Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Пусть кривая второго порядка задана в общем виде:

.

Приведение этого уравнения к каноническому виду за­ключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это мо­жет быть достигнуто переносом начала координат в центр кривой (x₀,y₀) и поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с коорди­натными осями. Алгебраически это приводит к исчез­новению членов с произведением текущих координат и членов, содержащих их в первой степени, после приме­нения формул (1) и (3).

 

Уравнения, определяющие центр кривой, если он существует, записываются как

(6)

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными. После переноса на­чала координат в центр (x₀,y₀) уравнение кривой примет вид

, (7)

где .

Чтобы получить каноническое уравнение кривой

,

подвергнем уравнение (7) преобразованию поворота осей координат на угол .

После преобразования получим:

где - новые координаты.

Выпишем из преобразованного уравнения слагаемые второго порядка:

Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержа­щее произведение , коэффициент перед которым равен

Найдём угол поворота из условия В₁=0: .

Если А = С, то и в качестве угла поворота можно выбрать ; если , то выбираем .

 

 

ПП 7.3. Преобразования координат
ПП 7.3. № 1	Преобразовать уравнение x2 – y2 = a2 поворотом осей на 45° против часовой стрелки. Решение Так как a = -45°, то Отсюда преобразование поворота принимает вид: Подстановка в исходное уравнение дает х¢у¢ = а2/2.
ПП 7.3. № 2	Привести уравнение 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и построить кривую. Решение Сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты: (5x2 – 30x) + (9y2 + 18y) +9 = 0, или 5(x2 – 6x) + 9(y2 + 2y) +9 = 0. Дополняем члены в скобках до полных квадратов: 5(x2 – 6x + 9 – 9) + 9(y2 + 2y + 1 – 1) +9 = 0, или 5(x – 3)2 + 9(y + 1)2 = 45. Обозначаем x¢ = x – 3, y¢ = y + 1, x0 = 3, y0 = -1, то есть точка О1(3, -1) – центр кривой. Уравнение в новой системе координат принимает вид: и определяет эллипс с полуосями а = 3, b = который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1).
ПП 7.3. № 3	Определить вид кривой Решение Определим угол поворота осей по формуле (7) п.4.4: Подвергнем уравнение кривой преобразованию: и получим уравнение эллипса . x¢ 2 + 2y¢ 2 = 2.
ПП 7.3. № 4	Установить, какую линию определяет уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0. Решение Перенесем начало координат в такую точку О1(х0, у0), чтобы уравнение не содержало х¢ и у¢ в первой степени. Это соответствует преобразованию координат: Подстановка в исходное уравнение дает (x¢ + x0)2 + (x¢ + x0)(y¢ + y0) + (y¢ + y0)2 – 2(x¢ + x0) + 3(y¢ + y0) = 0 или x¢2 + x¢y¢ + y¢2 + (2x0 + y0 - 2)x¢ + (x0 + 2y0 + 3)y¢ + x02 + x0y0 + y02 - 2x0 + 3y0 =0. Положим 2x0 + y0 – 2 = 0, x0 + 2y0 + 3 = 0. Решение полученной системы уравнений: x0 = 7/3 и y0 = -8/3. Таким образом, координаты нового начала координат O1(7/3, -8/3), а уравнение принимает вид x¢2 + x¢y¢ + y¢ 2 = 93/25. Повернем оси координат на такой угол a, чтобы исчез член х¢у¢. Подвергнем последнее уравнение преобразованию: и получим (cos2a + sina×cosa + sin2a)×x¢¢2 + (cos2a - sin2a)×x¢¢y¢¢ + + (sin2a - sina×cosa + cos2a)×y¢¢ 2 = 93/25. Полагая cos2a - sin2a = 0, имеем tg2a = 1. Следовательно, a1,2 = ±45°. Возьмем a = 45°, cos45° = sin45° = После соответствующих вычислений получаем Итак, – уравнение эллипса с полуосями в дважды штрихованной системе координат, получаемой из исходной параллельным переносом осей координат в точку О1(7/3, -8/3) и последующим поворотом на угол 45° против часовой стрелки. Уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0 приведено к каноническому виду
ПП 7.3. № 5	Привести к каноническому виду уравнение 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = 0. Решение Система уравнений для нахождения центра кривой: несовместна, значит, данная кривая центра не имеет. Не меняя начала координат, повернем оси на некоторый угол a, соответствующие преобразования координат имеют вид: Перейдем в уравнении к новым координатам: 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = (4cos2a - 4cosa×sina + sin2a)×x¢2 + + 2×(-4sina×cosa - 2cos2a + 2sin2a + sina×cosa)×x¢y¢ + + (4sin2a + 4sina×cosa + cos2a)×y¢2 + + 2×(-cosa - 7sina)×x¢ + 2×(sina - 7cosa)×y¢ + 7 = 0. (*) Постараемся теперь подобрать угол a так, чтобы коэффициент при х¢у¢ обратился в нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение -4sina×cosa - 2cos2a + 2sin2a + sina×cosa = 0. Имеем 2sin2a - 3sina×cosa - 2cos2a = 0, или 2tg2a - 3tga - 2 = 0. Отсюда tga = 2, или tga = -1/2. Возьмем первое решение, что соответствует повороту осей на острый угол. Зная tga, вычислим cosa и sina: Отсюда, и учитывая (*), находим уравнение данной кривой в системе х¢,у¢: (**) Дальнейшее упрощение уравнения (**) производится при помощи параллельного перенесения осей Ох¢, Оу¢. Перепишем уравнение (**) следующим образом: Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и компенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим: Введем теперь еще новые координаты х¢¢,у¢¢, полагая x¢ = x¢¢ + y¢ = y¢¢ + что соответствует параллельному перемещению осей на величину в направлении оси Ох¢ и на величину в направлении оси Оу¢. В координатах х¢¢у¢¢ уравнение данной линии принимает вид Это есть каноническое уравнение параболы с параметром и с вершиной в начале координат системы х¢¢у¢¢. Парабола расположена симметрично относительно оси х¢¢ и бесконечно простирается в положительном направлении этой оси. Координаты вершины в системе х¢у¢ а в системе ху
ПП 7.3. № 6	Какую линию определяет уравнение 4x2 - 4xy + y2 + 4x - 2y - 3 =0? Решение Система для нахождения центра кривой в данном случае имеет вид: Эта система равносильна одному уравнению 2х0 – у0 + 1 = 0, следовательно, линия имеет бесконечно много центров, составляющих прямую 2х – у + 1= 0. Заметим, что левая часть данного уравнения разлагается на множители первой степени:   4х2 – 4ху + у2 + 4х –2у –3 =(2х – у +3)(2х – у – 1). Значит, рассматриваемая линия представляет собой пару параллельных прямых: 2х – у +3 = 0 и 2х – у – 1 = 0.
ПП 7.3. № 7	1. Уравнение 5х2 + 6ху + 5у2 – 4х + 4у + 12 = 0 приводится к каноническому виду х¢ 2 + 4у¢ 2 + 4 = 0, или Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса. Однако оно не определяет на плоскости никакого действительного образа, так как для любых действительных чисел х¢,у¢ левая часть его не отрицательна, а cправа стоит –1. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями мнимого эллипса. 2. Уравнение 5х2 + 6ху + 5у2 – 4х + 4у + 4 = 0 приводится к каноническому виду х¢ 2 + 4у¢ 2 = 0, или Уравнение также похоже на каноническое уравнение эллипса, но определяет не эллипс, а единственную точку: х¢ = 0, у¢ = 0. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями вырожденного эллипса.

 

 

ПП 7.3. № 8

Составить уравнение параболы, если ее фокус находится в точке F(2, -1) и уравнение директрисы D: x – y – 1 = 0. Решение Пусть в некоторой системе координат х¢О1у¢ парабола имеет канонический вид у¢2 = 2рх¢. Если прямая у = х – 1 является ее директрисой, то оси системы координат х¢О1у¢ параллельны директрисе. Координаты вершины параболы, совпадающей с новым началом координат О1, найдем как середину отрезка нормали к директрисе D, проходящей через фокус. Итак, ось О1х¢ описывается уравнением у = -х + b, -1 = -2 + b. Откуда b = 1 и О1х¢: у = -х + 1. Координаты точки K пересечения директрисы и оси О1х¢ находим из условия: Координаты нового начала координат О1(х0, у0): Оси новой системы координат повернуты относительно старой на угол (-45°). Найдем р = KF = Итак, уравнение параболы в старой системе координат получим, если подвергнем уравнение параболы y¢ 2 = ×x¢ преобразованию (см. формулу (5) п.4.3): откуда искомое уравнение параболы имеет вид: х2 + 2ху + у2 – 6х + 2у + 9 = 0.

 

ПП 7.3. № 9

Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е = фокус F(2, -3) и уравнение директрисы 3х – у + 3 = 0. Решение Уравнение директрисы D1: у = 3х + 3 позволяет заключить, что новая ось координат Ох¢ имеет вид y = (-1/3)x + b, проходит через точку F(2, -3), значит, откуда b = -7/3 и Ох¢ задается уравнением Пусть начало новой системы координат находится в точке О1(х0, у0). Найдем координаты точки К как координаты точки пересечения директрисы D1 и оси Ох¢¢ из системы Геометрические свойства гиперболы, которая в новых осях координат Ох¢у¢ имеет вид позволяют найти КF как расстояние от фокуса F(2, -3) до директрисы D1: 3х – у + 3 = 0. так как Значение а находим из уравнения и получаем При этом b2 = 18. Уравнение гиперболы в новых координатах имеет вид Координаты нового центра найдем, зная что точка К делит отрезок О1F в отношении Из D АВО: sina = cosa = Так как поворот совершается на угол (-a): sin(-a) = cos(-a) = то формулы преобразований координат (см. (5) в п.4.3) принимают вид: и уравнение гиперболы принимает вид 4(3х – у +6)2 – (х + 3у + 7)2 = 180 или 7х2 – у2 – 6ху – 18у + 26х + 17 = 0.