Образцы решения основных типов дифференциальных уравнений
Пример 1. Решить д.у. 
.
Решение. Переписав данное д.у. в виде
,
замечаем, что это - д.у. с разделяющимися переменными. Разделим переменные, поделив обе его части на произведение 
, а затем проинтегрируем получившееся д.у.:
.
После потенцирования находим общее решение: 
, где 
.
Непосредственной подстановкой в данное д.у. убеждаемся, что решения 
уравнения 
тоже являются решениями исходного дифференциального уравнения.
Ответ. 
.
Пример 2. Решить д.у. 
.
Решение. Поскольку
,
т.е. функции 
и 
- однородные функции 4-ой степени, то данное д.у. - однородное. В результате подстановки 
данное д.у. приводится к д.у. с разделяющимися переменными
.
Поделив его на произведение 
, получим:
.
Проинтегрировав последнее уравнение, имеем:
или после обратной замены 
, получаем общий интеграл данного д.у.:
,
где .
Другое его решение, не входящее в общее, находим из условия 
: 
(в чем можно убедиться, подставив его в данное д.у.).
Ответ. 
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение. Переписав данное д.у. в виде:
,
убеждаемся, что это - линейное относительно 
д.у.
1-йспособ. Применим метод вариации произвольной постоянной. Для этого найдем вначале общее решение соответствующего однородного д.у.
или 
.
Это д.у. с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим его общее решение: 
. Проварьируем постоянную 
, т.е. далее будем считать ее функцией от 
. Тогда имеем:
. (6)
Найдем отсюда 
и подставим 
в данное д.у. Тогда получим:
,
откуда 
или с учетом (6) окончательно находим
.
Ответ. .
2-й способ. Применим подстановку 
, где 
- неизвестные функции от . В новых переменных данное уравнение имеет вид ( 
):
. (7)
Приравняем выражение в скобке к нулю и найдем любое частное решение уравнения:
.
Это д.у. с разделяющимися переменными. Одно из его решений 
. С учетом найденного уравнение (7) принимает вид:
,
откуда 
. В итоге имеем 
или 
.
Ответ. .
Пример 4. Решить д.у. 
.
Решение. Поскольку
,
то данное д.у. - уравнение в полных дифференциалах в области 
.
Так как существует функция 
, такая, что
,
то можно записать следующую систему уравнений:
Проинтегрируем первое уравнение системы:
где 
- неизвестная функция. Для ее нахождения подставим найденное выражение для функции 
во второе уравнение системы:
,
откуда имеем: 
. Учитывая это, запишем выражение для функции 
: 
, а тогда данное уравнение в D имеет общее решение:
.
Ответ. .
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение. Поскольку
,
то данное д.у. не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся подобрать интегрирующий множитель. Так как
то
.
Умножим данное д.у. на этот интегрирующий множитель:
, где 
,
и решим получившееся д.у. в полных дифференциалах:
Ответ. 
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение. Данное д.у. - уравнение Лагранжа, здесь 
. После введения параметра 
(заметим, что 
) уравнение примет вид:
.
Продифференцируем последнее уравнение по :
Последнее уравнение - линейное. Применим для его решения метод вариации произвольной постоянной. Для этого вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
.
Разделяя переменные, находим его общее решение 
. Проварьируем постоянную 
, считая, что 
. Тогда 
. С учетом этого линейное уравнение принимает вид 
, откуда 
. Общее решение линейного уравнения 
.
Итак, данное уравнение Лагранжа имеет общее решение, которое в параметрической форме записывается так:
Кроме того, 
и 
- решение данного уравнения, не получаемое из общего.
Ответ: 
.