Непрерывность функции в точке
Задание №1.
1. Записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах, изобразив его на комплексной плоскости.
2. Вычислить
3. Вычислить
4. Составить квадратное уравнение, одним из корней которого является число .
Задание №2.
Вычислить пределы.
Задание №3.
Подобрать параметры и
таким образом, чтобы функция
была непрерывна.
Задание №4.
Продифференцировать функции по переменной .
Задание №5.
Исследовать функцию с помощью производной и построить её график.
Вариант 1
Задание №1.1. ; 2.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
3.
Задание №5. .
Вариант 2
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. 2.
3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
3.
Задание №5. .
Вариант 3
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 4
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
3.
Задание №5. .
Вариант 5
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
3
Задание №5. .
Вариант 6
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
3.
Задание №5. .
Вариант 7
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 8
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 9
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 10
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 11
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 12
Задание №1.1. ; 2.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 13
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 14
Задание №1. 1. ; 2.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 15
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 16
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 17
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
;
3.
Задание №5.
Вариант 18
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 19
Задание №1. 1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 20
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 21
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2. 1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5.
Вариант 22
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 23
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 24
Задание №1.1.; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 25
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 26
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 27
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 28
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 29
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Вариант 30
Задание №1.1. ; 2.
.
Задание №2.
1. ; 2.
; 3.
.
Задание №3.
.
Задание №4.
1. ; 2.
; 3.
Задание №5. .
Справочный материал
Комплексные числа
Алгебраической формой комплексного числа называется выражение вида
, где
и
– действительные числа, а
– так называемая мнимая единица (
).
Число называется действительной частью комплексного числа
(
), число
- мнимой частью
(
).
Два комплексных числа и
, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Пусть даны два комплексных числа и
. Они равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е.
.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме задаются формулами
1.
2.
В частности ;
3. .
Комплексное число
можно изобразить на плоскости
в виде точки
или радиус-вектора
.
Длина вектора называется модулем комплексного
числа и обозначается или
, а угол
между вектором у М
и положительным направлением оси
называется
аргументом этого комплексного числа. О х х
Главным называется значение аргумента .
Очевидно, что
(1)
Полученная запись комплексного числа называется тригонометрической формой.
Модуль и аргумент комплексного числа определяются по формулам
Используя формулу Эйлера
комплексное число можно записать в показательной форме
.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме выполняются по формулам:
1.
2.
3. (2)
4. .
В частности .
Пределы
Для нахождения пределов функции используются следующие теоремы. Если существуют пределы и
, то
1. ;
2. ;
В частности, , где
;
3. .
Аналогичные теоремы справедливы для пределов последовательностей.
Имеют место два замечательных предела:
1. ; 2.
.
Следствия:
1. ; 2.
; 3.
; 4.
5. ; 6.
; 7.
.
Для раскрытия неопределённостей вида и
используют правило Лопиталя. Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки
(быть может кроме неё самой);
или
и
. Тогда, если существует предел
, то
(3)
Непрерывность функции в точке
Функция называется непрерывной в точке
, если
. (4)
Указанное равенство предполагает, что функция определена в точке
и её окрестности и имеет предел при
.
Равенство (4) эквивалентно равенству
, (5)
где – лево и правосторонние пределы функции в точке
.
Известно, что элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены.
Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называются точками разрыва функции. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции
, если в этой точке существуют конечные пределы слева
и справа и
. При этом, если
, то точка
называется точкой устранимого разрыва; а если
, то точкой конечного разрыва.
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции
, если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен бесконечности.
Производная
Правила дифференцирования
Пусть , тогда
1. ;
2. ; в частности:
,
;
3. ;
4. если , где
, тогда
.
Таблица производных
1. ; 2.
3. ; в частности:
;
4. ; в частности:
;
5. ; 6.
;
7. ; 8.
;
9. ;
10. .
5. Исследование функции и построение её графика
Основные свойства функций
1.Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве
, если для любых
.
2. Функция называется периодической, если существует число
такое, что
.
–периодфункции.
3. Функция называется четной, если
. График четной функции симметричен относительно оси
. Функция
называется нечетной, если
. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четная и нечетная функция должна иметь область определения симметричную относительно начала координат.