Условное математическое ожидание

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Условное математическое ожидание ~ Ковариация ~ Корреляция

Математическое ожидание

Пусть (x , h ) - двумерная случайная величина, тогдаM(x , h )=(M(x ), M(h )), т.е. математическое ожидание случайного вектора - это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если (x , h ) - дискретный случайный вектор с распределением

	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p12	p12	...	p2m
...	...	...	pij	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

, .

Эти формулы можно записать в сокращенном виде.

Обозначим и , тогда и .

Если p_{(x , h )}(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (x , h ), то

и .

Поскольку -плотность распределения случайной величины x , то и, аналогично, .

Дисперсия

Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если (x , h ) - двумерная случайная величина, то

Dx = M(x - Mx )² = Mx ² - M(x )², Dh =M(h - Mh )² = Mh ² - M(h )².

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

Условное математическое ожидание

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если x - случайная величина и h =x ², то h - тоже случайная величина, связанная с x функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора (x , h ) с распределением

	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p12	p12	...	p2m
...	...	...	pij	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

условное математическое ожидание случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение y_j, вычисляется по формуле .

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение x_i, равно .

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины x является функцией значений случайной величины h , т.е. M(x /h = y) = f₁(y) и, совершенно аналогично, M(h /x = x) = f₂(x).

Функцию f₁(y) называют регрессией случайной величины x на случайную величину h , а f₂(x) - регрессией случайной величины h на случайную величину x .

Если p_{(x ,h )}(x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины (x ,h ), то

и .

Ковариация

Если между случайными величинами x и h существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация cov(x , h ). Ковариацию вычисляют по формулам cov(x , h )=M[(x - Mx )(h - Mh )] = M(x h) - Mx Mh .

Если случайные величины x и h независимы, то cov(x ,h )=0. Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация нулевая! Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Свойства ковариации:

cov(x , x ) = Dx ;

;

;

,

где C₁ и C₂ - произвольные константы.

Ковариационной матрицей случайного вектора (x ,h ) называется матрица вида

.

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин (x ,h ).

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . Если же случайные величины зависимы, то .

Корреляция

Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений. Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется безразмерный коэффициент корреляции .

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

он безразмерен;

его модуль не превосходит единицы, т.е. ;

если x и h независимы, то k_{(x ,h )}=0 (обратное неверно!);

если , то случайные величины x и h связаны функциональной зависимостью вида

h = ax +b,

где a и b- некоторые числовые коэффициенты;

;

Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица

.

Если и , то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора (x ,h ) связаны соотношением , где .

 

Распределение двумерной случайной величины

Первый способ

Математическое ожидание x	Математическое ожидание h

 

Второй способ

Математическое ожидание x	Математическое ожидание h

Распределение двумерной случайной величины

Математическое ожидание x	Математическое ожидание h
Математическое ожидание	Математическое ожидание
Дисперсия	Дисперсия

Распределение двумерной случайной величины

Распределение случайной величины x

Математическое ожидание x

Условные математические ожидания x

Точечный график регрессии Mxh=f(y)

Распределение случайной величины h

Математическое ожидание h

Условные математические ожидания h

Точечный график регрессии Mxh=f(y)