 0
d =
u1
y1 0
Continuous-time model.
>> sys_tf=tf(sys)
Transfer function:
---------------------------
s^3 + 25 s^2 + 400 s + 2500
>>step(sys,1); grid on;xlabel('Time(sec)'), ylabel('h(t)') - % вычисление переходной функции
>>hold on
>> A1=[0 1 0;0 0 1;-50000 -4250 -115];B1=[0;0;50000];C1=[1 0 0];D1=[0]; – % задание числовых матриц желаемой системы;
>> sys1=ss(A1,B1,C1,D1) – % задание системы в пространстве состояний
sys1 =
a =
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 0 0 1
x3 -5e+04 -4250 -115
b =
u1
x1 0
x2 0
x3 5e+04
c =
x1 x2 x3
y1 1 0 0
d =
u1
y1 0
Continuous-time state-space model.
>> sys1_tf=tf(sys1)
sys1_tf =
----------------------------------------
s^3 + 115 s^2 + 4250 s + 50000
Continuous-time transfer function.
>> step(sys1,1);grid on