Задача 7 Расчет статически неопределимой балки

Для заданной балки необходимо:

- раскрыть статическую неопределимость;

- построить эпюры , ;

- определить опасное сечение по нормальным напряжениям и из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать стандартный двутавровый профиль;

- проверить прочность по третьей и четвертой гипотезам прочности в трех точках поперечного сечения с наибольшим изгибающим моментом: в точке, где ; в точке, где ; в точке стыка полки двутавра с его стенкой.

Дано:

 

Решение

 

Рис. 7.1 1. Рассматриваемая балка один раз статически неопределима. Трех уравнений статики недостаточно для определения четырех реакций связей. Горизонтальная реакция связи в опоре известна по определению (использовано одно условие уравновешенности).  

Неизвестные реакции связей должны удовлетворять следующим условиям уравновешенности (рис. 7.1a).

(7.1)

 

2. Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Для этого рассмотрим статически определимую систему, которая получена из заданной системы отбрасыванием опоры и заменой ее действия на балку неизвестной силой (рис. 7.1 b)).

Если значение неизвестной силы будет равно реакции связи , то перемещение точки приложения силы по направлению ее действия будет равно нулю, что имеет место в исходной задаче.

Это означает, что

где перемещение сечения по вертикали, обусловленное действием неизвестной по величине силой ;

перемещение сечения по вертикали, обусловленное

действием заданной нагрузки ; (см. рис. 7.2)

Рис.7.2 Если ввести понятие перемещения от единичной силы (силы ) , то можно записать:
(7.2)

здесь перемещение точки приложения силы в направлении ее действия.

Это и будет условие совместности деформаций в решаемой задаче, которое и определяет величину неизвестной реакции связи.

 

3. Необходимые для решения задачи перемещения определим, используя интеграл Мора:

Рис. 7.3 здесь изгибающий момент в сечениях балки от нагрузки ; изгибающий момент в сечениях балки от внешней нагрузки . Эти эпюры показаны на рис.(рис.7.3). Построение эпюр производится в обычном порядке. Вычислить эти интегралы проще всего, если использовать правило Верещагина:  

 

(7.3)

 

Принимая во внимание (7.2) и (7.3), находим

(7.4)

Значение , определяемое выражением (7.4), удовлетворяет условию совместности деформаций (7.2) и, следовательно, определяет неизвестную реакцию связи .


 

 

      Рис. 7.4 4. Теперь можно в обычном порядке решать поставленную задачу. Определяем реакции и находим на участках балки; строим эпюры, (рис. 7.4).  

 

 

 

Внутренние силовые факторы на участках балки:

- участок

;

 

- участок

Определим положение сечения, где . В этом сечении . Следовательно

Тогда максимальное значение изгибающего момента равно

По эпюре поперечного усилия находим:

 

5. Используя условие прочности по нормальным напряжениям подбираем стандартный двутавровый профиль ГОСТ 8239-89(см. табл. 7.1).

В таблице прокатного двутаврового профиля выбираем двутавр № 27:

Здесь - статический момент половины сечения двутавра относительно главной центральной оси , что необходимо для вычисления максимальных касательных напряжений в сечении двутавра.

 

6. Для проверки условия прочности в трех точках сечения балки, где уясним распределение нормальных и касательных напряжений в сечении:

- напряжения изменяются только при изменении координаты ;

- графики изменения и показаны на рис.7.5; (см. пример 4).

Таблица 7.1