Розрахункові опори і модуль пружності фібрової арматури

БУДІВЕЛЬНІ КОНСТРУКЦІЇ

(спецкурс)

 

Методичні вказівки до виконання контрольної роботи

на тему:

Розрахунок елементів

сталефібробетонних конструкцій”

для студентів денної та заочної форм навчання,

які навчаються за напрямком “Будівництво”

 

 

Редакційно-видавничий відділ

Луцького національного технічного університету

 

Луцьк – 2010

 

УДК 693.827(07)

ББК 38.5

С 89

 

 

Будівельні конструкції (спецкурс). Методичні вказівки до виконання контрольної роботи на тему: “Розрахунок елементів сталефібробетонних конструкцій” для студентів денної та заочної форм навчання, які навчаються за напрямком “Будівництво” / О.П.Сунак, С.В.Ротко. Луцьк: ЛДТУ, 2010. - 35 с.

 

В методичній розробці розглянуто основні типи задач розрахунку елементів сталефібробетонних конструкцій. Наведено необхідні довідкові дані.

 

Укладачі: О.П.Сунак, к.т.н., доцент,

С.В.Ротко, к.т.н., доцент.

 

 

Рецензент: О. А. Ужегова, к.т.н., доцент.

 

 

Відповідальний за випуск О.П.Сунак

 

Затверджено науково-методичною радою ЛНТУ,

протокол № 4 від 29.12. 2009р.

 

Рекомендовано до друку НМР ІРБ ЛНТУ,

протокол № 4 від 17. 2009р.

 

Розглянуто на засіданні кафедри промислового та цивільного будівництва ЛНТУ, протокол № 10 від 16.12. 2009р.

 

Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни “Будівельні конструкції (спецкурс)” для студентів, які навчаються за напрямком “Будівництво”, розроблені у відповідності з програмою курсу “Будівельні конструкції (спецкурс)” для спеціальністі “Промислове та цивільне будівництво” денної та заочної форм навчання і включають в себе завдання на виконання контрольної роботи , а також приклади рішення задач з розрахунку елементів сталефібробетонних конструкцій.

В додатках до методичних вказівок наведені міцнісні характеристики важкого та дрібнозернистого бетонів, фібрової арматури, категорії вимог до тріщиностійкості сталефібробетонних конструкцій, значення коефіцієнтів та інших нормативних величин, що використовуються для розрахунків елементів сталефібробетонних конструкцій.

 

Контрольна робота включає 11 типів задач, що є основою розрахунку сталефібробетонних конструкцій на міцність, тріщиностійкість та жорсткість.

Перед виконанням контрольної роботи досконало вивчіть і законспектуйте такі розділи та параграфи з підручника [1]:

1. Вступ (стор. 3-7).

2. Розділ 1. “Матеріали для сталефібробетонних конструкцій” (стор.8-22).

3. Розділ 2. “Розрахунок елементів сталефібробетонних конструкцій” (стор.52-126).

Тільки після цього можна приступати до рішення задач.

Рішенню задач передує обов”язкове вивчення такого матеріалу з підручника [1]: задач 1 і 2 - параграф 1.3.4; задач 3 і 4 - параграф 2.2.3. Задачі 5 і 6 базуються на теоретичному матеріалі параграфа 2.2.4 , задача 7 – параграфа 2.2.5, задача 8 – параграфа 2.2.6; задача 9 – параграфа 2.3.1. Перед рішенням задач 10 і 11 вивчіть параграф 2.3.2.

Вихідні дані для рішення задач слід вибирати за шифром Вашої залікової книжки (дві останні цифри номера) з таблиць, розміщених у кожній задачі. Задачі, виконані не за шифром, на перевірку не приймаються і повертаються без рецензії.

Консультації щодо рішення задач можна отримати на кафедрі промислового та цивільного будівництва .

Задача 1.Визначити призмову міцність сталефібробетону в балці прямокутного поперечного перерізу з розмірами 200х450мм, виготовленої з дрібнозернистого бетону класу В20 та заармованої фібровою арматурою з відпрацьованих канатів при об’ємному коефіцієнті армування 0,02 і довжині фібр 50мм.

 

Таблиця 1.

Остання цифра шифру	bw , мм	hw мм	Клас д/з бетону, група	fv	lf , мм	Передост. цифра шифру	Вид фібр
			В25 гр .А	0.02			З маловуглецевого профільованого дроту
			В20 гр. Б	0.025			З маловуглецевого гладкого дроту з анкерами
			В15 гр. А	0.018			З відпрацьованих канатів
			В30гр. А	0.015			З відпрацьованих канатів
			В15 гр. А	0.02			З маловуглецевого профільованого дроту
			В20 гр. А	0.025			З відпрацьованих канатів
			В30 гр. Б	0.018			З маловуглецевого гладкого дроту з анкерами
			В25 гр. Б	0.02			З відпрацьованих канатів
			В15 гр. Б	0.017			З маловуглецевого профільованого дроту
			В30 гр. А	0.025			З відпрацьованих канатів

 

 

Розв’язок:

1. З додатків 1,3 та 4 визначаємо:

r_f = 550МПа; r_b = 11,5МПа; k_п = 0,507 (при b/l_f =450/50=9;

h/l_f = 200/50 =4).

2. Обчислюємо:

L = ( m_fvR_f)/R_b = (0,507²×0,02х550)/11,5 =0,246

Коефіцієнт ефективності фібрового армування:

j_f = (5 + L)/(1 + 4,5L) = (5+0,246)/(1+4,5×0,246)=2,450.

3. Обчислюємо розрахунковий опір сталефібробетону на стиск:

r_sfb = r_b + j_fm_fvr_f = 11,5 + 0,507²×2,450×0,02×550 = 18,4МПа.

 

Задача 2.Визначити міцність сталефібробетону на розтяг за даними задачі 1 при діаметрі фібр d_f=0,5мм.

 

Таблиця 2.

Остання цифра шифру	bw , мм	hw мм	Клас д/з бетону, група	fv	lf , мм	df мм	Передостан. цифра шифру	Вид фібр
			В25 гр .А	0.02		0,5		З маловуглецевого профільованого дроту
			В20 гр. Б	0.025		0,6		З маловуглецевого гладкого дроту з анкерами
			В15 гр. А	0.018		0,6		З відпрацьованих канатів
			В30гр. А	0.015		0,8		З відпрацьованих канатів
			В15 гр. А	0.02		0,6		З маловуглецевого профільованого дроту
			В20 гр. А	0.025		0,6		З відпрацьованих канатів
			В30 гр. Б	0.018		0,7		З маловуглецевого гладкого дроту з анкерами
			В25 гр. Б	0.02		0,9		З відпрацьованих канатів
			В15 гр. Б	0.017		0,6		З маловуглецевого профільованого дроту
			В30 гр. А	0.025		0,5		З відпрацьованих канатів

 

 

Розв’язок:

1. З додатків 1, 2, 3 і 5 визначаємо:

R_f=550МПа; R_b=11,5МПа; k_о2=0,555 (при b/l_f=450/50=9 і

h/l_f=200/50=4); h=0,9.

2. Мінімальна довжина замурування фібр в бетоні:

l_f,an =(h d_fR_f)/R_b =(0,9×0,5×550)/11,5=21,5мм < l_f/2=50/2=25мм.

3. Міцність сталефібробетону на розтяг:

r_sfbt=m₁[(k_o2m_fvR_f)(1 - l_f,an/l_f) + R_b(0,08 - 5,5m_fv)] =

=1×[(0,555²×0,02×550)(1-21,5/50)+11,5(0,08-5,5×0,02)]=1,58МПа,

де m₁=1 (для фібр без анкерів).

 

В іншому випадку, коли l_f,an > l_f/2, міцність сталефібробетону на розтяг визначаємо за формулою:

r_sfbt=m₂R_b[(k_o2m_fvl_f) / (4hd_f) + 0,08 - 5,5 m_fv] .

 

 

Задача 3.Перевірити міцність позацентрово розтягнутого сталефібробетонного стержня прямокутного поперечного перерізу.

 

Таблиця 3.

Остання цифра шифру	bw , мм	hw ,мм	Клас д/з бетону, група	fv	lf , мм	df ,мм	М кн.*м	N кн.*м
			В25 гр .А	0.02		0,5
			В20 гр. Б	0.025		0,6
			В15 гр. А	0.018		0,6
			В30гр. А	0.015		0,8
			В15 гр. А	0.02		0,6
			В20 гр. А	0.025		0,6
			В30 гр. Б	0.018		0,7
			В25 гр. Б	0.02		0,9
			В15 гр. Б	0.017		0,6
			В30 гр. А	0.025		0,5

 

 

В и х і д н і д а н і: b=200мм; h=450мм; R_sfb=18,4МПа; r_sfbt =1,58МПа (за даними задач 1 і 2); М=50кНм; N=100кН (табл.3).

Розв’язок:

1.Визначаємо ексцентриситет поздовжньої сили N відносно ц.в. перерізу:

е₀= М/N= 50/100= 0,5м= 500мм > h/2= 450/2= 225мм,

отже, має місце другий випадок позацентрового розтягу – випадок великих ексцентриситетів ( див. рис.1,б).

2. Ексцентриситет поздовжньої сили N відносно осі, що проходить через розтягнуту грань елемента:

е = е₀ - h/2 = 500 - 450/2 = 275мм.

3. Висота стиснутої зони x :

x = (R_sfbtbh - n) / [b(0,5r_sfb - R_sfbt)] =

=(1,58·10⁶·0,2×0,45-100·10³) / [0,2·(0,5·18,4·10⁶-1,58·10⁶) =

=2,77·10^-3м= 277мм.

4. Міцність перерізу перевіряємо за формулою:

Ne£0,5[R_sfbbx(h-x/3)-R_sfbtb(h-x)]

100·10³·0,275=27,5·10³Нм< 0,5[18,4·10⁶0,2·0,277(0,45 -

-0,277/3)-1,58·10⁸·0,2(0,45-0,277)] =155·10³Нм =155кНм – отже, міцність перерізу забезпечена.

Якщо має місце випадок малих ексцентриситетів, тобто коли е₀< h/2 (див. рис. 1,а), то позацентрово розтягнуті сталефібробетонні елементи без стержньової арматури розраховують за формулою:

N £ R_sfbtA_sfb,tot

 

Рис. 1. До розрахунку елементів, в яких робота сталефібробетону в розтягнутій зоні: а – не враховується; б – враховується; 1 – ц.в. перерізу; 2 – ц.в.стиснутої зони сталефібробетону; 3 – ядрова точка, найвіддаленіша від розтягнутої грані перерізу.

 

 

Задача 4.Визначити площу поперечного перерізу стержньової ненапружуваної арматури в позацентрово розтягнутому комбіновано армованому сталефібробетонному елементі прямокутного профілю.

 

 

Таблиця 4.

Остання цифра шифру	b , мм	h,мм	Передост.цифра шифру	M, kH*м	N, kH	а, мм	Арматура класу
							А-ІІІ
							А-ІІ
							А-І
							А-ІІІ
							А-ІІ
							А-І
							А-ІІІ
							А-ІІ
							А-І
							А-ІІІ

 

 

В и х і д н і д а н і: b=200мм; h=450мм; R_sfbt=1,58МПа (за даними задачі 2); М=20кНм; N=350кН; a=a^'=30мм (табл.4); h₀ = 450 - 30= 420мм; арматура класу А-ІІІ (R_s=365МПа).

 

Розв’язок:

1. Визначаємо ексцентриситет поздовжньої сили N:

е₀= M/N =20/350 =0,057 м =57мм.

2. Ексцентриситет сили N відносно лінії дії рівнодійної в найбільш розтягнутій арматурі:

е = h/2 - е₀ - a= 0,45/2 - 0,057 - 0,03 = 0,138 м =138мм;

те ж саме, відносно лінії дії рівнодійної в менш розтягнутій (стиснутій) арматурі:

= h/2 + e₀ - = 0,45/2 + 0,057 -0,03=0,252м =252мм.

3. = 252мм < h₀- = 0,42 - 0,03 = 0,39м =390мм - отже, це перший випадок позацентрового розтягу — випадок малих ексцентриситетів.

4. Прирівнявши праву і ліву частину залежностей

N £ (hR_spA_sp+R_sA_s)(h₀- )+R_sfbtA_sfb,tot(0,5h- ) і Ne£(hR_sp +R_s )(h₀-a)+R_sfbtA_sfb,tot(0,5h- ),

визначаємо площу поперечного перерізу арматури:

а/ найбільш розтягнутої:

А_s= [N -R_sfbtA_sfb,tot(0,5h- )]/[R_s(h₀- )] =[350·10³·0,252-

- 1,58·10⁶·0,2·0,45·(0,5·0,45 - 0,03)]/[365·10⁶·(0,42 - 0,03)]=

= 4,25·10^-4 м² = 425мм².

б/ менш розтягнутої:

= [Ne - R_sfbA_sfb,tot(0,5h - a)]/[R_s(h₀ - a)] = [350·10³·0,138 -

- 1,58·10⁶·0,2·0,45·(0,5·0,45 - 0,03)]/[365·10⁶·(0,42 - 0,03)]=

= 1,45·10^-4 м² = 145мм².

 

 

Задача 5.Підібрати поздовжню арматуру в сталефібробетонній комбіновано армованій балці прямокутного поперечного перерізу, що працює на згинання.

Таблиця 5.

Остання цифра шифру	b , мм	h,мм	Передост. цифра шифру	M, kH*м	Арматура класу
					А-ІІІ
					А-ІІ
					А-І
					А-ІІІ
					А-ІІ
					А-І
					А-ІІІ
					А-ІІ
					А-І
					А-ІІІ

 

 

Рис. 2. До розрахунку сталефібробетонних елементів прямокутного поперечного перерізу з одиничною ненапружуваною арматурою.

В и х і д н і д а н і: b=200мм; h=450мм; R_sfbt=1,58МПа (за даними задачі 2); М= 250кНм (табл.5); арматура класу А-ІІІ (R_s=365МПа).

Розв’язок:

1. Задаємося а=50мм і визначаємо робочу висоту перерізу:

h₀= h - a = 450 - 50= 400мм.

2. Приймаємо x=0,35 (оптимальне значення x для балок лежить в межах 0,3...0,5) і визначаємо висоту стиснутої зони сталефібробетонного елемента: x = xh₀= 0,35·400= 140мм.

3. Визначаємо необхідну площу поперечного перерізу поздовжньої арматури :

A_s = [M-0,5R_sfbth(h-x)]/[R_s(h₀-0,5x)] =

=[250·10³-0,5·1,58·10⁶·0,45·(0,45-0,14)]/[365·10⁶·(0,4–0,5·0,14) =1,162·10^-3 м² = = 1162мм².

Приймаємо 4Æ20 А-ІІІ; A_s=1256мм².

 

Задача 6. Перевірити міцність сталефібробетонного комбіновано армованого елемента таврового профілю з одиночною ненапружуваною арматурою.

Таблиця 6.

Остання цифра шифру	Полиця	Ребро	b2	Клас бетону групи А	Перед ост цифра шифру	М, kH*м
bf/ x hf /, мм	b x h , мм	арматура
	500 x 100	200 x 400	4 Ø 22 А-ІІІ	0,9	В 15
	450 x 80	250 x 400	4 Ø 20 А-ІІІ		В 20
	400 x 80	200 x 300	4 Ø 18 А-ІІІ	0,9	В25
	500 x 100	300 x 500	4 Ø 22 А-ІІІ		В 30
	450 x 100	250 x 450	4 Ø 20 А-ІІІ	0,9	В 15
	400 x 100	200 x 400	2 Ø 22 А-ІІІ		В 20
	420 x 80	200 x 450	2 Ø 25 А-ІІІ	0,9	В25
	500 x 80	250 x 500	4 Ø 22 А-ІІІ		В 30
	400 x 80	250 x 450	4 Ø 20 А-ІІІ	0,9	В 35
	450 x 100	300 x 500	4 Ø 22 А-ІІІ		В 20

 

В и х і д н і д а н і: =400мм; =100мм; b=250мм; h=400мм; М=190кНм; бетон дрібнозернистий класу В20 групи А; g_b2=0,9 (табл.6); a=0,8; r_sfb=15МПа; r_sfbw=14МПа; r_sfbtw=2,0МПа (обчислено за формулами (1.25)... (1.29) і за вказівками п.1.3.4. підручника (1); стержньова арматура в розтягнутій зоні 4Æ22А-ІІІ (табл.6); A_s=1520мм²; r_s=365МПа;

h₀=h-a= 400- - 40 = 360мм.

 

Розв’язок:

1. Обчислюємо момент, який може сприйняти повністю стиснута полиця:

=r_sfb (h₀-0,5 )-r_sfbtw[(h- )/2-а]=

= 15·10⁶·0,1·0,4·(0,36 - 0,5·0,1) = 186кНм.

2. Перевіряємо умову : М £

М = 190кНм > = 186кНм, отже, межа стиснутої зони перетинає ребро і маємо другий випадок розрахунку (див. рис.3.б).

 

3. Висоту стиснутої зони x визначаємо за формулою :

x=[r_sa_s+r_sfbtwbh+r_sfbwb -r_sfb ]/[b(r_sfbw+r_sfbtw)]=

=[365·1520+2,0·250·400+14·250·100-15·400·100]/[250(14+ +2)]=126,2мм.

 

4. Визначаємо граничну висоту стиснутої зони за СНиП 2.03.01-84:

x_r=w/{1+(r_s/500)·[(1-(w/1,1)]}=

= 0,68/{1+(365/500)·[1– 0,68/1,1)]}= 0,532,

де: w=a - 0,008r_sfb= 0,8 - 0,008·15= 0,680.

5. Умова x = x/h₀= 12,62/36 = 0,351< x_r=0,532 виконується, отже, міцність перерізу перевіряємо за формулою:

M = 190кНм < M_u= r_sfb (h₀-0,5 )+r_sfbwb(x- )(h₀-0,5x-0,5 ) -

-r_sfbtwb(h-x)[(h-x)/2-a)]=15·10⁶·0,4·0,1·(0,36 - 0,5·0,1) + 14·10⁶·0,25·(0,1262-0,1)·(0,36-0,5·0,1-0,5·0,1262)-2·10⁶·0,25· (0,4-0,1262)[0,5·(0,4-0,1262)-0,04] » » 196кНм - отже, несуча здатність перерізу забезпечена.

 

Якщо умова М£ виконується ( п.2 ), то межа стиснутої зони перетинає полицю (перший випадок , див. рис. 3,а ). Тоді висоту стиснутої зони x (п. 3) визначають за формулою:

x=[r_sfbt h+r_sfbtwb(h- )+r_sa_s]/[ (r_sfb+r_sfbt)],

а міцність перерізу перевіряють за умовою:

m £ M_u=r_sfb x(h₀-0,5x)-r_sfbt -x)(h_o-0,5 -0,5x) -

-r_sfbtwb[(h- )/2-a].

 

Рис. 3. До розрахунку комбіновано армованих сталефібробетонних елементів таврового поперечного перерізу з одиничною арматурою, що працюють на згинання: а — перший випадок; б — другий випадок.

Задача 7. Перевірити міцність сталефібробетонної комбіновано армованої балки таврового профілю з ненапружуваною поздовжньою і поперечною арматурою на дію поперечної сили.

 

Таблиця 7.

Остання цифра шифру	Q, kH	Поперечна арматура
вид	Крок S
		2Ø8А-І
		2Ø6 А-ІІІ
		2Ø6 А-І
		2Ø8 А-І
		2Ø6 А-ІІІ
		2Ø8 А-ІІІ
		2Ø10 А-ІІ
		2Ø6 А-І
		2Ø6 А-ІІІ
		2Ø8 А-ІІІ

 

 

 

 

Рис. 4. До розрахунку на міцність похилих перерізів сталефібробетонних елементів на дію поперечних сил по похилій тріщині.

 

 

В и х і д н і д а н і: див. задачу 6. Крім цього, максимальна поперечна сила становить q=1500кН; поперечні стержні з арматури класу А-ІІІ по 2Æ6 в поперечному перерізі (табл.7), розташовані з кроком s=150мм по довжині балки (a_sw=57мм²; r_sw=285МПа).

Розв’язок:

 

1. Обчислюємо зусилля в хомутах на одиницю довжини елемента: q_sw= r_swa_sw/s = 285·10⁶·0,57·10^-4/0,15= 108300 Н/м.

2. Визначаємо розрахункову проекцію похилої тріщини на вісь

елемента:

С ³ 2h₀ ³ 2×360= 720мм.

Крім того, С ³ =

= = 2,97м,

де: j_f = [0,75(40 - 25)10]/(25×36)= 0,125< 0,5,

при цьому b_f = 400мм < b+3h_f= 250 + 3·100= 550мм і

С₀=2,97м >[1,7·2·10⁶·0,25·0,36·(1+0)]/108300=2,83м, тобто умова : c₀ ³[j_b2r_sfbtbh₀(1+j_n)]/(q_sw+q_s,inc) виконується.

Приймаємо С = 2,97м.

3. Поперечна сила, що сприймається поперечними стержнями:

q_sw= q_swC = 108300·2,97= 321650Н » 322кН.

4. Поперечне зусилля, що сприймається сталефібробетоном: q_sfb= q_sfba_q = 500000·2,97= 1485000H= 1485кН,

де: q_sfb - інтенсивність армування сталефібробетону фібрами в межах

похилої тріщини:

q_sfb=(r_sfbtt_w)/sin(90⁰-b) =2·10⁶·0,25sin(90⁰-0)= =500000Н/м,

а а_q = C = 2,97м.

5. Умова:

q £ q_sw+q_s,inc+q_sfb=1500кН<322+1485=1807кН виконується,

отже, міцність балки на дію поперечної сили забезпечена.

 

Задача 8. Перевірити міцність позацентрово стиснутого сталефібробетонного елемента прямокутного поперечного перерізу.

 

В и х і д н і д а н і: b =300мм; h= 450мм (табл.8); r_sfb= 15МПа; бетон матриці дрібнозернистий класу В20 групи А; l_o = 6м; М_l= 50кНм; M_1l= 40кНм; N= 500кН; m_fv= 0,02 (табл.8).

Таблиця 8.

Остання цифра шифру	Розміри перерізу bxh, мм	Клас бетону, група	l0 , мм	Перед -остання цифра шифру	МІ, kH*м	МІl,kH*м	N, kH	fv
	300 x 400	В35, гр. А						0,02
	250 x 500	В30, гр. Б						0,025
	250 x 400	В25, гр. А						0,016
	300 x 450	В20, гр. Б						0,02
	250 x 450	В15, гр. А						0,025
	300 x 500	В25, гр. Б						0,015
	250 x 400	В30, гр. А						0,018
	300 x 450	В25, гр. Б						0,02
	300 x 50	В20, гр. А						0,025
	250 x 400	В15, гр. Б						0,017

 

 

Розв’язок:

 

1. Визначаємо випадковий ексцентриситет е_a:

е_a ³ l_o /600= 6000/600= 10мм; е_a ³ h/30= 450/30= 15мм; е_a ³ 10мм.

Приймаємо е_a= 15мм.

2. Обчислюємо ексцентриситет поздовжньої сили відносно центра ваги зведеного перерізу:

e₀=M/N+e_а = 50/500 + 0,015= 0,115м = 115мм.

3.Обчислюємо початковий модуль пружності сталефібробетону: e_sfb=13200+2150m_fv+320r =13200+2150·2+320·20=2,39·10⁴ МПа;

4. Момент інерції перерізу: I=bh³/12=0,3·0,45³/12=22,8·10^-4 м⁴.

5. Визначаємо:

- відносний ексцентриситет : d_е=e₀/h= 11,5/45= 0,25;

приймається не менш як: d_e,min=0,5-0,01(l_o /h)-0,01r_sfb=

= 0,5 - 0,01·(600/45) - 0,01·15= 0,22;

отже, прийнято d_е= 0,22;

- коефіцієнт , що враховує вплив тривалості дії навантаження на прогин елемента в граничному стані:

j_l=1+b(m_1l/m_l) = 1 + 1,3(40/50)= 2,04;

- умовну критичну силу: n_cr=(6,4e_sfb/l_o²){i/j_l[0,11/(0,1+d_e/j_p)+0,1]+ai_s}= =[(6,4×2,39·10¹⁰)/6²]{(2,28×10⁴/2,04)[0,11/(0,1+ 0,22)+0,1]}= 2520 кН, де j_р=1, I_s= 0 (елемент без стержньової і без попередньо напружуваної арматури).

 

6. Визначаємо коефіцієнт: h=1/(1-n/n_cr) = 1/(1 - 500/2520)= 1,25.

7. Перевіряємо умову: e_oh£0,5kh, прийнявши k= 0,9:

115×1,25 < 0,5×0,9×450;

143,8мм < 202,5мм – отже, має місце випадок малих ексцентриситетів.

8. Обчислюємо:

A_sfbc=bh[1-2e₀(h/h)] = 300×450[1 - 2×115(1,25/450)]= 48750мм².

 

9. Перевіряємо умову: N£ ar_sfba_sfbc

N=500кН<1·15·10⁶·487,5·10^-4=731,2кН — міцність перерізу забезпечена.

Задача 9. Перевірити тріщиностійкість центрально розтягнутого комбіновано армованого сталефібробетонного елемента, що відноситься до другої категорії тріщиностійкості, при тривалій дії повного навантаження.

 

 

В и х і д н і д а н і: n= 450кН; розміри поперечного перерізу bxh= 400x400мм; бетон дрібнозернистий групи А класу В25 (табл.9); r_sfbt,ser= 1,9МПа; e_sfb= 2,7·10⁴МПа (обчислено за формулами (1.27)...(1.30) підручника (1); див. задачі 2 і 8); фібри з відпрацьованих канатів діаметром d_f= 0,5мм і довжиною l_f= 50мм (табл.9); e_f= 1,8·10⁵МПа; об’ємний коефіцієнт армування фібрами становить m_fv=0,02; стержньова арматура 4Æ18А-ІІІ, a_s= 1018мм²; m_s=0,0064; e_s= 2×10⁵МПа; [a_crc] = 0,1мм.

 

 

Таблиця 9.

Остання цифра шифру	bw , мм	hw мм	Клас бетону, група	fv	lf , мм	df мм	Вид фібр	перед цифра шифру	Стержнева арматура	N, kH
			В25, гр А	0,016		0,5	з відпрацьованих канатів		4 Ø 16 А-ІІІ
			В20, гр Б	0,02		0,6	з відпрацьованих канатів		4 Ø 18 А-ІІ
			В35, гр Б	0,018		0,7	з мало вуглецевого проф.. дроту		4 Ø 20 А-ІІІ
			В30, гр А	0,021		0,8	з відпрацьованих канатів		4 Ø 16 А-ІІ
			В15, гр А	0,018		0,5	з мало вуглецевого проф.. дроту		4 Ø 18 А-ІІІ
			В20, гр А	0,015		0,4	з відпрацьованих канатів		4 Ø 20 А-ІІ
			В30, гр Б	0,02		0,7	з відпрацьованих канатів		4 Ø 16 А-ІІ
			В25, гр Б	0,021		0,6	з мало вуглецевого проф.. дроту		4 Ø 20 А-ІІІ
			В15, гр Б	0,02		0,6	з відпрацьованих канатів		4 Ø 18 А-ІІІ
			В30, гр А	0,016		0,5	з мало вуглецевого проф.. дроту		4 Ø 16 А-ІІ

 

Розв’язок:

 

1. Обчислюємо зусилля, що сприймається перерізом, прийнявши площу попередньо напружуваної арматури a_sp і зусилля попереднього обтискування Р₀ рівними нулю: N_crc=R_sfbt,ser(A_sfb+2aA_sp+2aA_s)+p_o=

= 1,9·10⁶(0,4·0,4 + 2·7,4·10,18·10^-4)= 332 630 Н » 335кН.

 

2. Перевіряємо умову : N£N_crc,

n = 450 кН > n_crc = 335кН - отже, тріщини утворюються і необхідно перевірити ширину їх розкриття.

 

3. За додатком 5 при h/l_f = 400/50 = 8 і b/l_f = 400/50= 8 визначаємо коефіцієнт k₀₂= 0,549.

5. Зведений за площею коефіцієнт фібрового армування :

m_fa = m_fvk₀₂ = 0,02·0,549 = 0,011.

5. Визначаємо коефіцієнт m :

m= 1/{[40d_f(m_fa + 5m_s)/m_faa] + 1}=

=1/{[40·0,5²·(0,011+5·0,0064)/(0,011·400·400)]+ 1}=0,9998.

 

6. Коефіцієнт, що враховує вплив фібр на ширину розкриття тріщин: h_f1= 0,5/(0,3 + m)= 0,5/(0,3 + 0,9998) = 0,38.

 

7. Визначаємо зведений коефіцієнт армування :

h_red= (h_f2m_fa + h_sm_s)/(m_fa + m_s)=

= (1,5·0,011 +1·0,0062)/(0,011 + 0,0062)= 1,32.

 

8. Визначаємо зведений коефіцієнт фібрового і стержньового армування по площі перерізу, який не має перевищувати 0,02:

m_red= m_fa + m_s= 0,011 + 0,0062= 0,0172 < 0,02.

 

9. Визначаємо зведений діаметр фібрової і стержньової арматури:

d_red= ( m_fa + m_s)/(d_fm_fa + d_sm_s)=

= (0,5²·0,01+ 18²·0,0064)/(0,5·0,011 + 18·0,0064)= 17,2мм.

 

10. Обчислюємо напруження в крайньому розтягнутому волокні сталефібробетону:

s_f= (N-P)/(m_redA)= [450 000/(0,0172·0,4·0,4)]·10^-6= 163,5 МПа.

 

11.Тепер можна обчислити ширину розкриття тріщин при тривалій дії навантаження:

а_crc=1,2j_lh_f1h_red(s_f/Е_f)20(3,5-100m_red) =

=1,2·1,75·0,38·1,32·(163,5/1,8·10⁵)·20·(3,5100·0,017 =

= 0,08мм < [а_crc]= 0,1мм — отже, тріщиностійкість перерізу забезпечена.

 

Задача 10. Перевірити тріщиностійкість комбіновано армованої сталефібробетонної балки прямокутного поперечного перерізу, що працює на згинання, і відноситься до другої категорії тріщиностійкості, при тривалій дії повного навантаження.

 

Таблиця 10.

Остання цифра шифру	b , мм	h, мм	Клас бетону, група	fv	lf , мм	df, мм	Вид фібр
			В25, гр А	0.02		0.5	з відпрацьованих канатів
			В20, гр Б	0.025		0.6	з відпрацьованих канатів
			В25, гр Б	0.018		0.6	з мало вуглецевого проф.. дроту
			В30, гр А	0.016		0.8	з відпрацьованих канатів
			В15, гр А	0.02		0.5	з мало вуглецевого проф.. дроту
			В20, гр А	0.025		0.4	з відпрацьованих канатів
			В30, гр Б	0.017		0.7	з відпрацьованих канатів
			В25, гр Б	0.02		0.9	з мало вуглецевого проф.. дроту
			В15, гр Б	0.015		0.6	з відпрацьованих канатів
			В30, гр А	0.025		0.5	з мало вуглецевого проф.. дроту
Передост. цифра шифру	Стержньова арматура	M, kH*м
S	S/
	4 Ø 20 А-ІІІ	2 Ø 14 А-ІІІ
	4 Ø 18 А-ІІІ	2 Ø 12 А-ІІІ
	4 Ø 22 А-ІІІ	2 Ø16 А-ІІІ
	4 Ø 24 А-ІІІ	2 Ø 16 А-ІІІ
	4 Ø 18 А-ІІІ	2Ø 12 А-ІІІ
	4 Ø 20 А-ІІІ	2 Ø 14 А-ІІІ
	4 Ø 22 А-ІІІ	2Ø 16 А-ІІІ
	4 Ø 24 А-ІІІ	2Ø 16 А-ІІІ
	4 Ø 18 А-ІІІ	2Ø 12 А-ІІІ
	4 Ø 20 А-ІІІ	2 Ø 12 А-ІІІ

 

 

В и х і д н і д а н і: М= 80кНм; ширина перерізу b=250мм; висота перерізу h= 600мм; бетон матриці дрібнозернистий групи А класу В25 (табл.10); E_b= 2,4·10⁴МПа; R_sfbt,ser = 1,9МПа; E_sfb=2,7×10⁴МПа (обчислено за формулами (1.27)...(1.30) підручника (1); див. задачі 2 і 8); фібри з маловуглецевого дроту діаметром d_f= 0,8мм і довжиною l_f= 80мм (табл.10); модуль пружності фібр E_f=2·10⁵МПа; коефіцієнт об’ємного армування фібрами m_fv= 0,025; стержньова арматура: в розтягнутій зоні 4Æ18А-ІІІ з площею поперечного перерізу a_s= 1018мм² і коефіцієнтом армування m_s= 0,0068; в стиснутій зоні — 2Æ12А-ІІІ з площею поперечного перерізу

A_s= 226мм² і коефіцієнтом армування m_s= 0,0015; E_s= 2×10⁵МПа; a= 50мм;

h_o= h-a= 600 - 50= 550мм; a= 15мм; [a_crc]=0,1мм.

 

Розв’язок:

1. Визначаємо положення нульової лінії з рівняння:

S_sfbc + a_fs_fc + a_fs_ft + a_sS_sc + a_sS_st= [(h - x)A_sfbt]/2.

Для цього спочатку обчислимо:

a_f= E_f/E_b= 2·10⁵/2,4·10⁴= 8,33; a_s= E_s/E_b= 2·10⁵/2,4·10⁴=8,33;

m_fa= m_fvk₀₂= 0,025·0,568= 0,0142 (при k_an=1), де k₀₂=0,568 (визначено за додатком 5 при b/l_f= 600/80= 7,5 та h/l_f= 250/80= 3,13).

S_sfbc=b·0,5x=12,5x²;

a_fS_fc=a_fm_fab·0,5x=0,0142·25·0,5x²=1,48x².

a_fS_ft=a_fm_fab(h-x)0,5(h-x)=8,33·0,0142·25·(60-x)·0,5·(60-x)=

= 1,48x² - 177,5x + 5323;

a_sS_sc= 8,33·2,26·(x - a) = 18,8x - 28,2;

a_sS_st= 8,33·10,18·(h_o - x)= 8,33·10,18·(55 - x)= 4664 - 84,8x;

A_sfbt= b(h - x) = 25·(60 - x)= 1500 - 25x;

Підставляємо отримані значення в рівняння:

S_sfbc + a_fs_fc + a_fs_ft + a_sS_sc + a_sS_st= [(h - x)A_sfbt]/2

Після перетворень отримаємо:

3,2x² + 1256,5x - 35041 = 0,

звідки висота стиснутої зони x =26,1см = 261мм.

 

2. Обчислюємо пружнопластичний момент опору зведеного перерізу. Для цього спочатку обчислимо:

I_sfbc= bx³/12 + bx(0,5x)²= 250·(261)³/12 + 250·261·(0,5·261)²=

= 1481620000 мм⁴;

I_sfbt= b(h - x)³/12 + b(h - x)[(h - x)/2]²= 250·(600 - 261)³/12 +

+ 250·(600 - 261)[(600 - 261)/2]²= 3246520000 мм⁴;

a_fI_fc= a_fm_faI_sfbc= 8,33·0,0142·1481620000= 175250000 мм⁴;

a_fI_ft= a_fm_faI_sfbt= 8,33·0,0142·3246520000= 113930000 мм⁴;

a_sI_st= a_sA_s(h_o - x)²= 8,33·1018·(550 - 261)²= 708250000 мм⁴;

a_sI_st=a_sA_s (x-a)²=8,33·226·(261-15)²=113930000мм⁴;

h - x= 600 - 261= 339мм;

S_sfbt= b(h - x)[(h - x)/2]= 250·(600 - 261)[(600 - 261)/2]²= 14365000 мм³.

Пружнопластичний момент опору зведеного перерізу для крайнього стиснутого волокна:

W_pl=[2(I_sfbc+a_fI_fc+a_fI_ft+a_sI_sc+a_sI_st)]/(h-x)+S_sfbt =

= [2(1481620000 + 175250000 + 384020000 + 113930000 + 708250000)]/339 + 14365000= 31256000 мм³.

3. Момент, що сприймає переріз, нормальний до поздовжньої осі елемента, під час утворення тріщин:

M_crc= R_sfbt,serW_pl + M_rp= 1,9·10^{6 ·} 31256·10^-6= 59386 Нм » 60кНм.

4. Перевіряємо умову : M_r£ M_crc

M_r= M= 80кНм > M_crc= 60кНм - отже, тріщини утворюються і необхідно перевірити ширину їх розкриття.

5. Визначаємо коефіцієнт m:

m = 1/{[40d_f(m_fa + 5m_s)/m_faa] + 1}=

=1/{[40·0,8²·(0,0142 + 5·0,0068)/0,0142·250·600] + 1}= 0,999.

6. Коефіцієнт, що враховує вплив фібр на ширину розкриття тріщин:

h_f1= 0,5/(0,3 + m)= 0,5/(0,3 + 0,999)= 0,387.

7. Зведений коефіцієнт армування:

h_red = (h_f2m_fa + h_sm_s)/(m_fa + m_s) =

= (1×0,0142 + 1×0,0068)/(0,0142 + 0,0068) = 1.

8. Зведений коефіцієнт армування по площі перерізу: m_red = m_fa + m_s = 0,0142 + 0,0068 = 0,021>0,02, отже, приймаємо m_red = 0,02.

9. Зведений діаметр фібрової і стержневої арматури :

d_red = ( m_fa + m_s)/(d_fm_fa + d_sm_s) =

= (0,8² ·0,0142 + 18²·0,0068)/(0,8·0,0142 + 18·0,0068) = 16,5мм.

10. Зводимо переріз до еквівалентного сталевого. Для цього обчислюємо:

a_b= E_b/E_f = 2,4·10⁴/2·10⁵ = 0,12; a_s = a_s = E_s/E_f= 2·10⁵/2·10⁵ = 1.

11. Ширина прямокутного зведеного до сталевого перерізу в стиснутій зоні (див. рис. 5,б) буде:

b_f1 = b(m_fa+a_sm_s+a_b)=250(0,0142+1·0,0015 + 0,12) = 33,9мм.

12. Ширина цього ж перерізу в розтягнутій зоні:

b_f2 = b(m_fa + a_sm_s)= 250·(0,0142 + 1·0,0068) = 5,3 мм.

13. Площа зведеного до сталевого перерізу при x =261мм :

A_f,red = 33,9·261 +0,53·(600 - 261) = 10650 мм².

14. Статичний момент зведеного до сталевого перерізу відносно розтягнутої грані :

S_f,red = 33,9·261·(600-0,5·261)+5,3·(600-261)·[(600-261)/2] = 445900мм².

15. Відстань від центра ваги зведеного до сталевого перерізу до розтягнутої грані:

y_c= S_f,red/A_f,red = 445900/10650 = 419 мм.

16. Момент інерції зведеного до сталевого перерізу відносно його центра ваги:

I_f1=33,9·(191)³/12+33,9·191·(0,5·191)²+33,9·70³/12+ +33,9·70·(0,5×70)²+5,3·(339)³/12+5,3·339·(0,5·339)²=151440000мм⁴

Рис. 5. До задачі 10: а — дійсний переріз елемента; б — переріз, зведений до сталевого.

 

 

17. Пружнопластичний момент опору зведеного до сталевого перерізу: W_pl1=I_f1/(1,3y_c)= 151440000/(1,3×419)= 278000 мм³.

18. Напруження в крайньому розтягнутому волокні сталефібробетону:

s_f = [M - P(e_op + r)]/W_pl1, при Р=0 (як для елемента без попередньо напруженої арматури):

s_f= M/W_pl1= 80 000/(278·10^-6)= 288·10⁶Па= 288 МПа.

19. Визначаємо ширину розкриття тріщин при тривалій дії навантаження:

а_crc = j_lh_f1h_red(s_f/Е_f)20(3,5-100m_red) =

= 1,75·0,387·1(288/200000)·20·(3,5 - 100×0,02) =

= 0,08 мм < [a_crc]= 0,1мм (див.дод.7) - отже, тріщиностійкість перерізу забезпечена.

 

Задача 11.Визначити максимальний прогин балки, що вільно опирається на дві опори і завантажена рівномірно розподіленим навантаженням за вихідними даними задачі 10.

 

Таблиця 11.

Остання цифра шифру	b , мм	h,мм	Клас бетону, група	l, мм	Передост. цифра шифру	M, kH*м	Mser, kH*м
			В25, гр А
			В20, гр Б
			В25, гр Б
			В30, гр А
			В15, гр А
			В20, гр А
			В30, гр Б
			В25, гр Б
			В15, гр Б
			В30, гр А

 

Д о д а т к о в і в и х і д н і д а н і:

момент від постійного та тривалого нормативного навантаження M_ser=60кНм; проліт балки 6м (табл.11); в задачі 10 також підраховані M_crc= 60кНм ; I_f1= 151440000мм⁴; a_s= a_s = a_f = 8,33.

Розв’язок:

1. Визначаємо геометричні характеристики зведеного бетонного перерізу:

- площа зведеного перерізу:

A_red = bh + a_fm_fabh + a_sA_s + a_s A_s =

= 250·600 + 8,33·0,0142·250·600 + 8,33·1018 + 8,33·226 = 178100 мм²;

- статичний момент зведеного перерізу відносно розтягнутої грані :

S_red= bh(0,5h) + a_fm_fabh(0,5h) + a_sA_sа + a_sA_s(h - а)=

= 250·600·(0,5·600) + 8,33·0,0142·250·600·(0,5·600) + 8,33·1018·50 + 8,33·226·(600 - 15)= 51562000 мм³;

- відстань від центру ваги зведеного перерізу до розтягнутої грані : y_c= S_red/A_red=51562000/178100= 290мм;

- момент інерції зведеного перерізу відносно осі, що паралельна розтягнутій грані і проходить через його центр ваги:

I₁= 250·310³/12 + 250·310·(0,5×310)² + 250·290³/12 + 250·290·(0,5·290)² + 8,33·0,0142·250·310·(0,5·310)² + 8,33·0,0142·250·290·(0,5·290)² + 8,33·1018·(290 - 50)² + +8,33·226·(310 - 15)²= 5575030000 мм⁴.

2. Жорсткість перерізу при нетривалій дії навантаження :

B_f1= 0,85E_bI₁= 0,85·2,4·10¹⁰·557503·10^-8= 11,4·10⁷Нм².

3. Жорсткість b_f3:

- при нетривалій дії навантаження : B_f3= 0,9E_fI_f1/1,30,9·2·10¹¹·15144·10^-8= 2,7·10⁷Нм²;

- при тривалій дії навантаження :

B_f3= 0,5E_fI_f1/1,3= 0,5·2·10¹¹·15144·10^-8= 1,5·10⁷Нм².

4. Кривина від нетривалої дії повного навантаження :

r₅= j_b2M_crc/B_f1 + (M - M_crc)/B_f3= =1,2·60·10³/11,4·10⁷+(80·10³-60·10³)/2,7·10⁷=13,7·10^-4(1/м).

5. Кривина від нетривалої дії постійного і довготривалого навантаження:

r₆= M_ser/B_f3 = 60·10³/2,7·10⁷= 22,2·10^-4 (1/м).

6. Кривина від тривалої дії постійного і довготривалого навантаження:

r₇= M_ser/ =60·10³/1,2·10⁷=50·10^-4 (1/м),

де: =0,8b_f3= 0,8·1,5·10⁷= 1,2·10⁷Нм².

7. Повна кривина:

r_tot= r₅ - r₆ + r₇ = (13,7 - 22,2 + 50)·10^-4= 41,5·10^-4 (1/м).

9. Коефіцєнт m = 5/48 (див. додаток 10).

10. Відношення l/h =600/60=10, тому прогин можна визначити за формулою: f_m= r_totml² = 41,5·10^-4·(5/48)×6²= 155·10^-4м = 15,5мм.

f_m=15,5мм < [f_tot]= 30мм (див.додаток 9).

 

 

Додатки

Додаток 1.

Розрахункові опори і модуль пружності фібрової арматури

Вид фібрової арматури	Нормативний Rfn і розрахунков. Rf,ser опір для граничних станів другої групи, МПа	Коефіцієнт надійності щодо фібрової арматури gf при розрахунку конструкцій за граничними станами	Розрахун-ковий Rf опір фібрової арматури для граничних станів першої групи, МПа	Модуль пружності фібрової арматури Еf, МПа
		першої групи	другої групи
Дріт маловуглеце- вий загального використання (ТУ-14-4-1093-85)		1,20	1,00		200 000
Сталевий лист (ТУ-21-33-60-86)		1,25	1,00		210 000
Відпра- цьовані канати (ТУ 87-797-85)		1,45	1,00		180 000

 

 

Додаток 2.

Значення коефіцієнта h

№ п/п	Вид фібр	h
1.	З маловуглецевого профільованого дроту	0,6
2.	Зі сталевого листа	0,8
3.	З відпрацьованих канатів	0,9
4.	З маловуглецевого гладкого дроту	1,2

Додаток 3.