МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА»
ФГОУВПО «РГУТиС»
Кафедра МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
(название кафедры)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе,
д.э.н., профессор
_________________________Новикова Н.Г.
«_____»_______________________200__г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
(ЧАСТЬ 5)
для студентов очной, заочной формы обучения и по форме экстернат
Дисциплина
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
(название дисциплины)
Для всех специальностей
Москва 2008 г.
Методические указания по выполнению контрольных работ составлены на основании рабочих программ дисциплины
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
(название дисциплины)
Методические указания по выполнению контрольных работ рассмотрены и утверждены на заседании кафедры МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
(название кафедры)
Протокол № 9 «22» апреля 2008г.
Зав кафедрой к.т.н. доцент, Щиканов А.Ю.
Методические указания по выполнению контрольных работ одобрены Учебно-методическим советом ФГОУВПО «РГУТиС»
Протокол № ________ «____»_______________200_г.
Методические указания по выполнению контрольных работ разработаны:
Преподаватели кафедры
Математика и информатика
(название кафедры)
доцент Белов Б.А.,
Согласовано:
Зам. проректора - начальник
Учебно-методического управления к.э.н., доцент Дуборкина И.А
Начальник
Методического отдела Рыженок Н.В.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Справочный материал.
Случайные события:
- вероятность события P(A) = 
, n – число всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания, а m – число исходов благоприятствующих появлению события А;
Pn= n! - число перестановок n различных элементов
( n! = 1 2 3 
n, при этом 0! = 1 );
число размещений m различных элементов в n местах
(m n);
число сочетаний по m элементов из n различных
элементов ( m n, 
);
А + В – это событие, состоящее в появлении А или В или А и В вместе;
А В – это событие, состоящее в появлении А и В вместе;
– это событие противоположное А;
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) для несовместных событий А и В;
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) Р(АВ) для совместных событий А и В;
Р(АВ) = Р(А) Р(В) для независимых событий А и В;
Р(АВ) = Р(А)Р 
для зависимых событий А и В, где Р – условная вероятность появления события В при условии, что событие А
уже появилось;
формула Бернулли для вычисления вероятности появления события А ровно 
раз в серии из n испытаний, при этом
Р(A) = p в каждом испытании, Р( ) = q, p + q = 1;
Р(А) = 
- формула полной вероятности, при этом гипотезы Hiобразуют полную группу событий, то есть они попарно
независимы и 
, а событие А происходит только с одной из гипотез Hi;
- формула Байеса для вычисления вероятности гипотезы Нк при условии, что событие А произошло.
Случайные величины.
Дискретная случайная величина (ДСВ):
X принимает изолированные числовые значения x1, x2 , .... ;
- ряд распределения ДСВ – это таблица вида:
| xi | x1 | x2 | .... |
| Pi | P1 | P2 | ... |
при этом 
- многоугольник распределения – это ломаная, соединяющая точки ( 
);
- интегральная функция F(x) = P(X < x) = F(a) + P(a X < x) представляет собой ступенчатую кривую;
- математическое ожидание ДСВ определяется формулой 
;
- свойства: M(С) = C, M(hX + C) = h M(X) + C;
- дисперсия D(X) = M(X M(X))² = M(X²) M²(X);
- расчетные формулы: D(X) 
;
- свойства: D(X) 0, D(0) = 0, D(hX + c) = h² D(X);
- среднее квадратическое отклонение 
;
Основные виды распределений ДСВ.
1. Геометрическое: X = k = 1, 2, 3...
,
2. Распределение Бернулли (биноминальное): X = k = 0, 1, 2, ..... , n
M(X) = n p, D(X) = n p q, 
;
3. Распределение Пуассона: X = k = 0, 1, 2, ... , n
M(X) = a, D(X) = a, 
Непрерывная случайная величина (НСВ):
X принимает числовые значения 
;
- плотность (дифференциальная функция) распределения вероятностей: 
- интегральная функция распределения:
F(x) = P(X < x) = 
, при этом 
;
- вероятность попадания НСВ в интервал
P( < X < ) = F() – F() = 
- математическое ожидание M(X) = 
- дисперсия D(X) 
- среднее квадратическое отклонение 
.
Основные виды распределений НСВ:
1. Равномерное распределение в интервале (a, b)
при 
при 
при 
при
при a 
x b,
при 
,
M(X) = 
D(X) = 
, 
;
1. Показательное распределение
при 
при 
при 
при 
M(X) = 
, D(X) = 
, 
2. Нормальное распределение
F(x) = 0.5 + Ф( 
), где Ф(z) = 
– функция Лапласа (ее значения имеются в приложениях учебников по теории вероятностей);
M(X) = a, D(X) = 
, 
,
P( < X < ) = Ф 
– Ф 
.
Примеры.
1. Из разрезной азбуки сложено слово МАМА, затем рассыпано и сложено случайным образом. Найти вероятность того, что снова получится слово МАМА.
P = , n = P4= 4! = 24, m = 2! 2! = 4 => P = 
= 
= 0.17.
2. Четыре человека, среди которых двое знакомых, случайным образом рассаживаются в ряд, состоящий из шести стульев. Какова вероятность того, что знакомые окажутся рядом сидящими?
n = 
, m = (42 + 2) 
= 
P = 
= 
. 3. Из группы, состоящей из 4 студенток и 7 студентов, случайным образом отбираются 5 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется ровно 2 студентки?
, 
.
4. Из урны, в которой находятся 5 красных, 2 синих и 4 желтых шара наудачу без возвращения в урну извлекаются:
1. 7 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров окажется ровно 3 красных;
2. 2 шара. Найти вероятность того, что:
а) это будут желтые шары;
б) эти шары будут одного цвета;
в) эти шары будут разного цвета;
г) среди этих шаров будут хотя бы один красный;
3. 3 шара. Найти вероятность того, что:
а) эти шары будут одного цвета;
б) эти шары будут разных цветов;
в) взятый из них наудачу один шар окажется желтым;
4. 2 шара и они оказались одного цвета. Найти вероятность того, что это красные шары.
Решение.
1. В урне 5 красных и 6 некрасных шаров
.
2. a) P(ж и ж) = 
= 0.11.
б) P(к и к или с и с или ж и ж) = 
в) Для двух шаров событие «шары разного цвета» противоположно
событию «шары одного цвета» => P(в) = 1 P(б) = 1 – 0.31 = 0.69.
г) Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров и найдем
P(A) = 1 – P( ) = 1 – P(н и н) = 
.
3. а) Р(к и к и к или с и с и с или ж и ж и ж) = 
= 0.085.
б) P(к, ж, с) = 
= 0.24
Примечание. Множитель 3! Соответствует числу перестановок 3-х элементов.
в) Решим задачу по формуле полной вероятности. В урне находятся 4 желтых и 7 нежелтых шаров. Событие А – желтый шар из 3-х.
Гипотезы: H1– 3 желтых шара;
H2 – 2 желтых и 1 нежелтый;
H3 1 желтый и 2 нежелтых;
H4 – 3 нежелтых.
Контроль 
4. Считаем, что в урне 5 красных и 6 некрасных шаров. Событие А – шары одного цвета.
Гипотезы:
Н1 – 2 красных шара;
Н2 – 2 некрасных шара;
Н3 – 1 красный и 1 некрасный.
Надо найти 
. По формуле Байеса 
.
Контроль 
5. В урне находятся 5 красных и 8 синих шаров. Шар извлекается и возвращается в урну 4 раза. Найти вероятность того, что красный шар появится:
а) ровно 3 раза; б) не менее 2-х раз.
Для решения задачи применяем формулу Бернулли 
, 
а) 
б) 
6. Из урны, содержащей 7 синих и 8 желтых шаров наудачу извлекаются 4 шара. Построить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины равной числу синих шаров среди извлеченных 4-х шаров.
Значение случайной величины 
Найдем их вероятности:
Проверим свойство ряда: 
.
| Xk | |||||
| Pk | 
| 
| 
| 
| 
|
Итак, ряд распределения Х :
Математическое ожидание
7. Дискретная случайная величина Х с известным математическим ожиданием М(Х) = 3.7 задана рядом распределения:
| Xi | 
| 
| |||
| Pi | 0.1 | р2 | 0.2 | р4 | 0.2 |
Требуется:
а) найти p2 и p4;
б) построить многоугольник распределения;
в) построить интегральную функцию F(x) и ее график;
г) вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение:
а) найдем из условий 
и 
Получим систему уравнений:
| Xi | 6 | 1 | |||
| Pi | 0.1 | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.2 |
.
б) для ряда распределения:
строим многоугольник распределения:
в) интегральную функцию 
строим с помощью свойства 
:
при 
| 
|
при 
| 
|
при 
| 
|
при 
| 
|
при 
| 
|
при 
| 
|
г) дисперсия 
.
(по условию) 
и
среднее квадратическое отклонение 
.
8. Задана дифференциальная функция (плотность) распределения
Найти:
а) параметр ;
б) интегральную функцию 
;
в) математическое ожидание 
и дисперсию 
;
г) вероятность события 
.
Решение:
а) из условия 
тогда 
б) 
При построении воспользуемся свойством
.
При 
| 
|
при 
| 
|
при 
|  .
|
в) 
.
г) 
.
9. На запуск двигателя тратится в среднем 2.5 попытки. Считая, что вероятность запуска в каждой попытке одинакова, найти вероятность запуска двигателя не более, чем за 3 попытки.
Здесь имеет место геометрическое распределение случайной величины Х равной числу попыток до запуска двигателя, причем 
. Тогда из 
и 
.
10. Случайная величина Х имеет биномальное распределение (распределение Бернулли) с математическим ожиданием 
и дисперсией 
. Найти вероятность события 
.
Для биномального распределения 
, 
получим систему уравнений:
, тогда 
и 
.
Искомую вероятность 
находим с помощью формулы Бернулли.
11. Для случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона вероятность события 
равна 0.4. Найти вероятность события 
.
Из формулы 
для 
, 
Тогда 
12. Случайная величина Х имеет равномерное распределение в интервале 
, причем 
и 
. Найти вероятность события 
.
Для равномерного распределения 
, 
.
По условию 
. Для и 
интегральная функция имеет вид:
13. Случайная величина Х имеет показательное распределение и при этом численно 
. Найти вероятность события 
.
Из формул 
, 
или 
.
Тогда 
и интегральная функция будет:
14. Методами математической статистики установлено, что для данного региона роста призывников в ряды вооруженных сил имеют нормальное распределение с параметрами 
. Найти ожидаемое число призывников 3-го роста из 1000 человек.
Отметим, что третий рост соответствует интервалу (167, 173).
По формуле 
получим
Тогда ожидаемое число призывников третьего роста
человек.
Примечание: значения 
и 
взяты из таблицы значений функции Лапласа 
.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
Справочный материал.
Одномерная выборка.
Способы формирования выборки:
- интервальный вариационный ряд – это таблица
| 
| 
| . . . | 
|
| 
| 
| . . . | 
|
;
- шаг вариации, 
- частоты попадания признака Х в диапазон 
, 
- объем выборки;
- гистограмма плотностей относительных частот
- это графическое представление интервального вариационного ряда вида:
, где 
;
|
|
| . . . |
|
|
|
|
| . . . |
|
- дискретный вариационный ряд – это таблица:
где 
, 
;
- полигон относительных частот 
- это графическое представление дискретного вариационного ряда вида:
, где 
.
Числовые характеристики выборки:
- среднее выборочное 
, при этом 
;
- выборочная дисперсия 
, при этом 
;
- выборочное среднее квадратическое отклонение 
, при этом 
;
- критерий Пирсона для проверки статистической гипотезы о виде закона распределения 
, где 
- теоретические частоты, найденные с учетом выбранного закона распределения генеральной совокупности 
.
Двумерная выборка:
- исходные данные формируются в виде корреляционной таблицы:
| 
| 
| . . . | 
| 
|
| 
| 
| . . . | 
| 
|
| 
| 
| . . . | 
| 
|
| . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
| 
| 
| . . . | 
| 
|
| 
| 
| . . . | 
| 
|
, 
- шаги вариации,
- объем выборки;
- коэффициент корреляции 
оценивает тесноту линейной корреляционной зависимости;
- линейное уравнение регрессии 
на 
, а
на 
.
Примечание: коэффициент корреляции не изменяется при линейных заменах переменных х и у.
Примеры.
1. Выборка объемом 
измерений задана интервальным вариационным рядом:
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
Требуется:
а) построить гистограмму плотностей относительных частот 
;
б) перейти к дискретному вариационному ряду и построить полигон относительных частот ;
в) вычислить среднее выборочное 
и среднее выборочное квадратическое отклонение 
;
г) при уровне значимости 
проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Х.
Решение:
а) , 
- плотности относительных частот:
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0,14 | 0,23 | 0,38 | 0,26 | 0,19 | 0,06 |
Гистограмма плотностей относительных частот :
б) принимая середины интервалов за значения вариант , получим дискретный вариационный ряд:
|
| 2.7 | 3.5 | 4.3 | 5.1 | 5.9 | 6.7 |
|
| ||||||
| 0.11 | 0.18 | 0.3 | 0.21 | 0.15 | 0.05 |
, 
.
Полигон относительных частот 
:
в) для расчета и сделаем преобразование 
, примем за ложный ноль 
. Тогда 
- условные варианты.
Найдем условные характеристики: 
, 
, 
, затем с помощью обратного преобразования 
найдем и . Для вычисления сумм 
и 
применим метод произведений и найдем эти сумм с помощью таблицы:
| i |
| 
| 
| 
| 
|
| 
| ||||
|
| 
| ||||
|
Контроль вычислений: с одной стороны 
, с другой
стороны 
вычисления верны.
С помощью свойств и получаем:
г) для расчета теоретических частот применим приближенную формулу 
, где 
, а 
.
Примечание: точная формула теоретических частот для нормального распределения
, где 
, 
, предполагает использование таблиц значений функций Лапласа
Значения 
и 
берем из предыдущего пункта 
, 
.
|
| 
| 
|
| 2.7 | 
| 7.25 | |
| 3.5 | 
| 19.08 | |
| 4.3 | 
| 29.02 | |
| 5.1 | 
| 25.45 | |
| 5.9 | 1.29 | 12.91 | |
| 6.7 | 2.03 | 3.78 |
Наблюдаемое значение критерия 
найдем в таблице:
|
|
| 
|
| 7.25 | 1.94 | ||
| 19.08 | 0.06 | ||
| 29.02 | 0.03 | ||
| 25.45 | 0.78 | ||
| 12.91 | 0.34 | ||
| 3.78 | 0.39 |
Суммируя последний столбец, получим 
, критическое значение берем из таблицы приложений для уровня значимости 
и числе степеней свободы 
(здесь 
- число вариант, 
- число параметров нормального закона распределения). 
.
Так как 
, то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
2. Двумерная выборка совместных измерений признаков X и Y объемом N = 100 задана корреляционной таблицей:
| yj xi | 5.3 | 7.4 | 9.5 | 11.6 | 13.7 | mxi |
| 2.7 | - | - | - | |||
| 3.5 | - | - | ||||
| 4.3 | - | - | ||||
| 5.1 | - | - | - | |||
| 5.9 | - | - | ||||
| 6.7 | - | - | - | |||
| myj | N = 100 |
Требуется: