Канонические и параметрические уравнения прямой

Прямая на плоскости.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

	-расстояние между точками A(x1,y1) и B(x2,y2);
	-координаты точки С(x,y), которая делит отрезок, соединяющий точки A(x1,y1) и B(x2,y2), в отношении ;
	-координаты середины отрезка АВ;
	-условие принадлежности трёх точек (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) одной прямой;
	- площадь треугольника с вершинами (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3).

Прямая на плоскости

Ax+By+C=0	- общее уравнение прямой;
A(x-x0)+B(y-y0)=0	- уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) перпендикулярно нормальному вектору {A,B};
	- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) параллельно вектору {l,m};
	- параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x0,y0) параллельно вектору ;
	- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1,y1) и (x2,y2);
	- уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где - угол наклона прямой к оси ox;
	- уравнение прямой в отрезках, где (а,0) и (0,b) - координаты точек пересечения прямой с осями ox и oy;
	- нормальное уравнение прямой, где р - расстояние от начала координат до прямой, a-угол между осью ox и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат;
	- нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С;
	- расстояние от точки (x0,y0) до прямой Ax+By+C=0;
	- координаты точек пересечения двух прямых A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0;
	- координаты точек пересечения прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2;
	- условия параллельности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2 ;
	- условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2 ;
	- угол между двумя прямыми, заданными в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2 ;
A1x+B1y+C1+ + (A2x+B2y+C2)=0	- уравнение пучка прямых через точку М, если A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М.

Простейшие задачи на плоскости

Расстояние между двумя точками

M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂)

.

 

Деление отрезка в данном отношении

Точка M(x,y) делит отрезок M₁M₂ в отношении , если . Тогда а отсюда и координаты точки М находятся по формулам: .

Координаты середины отрезка С получаются при М₁М=ММ₂, то есть :

Отметим, что число l не зависит от того, как выбрано положительное направление на отрезке М₁М₂, так как при изменении направления на противоположное l не меняется.

Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой на плоскости xoy получается из общего уравнения плоскости в пространстве при z = 0.

Прямая на плоскости в декартовых координатах задается уравнением

Ax+By+C=0.

Если А = 0 (В = 0), то прямая параллельна оси ox (оси oy). Если С=0, то прямая проходит через начало координат. Если прямая проходит через точку (x₀,y₀) перпендикулярно вектору , ее уравнение принимает вид: .

Канонические и параметрические уравнения прямой

Если прямая проходит через точку (x₀,y₀) параллельно направляющему вектору , то из канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве при z = 0 получаем каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости в виде

и

где t – параметр, .