Непрерывность функции в точке

Задание №1.

1. Записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, изобразив его на комплексной плоскости.

2. Вычислить

3. Вычислить

4. Составить квадратное уравнение, одним из корней которого является число .

Задание №2.

Вычислить пределы.

Задание №3.

Подобрать параметры и таким образом, чтобы функция была непрерывна.

Задание №4.

Продифференцировать функции по переменной .

Задание №5.

Исследовать функцию с помощью производной и построить её график.

Вариант 1

Задание №1.1. ; 2.

Задание №2. 1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. 3.

Задание №5. .

Вариант 2

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. 2. 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. 3.

Задание №5. .

Вариант 3

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. ; 2. _;3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 4

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. _;2. _;3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. 3.

Задание №5. .

Вариант 5

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. _;2. _;3. _.

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. 3

Задание №5. .

Вариант 6

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. ; 2. ; 3.

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. 3.

Задание №5. .

Вариант 7

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. ; 2. ; 3.

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 8

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 9

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 10

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 11

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 12

Задание №1.1. ; 2.

Задание №2. 1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 13

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 14

Задание №1. 1. ; 2.

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 15

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 16

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 17

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. ; 2. ; 3. _.

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ;

Задание №5.

Вариант 18

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 19

Задание №1. 1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. _.

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 20

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. _.

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 21

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2. 1. ; 2. ; 3. _.

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5.

Вариант 22

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. 2. ; 3. _.

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 23

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 24

Задание №1.1.; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 25

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 26

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3.

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 27

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 28

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 29

Задание №1.1. ; 2. .

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Вариант 30

Задание №1.1. ; 2..

Задание №2.

1. ; 2. ; 3. .

Задание №3.

Задание №4.

1. ; 2. ; 3.

Задание №5. .

Справочный материал

Комплексные числа

Алгебраической формой комплексного числа называется выражение вида , где и – действительные числа, а – так называемая мнимая единица ( ).

Число называется действительной частью комплексного числа ( ), число - мнимой частью ( ).

Два комплексных числа и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Пусть даны два комплексных числа и . Они равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е. .

Действия над комплексными числами в алгебраической форме задаются формулами

В частности ;

3. .

Комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки или радиус-вектора .

Длина вектора называется модулем комплексного

числа и обозначается или , а угол между вектором у М

и положительным направлением оси называется

аргументом этого комплексного числа. О х х

Главным называется значение аргумента .

Очевидно, что (1)

Полученная запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль и аргумент комплексного числа определяются по формулам

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в показательной форме .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме выполняются по формулам:

3. (2)

4. .

В частности .

Пределы

Для нахождения пределов функции используются следующие теоремы. Если существуют пределы и , то

1. ;

2. ;

В частности, , где ;

3. .

Аналогичные теоремы справедливы для пределов последовательностей.

Имеют место два замечательных предела:

1. ; 2. .

Следствия:

1. ; 2. ; 3. ; 4.

5. ; 6. ; 7. .

Для раскрытия неопределённостей вида и используют правило Лопиталя. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (быть может кроме неё самой); или и . Тогда, если существует предел , то (3)

Непрерывность функции в точке

Функция называется непрерывной в точке , если

. (4)

Указанное равенство предполагает, что функция определена в точке

и её окрестности и имеет предел при .

Равенство (4) эквивалентно равенству

, (5)

где – лево и правосторонние пределы функции в точке .

Известно, что элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены.

Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называются точками разрыва функции. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа и . При этом, если , то точка называется точкой устранимого разрыва; а если , то точкой конечного разрыва.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен бесконечности.

Производная

Правила дифференцирования

Пусть , тогда

1. ;

2. ; в частности: , ;

3. ;

4. если , где , тогда .

Таблица производных

1. ; 2.

3. ; в частности: ;

4. ; в частности: ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ;

10. .

5. Исследование функции и построение её графика

Основные свойства функций

1.Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых .

2. Функция называется периодической, если существует число такое, что . –периодфункции.

3. Функция называется четной, если . График четной функции симметричен относительно оси . Функция называется нечетной, если . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная и нечетная функция должна иметь область определения симметричную относительно начала координат.