Каноническое уравнение прямой
Тема 10. Уравнение прямой на плоскости
Общее уравнение прямой на плоскости
Любую прямую на плоскости можно задать уравнением первой степени вида 
где A, B и С – числовые коэффициенты, одновременно не равные нулю.
Не путать с общим уравнением квадратичной функции, графиком которого является парабола 
Пример выполнения задания
Задание 1. Указать коэффициенты А,В,С для каждого уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение вида 
называется уравнением с угловым коэффициентом 
.
Данное уравнение можно получить после преобразования общего уравнения прямой.
Пример выполнения задания
Задание 2. Уравнения из задания 1 преобразовать в уравнения с угловым коэффициентом.
Указать наклон прямой по угловому коэффициенту.
Решение:
1) 
наклон прямой влево (в сторону отрицательных чисел);
2) 
наклон прямой вправо (в сторону положительных чисел);
3) 
поэтому прямая параллельна оси О 
;
4) 
, поэтому прямая перпендикулярна оси 
.
Угловой коэффициент может быть целым числом, десятичной, обычной или неправильной дробью. Причём, в последнем случае выделять целую часть дроби не нужно, так как уравнение в таком виде легче представить в общем виде.
Например, в уравнении 
, где 
Умножив это уравнение на 3 получим общее уравнение прямой 
или 
или в уравнении 
, где 
Умножив это уравнение на 7 получим общее уравнение прямой 
или 
3) Уравнение прямой в отрезках на осях координат
Если прямая задана графически и пересекает оси и  в точках с координатами  и  , то её уравнение имеет вид
Задание 3. Прямая пересекает оси координат в точках Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом. Решение: Составляем уравнение в отрезках по формуле: Выполняем схематичный рисунок. Преобразуем уравнение, умножив его на 15:
Получили уравнение с угловым коэффициентом | 
|
и 
. Составить уравнение прямой в отрезках. Выполнить схематичный рисунок, с указанием отсекаемых отрезков на осях координат.
, где 
.Уравнение прямой, проходящей через две точки
Если прямая проходит через две точки 
, такие что 
, то её уравнение
|
Пример выполнения задания
Задание 4. Записать уравнение прямой, проходящей через две точки 
.
Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.
Запишем уравнение в отрезках по формуле:
Преобразуем это уравнение в уравнение с угловым коэффициентом. Для этого получившуюся пропорцию запишем в строчку, перемножив числители и знаменатели крест-на крест:
Получили уравнение с угловым коэффициентом 
, где 
Каноническое уравнение прямой
Если известны координаты точки 
, лежащей на прямой, и известны координаты направляющего вектора 
, то уравнение прямой имеет вид
Пример выполнения задания
Задание 5. Записать уравнение прямой, заданной точкой 
и направляющим вектором 
.
Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.
Решение:
Запишем каноническое уравнение прямой по формуле, где 
:
Получили уравнение с угловым коэффициентом 
, где 
Контрольное задание №10 по теме
«Уравнение прямой на плоскости»
1) Записать общее уравнение прямой, имеющей следующие коэффициенты:
а) 
в) 
б) 
г) 
2) Получившиеся уравнения в задании 1 преобразовать в уравнения с угловым коэффициентом.
3) Прямая пересекает оси координат в точках 
и 
. Составить уравнение прямой в отрезках.
Выполнить схематичный рисунок, с указанием отсекаемых отрезков на осях координат.
Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.
4) Записать уравнение прямой, проходящей через две точки 
Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.
5) Записать уравнение прямой, заданной точкой 
и направляющим вектором 
.
Преобразовать полученное уравнение в уравнения с угловым коэффициентом.