Пример решения типового задания
Задание №1
Дано комплексное число .
1. Записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив его на комплексной плоскости.
2. Вычислить .
Решение:
1. Приведем к алгебраической форме комплексного числа. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число
комплексно сопряженное знаменателю. Получим:
Итак, алгебраическая форма комплексного числа
.
Запишем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |

0 1 х
![]() ![]() ![]() |
у |
Итак, тригонометрическая форма имеет вид:
. В показательной форме:
.
2. Вычислим , используя формулу:
Ответ:1. ;
2.
Пример 2.
1. Решить уравнение .
2. Записать корни уравнения и
в алгебраической, тригонометрической и показательной форме, изобразив их на комплексной плоскости.
Решение:
1. Найдем корни данного квадратного уравнения по известной формуле
, зная, что
.
(Знак используется как квадратный корень из комплексного числа!)
Получим два комплексно сопряженных корня
.
2. Имеем алгебраическую форму и
.
Действительная и мнимая часть, соответственно, равны:
Изобразим и
на комплексной плоскости:
Запишем числа ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
y |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |

,
;
;
.
Ответ:
Задание № 2
Вычислить пределы.
Решение.
1. (разложим числитель и знаменатель на множители)
;
2. (разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень
; в данном случае на
)=
(т.к. функция, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая:
);
3. (умножим числитель и знаменатель на
)
=
;
4. (применим правило Лопиталя (3))
.
Ответ:1. ; 2.
;
3. ; 4.
Задание №3
Подобрать параметры и
так, чтобы функция
была непрерывна.
Решение.
Функция составлена из элементарных функций, каждая из которых непрерывна на указанных промежутках. Непрерывность может нарушаться только в точках
и
.
Вычислим односторонние пределы функции в этих точках.
а) ;
;
.
Условие непрерывности функции в точке записывается в виде
.
б) ;
;
.
Условие непрерывности функции в точке записывается в виде
.
в) Получаем систему линейных уравнений:
.
Решение системы дает значения искомых параметров: .
Ответ:
Задание №4
Продифференцировать данные функции по переменной .
1. ; 2.
; 3.
.
Решение.
1.
.
Используем правило дифференцирования сложной функции: если , где функции
и
имеют производные, то
. Полагаем
и
. Получаем:
.
Тогда
.
2. В этой задаче функция задана параметрически, т.е. уравнениями:
.
Производная находится по формуле:
.
Проводим вычисления:
;
.
3. Функция задана неявно уравнением . Для определения
нужно продифференцировать функцию
по
, рассматривая при этом
как функцию переменной
. Приравнивая полученную производную к нулю, получаем уравнение первой степени относительно
. Из этого уравнения и находим производную.
,
,
,
,
.
Ответ: 1. ;
2. ; 3.
.
Задание №5
Исследовать функцию с помощью производной и построить график.
Решение.
1. Область определения функции: ;
;
2. Точки пересечения с осями координат.
, так как уравнение
не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью
.
, т.е. график пересекает ось
в точке (0;–1).
3. Исследование функции на четность (нечетность).
.
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. – это функция общего вида.
4. Функция непериодическая.
5. Исследование непрерывности. Классификация точек разрыва.
Функция терпит разрыв в точке . Определим тип разрыва:
.
Односторонние пределы функции бесконечны, следовательно, – точка разрыва второго рода (точка бесконечного разрыва).
6. Интервалы монотонности, точки экстремума функции.
Найдем первую производную функции:
,
.
– |
– |
![]() |
+ |
![]() ![]() ![]() ![]() |
Точки экстремума:
Функция имеет максимум при , так как в при переходе через эту точку производная меняет знак с (+) на (–), причем
.
Функция имеет минимум при , так как при переходе через эту точку производная меняет знак с (–) на (+), причем
.
Функция возрастает при .
Функция убывает при
7. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
Найдем вторую производную функции:
в ноль не обращается, значит, точек перегиба нет.
– |
+ |
![]() |
![]() |
При направление выпуклости графика вверх (выпуклость), а при
– вниз (вогнутость).
8. Асимптоты.
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции (см. пункт 5).
Найдем наклонные асимптоты :
;
Итак, график имеет наклонную асимптоту (правую и левую).
9. График функции.
M JEZYS2p39GuJ/U+799mecBQaL4cARSLBJzYcNCX3UErYn6wukkR0pt8ljzXehiJ3xHgcFPk1SnE/ 6NlV8AB8DsDnk9Qa+XeR+JEpH7jUD2LpV6zdz7ju/mz3xR8AAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQAG OQT14AAAAAoBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI9BS8NAEIXvgv9hGcGb3STaRGM2pRT1VARb Qbxts9MkNDsbstsk/feOJ729xzzefK9YzbYTIw6+daQgXkQgkCpnWqoVfO5f7x5B+KDJ6M4RKrig h1V5fVXo3LiJPnDchVpwCflcK2hC6HMpfdWg1X7heiS+Hd1gdWA71NIMeuJy28kkilJpdUv8odE9 bhqsTruzVfA26Wl9H7+M29Nxc/neL9+/tjEqdXszr59BBJzDXxh+8RkdSmY6uDMZLzr2y5S3BBZp AoIDafaQgTiwSLInkGUh/08ofwAAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAA AJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQDL09+1KwkA AP47AAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAGOQT1 4AAAAAoBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAIULAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAA kgwAAAAA ">
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
-1 0 1
x
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1 / Н.С. Пискунов– М: Наука, 1985. – 456 с.
2. Конспект лекций по высшей математике, ч.1 / Дмитрий Письменный.– М: Айрис Пресс, 2005. – 279 c.
3. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко и др. –М: Высшая школа, 1999. – 532 c.
4. Сборник задач по математике для втузов, ч. 1 / А. В. Ефимов, Б. П. Демидович – М: Наука, 1993. – 623 с.
Содержание
1. Задания по теме «Математический анализ»………………………...3
2. Варианты типовых заданий…………………………………….. 4 –18
3. Справочный материал………………………………… ……......19–23
4. Пример решения типового задания…………………………….24–31
5. Список рекомендуемой литературы………………………………..31