Задачи для самостоятельной работы

Модуль ОТНОтношение Основные три вида бинарного отношения

ВходМодуль ОСП. Математический анализ.

Выход

Понятия

Параметры Имя понятия, обозначение Определяющее понятие и видовые признаки
  Система всех множеств, ObS Идеальная с., элементами которой являются любые множества
  Множество (м.) Элемент с. всех множеств
  М. натуральных чисел, N М. N ={1, 2, 3, …}
  М. вещественных чисел, R М. всех десятичных дробей (без периодов из одних девяток)
Х - м. Элемент м. Х, x Î Х Элемент с. множество Х
X,YÎObS Подмножество, X Í Y МножествоХ½ x Î X Þ х Î Y
CÎ ObS, UÍX Дополнение подмножества, X\U Подмножество X \ U = {xÎX½xÏU}Í X
X,YÎObS Разность м., X\Y М.X\Y = {xÎX½xÏY}
B, CbÎ ObS "bÎB Объединение м., ÈCb М.ÈCb = {x½$bÎB такое, что xÎCb}
B, CbÎ ObS "bÎB Пересечение м., ÇCb М.ÇCb = {x½"bÎB xÎCb}
CkÎObS, "k=1,¼,n Декартово произведение м., PCk М.{<x1, x2,¼, xn>½xkÎCk "k} (в частности, X´Y = {<x, y>| xÎX & yÎY})
CÎObS Декартов квадрат , C2 Декартово произведениеC´C
  ПространствоRn Декартово произведение R´R´¼´R(n раз)
C,UÎ ObS М. всех отображений, S(C, U) М.всех отображений A:C®U
TÎ ObS М. всех (вещественных) ф., опред-ных на м. Т, S(T, R) М. S(C, U) при C=T и U=R
a,bÎR, a < b М. S[a, b] М. S(T, R) при T= [a, b]
  М.l всех числовых последовательностей М. S(N, R)
PÎ ObS М. параметрических высказываний, S(P, PR) М. S(C, U) при C=R (м. параметров) и Y=PR
ХÎ ObS М. всех подмножеств в Х,Ã(Х) М.{a½a Í Х}
  М. высказываний, PR(PRoposition) М.всех утверждений, каждое из которых можно интерпретировать как истинное, либо как ложное
C,UÎObS Отношение (о.) в CÈU ОтношениеR Í C´U; (<x, y> Î R Û xRy)
CÎObS О. в Х О.R Í C2 (о. в CÈU при C=U)
CÎObS Рефлексивное о. в C О.Rв C ½ xRx "x
CÎObS Транзитивное о. в C О.Rв C ½xRy & yRz Þ xRz
CÎObS Симметричное о. в C О.Rв C ½ xRy Þ yRx
CÎObS Антисимметричное о. в C О.Rв C ½ xRy & yRx Þ x=y
CÎObS Отношение эквивалентности (о.э.) в C, ~ О. в C, которое рефлексивно, транзитивно и симметрично
nÎN О. равенства (о.р.) в Rn, = О. э. в Rn: x = y Û xk = yk "k
XÎObS О. р. множеств, =Ã(X) О. э.в Ã(Х): A = B Û A Í B & B Í A
  О. р. понятий, = О. э.в CON: а = b Û Va = Vb (синонимы)
  О. р. высказываний, = О. э. в PR: p=q Û интерпретации p и q совпадают (т.е. либо оба высказывания истинны, либо оба ложны)
S(C,U) <Y, =Y> О. р. отображений,= О. э.в S(C,U): A=B Û A(x) =Y B(x) "xÎC, где =Y - о.р. в Y, т.е. рав-ство в S(C,U) поточечное
S(Т,R) О. р. вещественных функций,= О. р.в S(Т, R)
S(P, PR) О. р. параметрических высказываний, = О. р. в S(P, PR)
CÎObS О. частичного порядка (ОЧП) в C, £ Рефлексивное, транзитивное и антисимметричное о.£ в X
CÎObS Частично упорядоченное м. (ЧУМ), <Х, £ > Упорядоченная пара<Х, £ >, где £ - ОЧП в Х
<Х, £ >, x,yÎC Неравенство, x £ y Упорядоченная пара<x, y> Î £ (элемент ОЧП)
<Х, £ >, x,yÎC Строгое неравенство, x < y Неравенствоx £ y, в котором x ¹ y
<Х, £ >, x, yÎC x и y несравнимы Упорядоченная пара<x, y> ï<x, y> Ï £ & <y, x> Ï £
CÎObS Линейно упорядоченное м. (ЛУМ), < Х, £ > ЧУМ< Х, £ >, в котором нет несравнимых элементов
  ЛУМ < R, £ >, R ЛУМ½ x £ y Û y - x Î[0,+¥)
nÎN ЧУМ <Rn, £ >, Rn ЧУМ½ x £ y Û xk £ R yk "k
XÎObS ЧУМ <Ã(X), £ >, Ã(X) ЧУМ½ x £ y Û x Í y
  ЧУМ <CON, £ >, CON ЧУМ½ x £ y Û Vx Í Vy
  ЛУМ < PR, £ >, PR ЛУМ½ x £ y Û x Þ y (Û интерпретация h(x) £ h(y))
S(C,U), <Y, £Y >-ЧУМ ЧУМ < S(C,U), £ >,S(C,U) ЧУМ½ A £ B Û A(x) £Y B(x) "xÎX (т.е. неравенство вS(C,U) поточечное)
TÎObS ЧУМ < S(T, R), £ >,S(T, R) ЧУМ S(X,Y)при X=T, Y=R
a,bÎR, a<b ЧУМ < S[a, b], £ >, S[a, b] ЧУМ S(T, R)при T = [a,b]
  ЧУМ < S(P,PR), £ >, S(P, PR) ЧУМ S(X,Y)при X=P , Y=PR(А,B ÎS(P, PR) Þ A£B Û A(p) Þ B(p) "pÎP)
X,YÎObS Отображение(o.) A из X в Y, A:DA Í X®Y О.A в XÈY ½xAy & xAz Þ y = z, т.е. если Ax = y & Ax = z, то y = z (функциональное о.в XÈY); (<x, y>ÎA Û xAy Û Ax = y)
X,YÎObS Отображение (о.), A:X®Y О. изA:DA Í X®Y ½ DA = X
AÎS(X,Y) Аргумент о. А ЭлементxÎC
AÎS(X,Y), xÎX Значение о. А на аргументе x, Ax ( Û A(x) ) ЭлементyÎY½y =Ax (<x, y>ÎA)
A:X®Y График о. А О.А (синоним)
AÎS(X,Y),UÍC Образ множества U, A(U) ПодмножествоA(U) = {yÎY½ y=Ax & xÎU}ÍU yÎA(U) Ü(определение образа A(U))Þ y=Ax & xÎU
AÎS(X,Y),VÍY Прообраз множества V, A-1(V) ПодмножествоA-1(V) ={x ½ AxÎV}ÍX
AÎS(X,Y) М. (всех) значений о. А, imА Образм. X,imA = A(X)
B,CbÎObS"bÎB Произведение м., ПCb М.ПCb = {xÎS(B, ÈCb )½x(b)ÎB "bÎB}
  Вещественная функция О.xÎS(T, R)
  Интерпретация (высказываний) Вещественная ф.h:PR®{0, 1}ÍR½ высказывание р истинно Û h(р) = 1, высказывание р ложно Û h(р) = 0

Утверждения

УТВ ОТН-1 (Примеры о.э.) Отношениями эквивалентности являются о. равенства:

1° множеств; 2° понятий; 3° высказываний; 4° отображений; 5° вещественных функций;

6° параметрических высказываний.

УТВ ОТН-2 (Примеры ЛУМ) ЛУМ являются: R, PR.

УТВ ОТН-3 (Примеры ЧУМ) ЧУМ (но не ЛУМ) являются: Rn, Ã(Х), CON, S(X, Y), S(T, R), S[a, b], S(P, PR).

УТВ ОТН-4 Принцип двойственности Пусть Х, BÎObS, XbÎÃ(Х) "bÎB. Тогда:

X\ÈXb = Ç(X\Xb), т.е. дополнение объединения равно пересечению дополнений;

X\ÇXb = È(X\Xb), т.е. дополнение пересечения равно объединению дополнений.

 

Умения

УМ ОТН-1 Пусть X,YÎObS, R – бинарное отношение в X (в XUY). Установить, является ли отношение R: 1° Рефлексивным? 2° Транзитивным? 3° Симметричным? 4°Антисимметричным? 5° О. эквивалентности? 6° ОЧП? 7° Отоображением из X в Y?

 

УМ ОТН–2 Пусть A, BÎObS; OÎ{R, PR, Rn, Ã(Х), CON, S(X, Y), S(T, R), S[a, b], S(P, PR)}.

Сравнить элементы А и В в ЧУМ О, т.е. выбрать одну из пяти альтернатив :

AÎO & BÎO & A > B Þ (A)

AÎO & BÎO & A < B Þ (B)

AÎO & BÎO & A = B Þ (C)

AÎO & BÎO & A несравнимо с B Þ (D)

AÏO или BÏO Þ (E)

УМ ОТН–3 Пусть X,YÎObS, AÎS(X,Y). Найти:

1° Аргумент А, x 2° Значение А , Ax 3° Подмножество U Í X и его образ A(U)

4° Подмножество VÍ Y и его прообраз A-1(V) 5° М. значений о. А, imA.

 

Примеры

Пример ОТН-1 Пусть X=Y=N2; <n,m>R<p,q> Û n + q = p + m. Установить, является ли отношение R: 1° Рефлексивным? 2° Транзитивным? 3° Симметричным? 4°Антисимметричным? 5° О. эквивалентности? 6° ОЧП? 7° Отоображением из X в Y?

Решение
¨ 1° n + m = n + m Þ <n,m> R <n,m> Þ R рефлексивно! 2° <n,m> R <p,q> & <p,q> R <v,w> Û n + q = p + m & p + w = v + q Þ n + w = (p + m - q) + (v + q - p) = m + v = v + m Û <n,m> R <v,w> Þ R транзитивно! 3° <n,m> R <p,q> Û n + q = p + m Û p + m = n + q Û <p,q> R <n,m> Þ R симметрично! 4° <1,2> R <3,4> & <3,4> R <1,2>, но <1,2> ¹ <3,4> Þ R не является антисимметричным! 5° R - о. эквивалентности в N2 6° R не является ОЧП в N2 7° <4,3> R <2,1> & <4,3> R <3,2>, но <2,1> ¹ <3,2>, т.е. R не является отображением из N2 в N2 ¨

Пример ОТН-2 15 примеров реализации умения ОТН-2 приведены в следующей таблице.

№ А В Дополнительная информация Отв.
3.75 -4 Числа, R A
[a, b] (a, b) Множества; Ã(R); a,bÎR, a<b A
A(t)=sint "t B(t)=cost "t Функции; S[0, 1] D
5Î{2.75, 5.01} -3ÎZ Высказывания, PR B
A =S B & B =S C A(x) =Y С(x) "x Параметрические высказывания, A,B,CÎS(X,Y) В
(-¥, 2] \ [-2, +¥) (-1, 1) Ç [0, 10) Множества, Ã(R) D
[0, 1] ´ [0, 2] [0, 2] ´ [0, 1] Множества, Ã(R2) D
{x=<x1, x2, x3>ÎR3½ x12 + x22 + x32 < 1} {x=<x1, x2, x3>ÎR3½ x1 < 1} Множества, Ã(R3) B
g-1([0, 1]) g([0, 1]) Множества, Ã(R); g(x) = (x-1)2 - 1 D
gf(1) fg(1) Числа; R; f(t) = sin(t), g(t) = t2 B
Произведение м. R3 Понятия A
Упорядоченная пара Элемент системы Понятия B
N Множество Понятия B
Отношение частичного порядка Отношение эквивалентности Понятия D
1- натуральное число Высказывания, PR E

Решение. Рассмотрим ТЗ №5. Параметрическое высказывание А= «A =S B & B =S C», параметры: A,B,CÎS(X,Y); В =«A(x) =Y С(x) "x» при тех же параметрах.

А =(транзитивность =S)Þ A =S С Ü(определение =S)Þ «A(x) =Y С(x) "x» = В, следовательно А Þ В Ü(определение ОЧП в S(P,PR))Þ A £ B. Но из В не следует А, т.к. достаточно взять параметры A,B,CÎS(X,Y) такие, что A =S С, но A ¹S B,тогда высказывание В истинно, а высказывание А ложно, следовательно из Вне следует А Ü(определение ОЧП в S(P,PR))Þ В не меньше или равно, чем А. Итак, A £ B, А¹ВÞ А < B, следовательно ответ (B) ¨

Пример ОТН-3 Пусть X = S[0, 1], Y=R, AÎS(X, Y), Ax = x(0). Найти:

1° Аргумент А, x 2° Значение А , Ax 3° Подмножество U Í X и его образ A(U)

4° Подмножество VÍ Y и его прообраз A-1(V) 5° М. значений о. А, imA.

Решение

1° x(t) = cos t 2° Ax = x(0) = cos 0 = 1 3° U = {xÎX½q £ x £ y}Ì X, где q(t) = 0 "tÎ[0, 1], y(t) = t + 0.3, tÎ[0, 1] Þ A(U) = {Ax = x(0)½xÎU} = [0, 0.3] Ì Y 4° V = [-1, 1]ÌY Þ

A-1(V) = {xÎX½Ax = x(0) Î [-1, 1]}Ì X 5° imA = A(X) = R, т.к. для "yÎY постоянная функция с(t) º y является элементом X и A(c) = y ¨

В заключение приведем тест в том виде, в каком он будет на контрольном тестировании.

ТЕСТ ОТН_______________ Не черкайте на тесте

Инструкция В колонках Аи Впредставлены (различными способами) элементны А и В частично упорядоченного множества (ЧУМ) <О, £>. В колонке Дополнительная информация указано ЧУМ <О, £> и иногда другая необходимая информация. Номер тестового задания указан в колонке №. Сравните элементы А и В и выберите букву ответа по правилу:

A,BÎO & A>B Þ(A); A,BÎO & A<B Þ (B); A,BÎO & A=B Þ (C);
A,BÎO & A несравнимо с B Þ (D); AÏO или BÏO Þ (E)

В тесте используются следующие ЧУМ:

§ O= <R,£>, A £ B Û B – A Î [0, +¥), числа;

§ O= <Ã(X),£> для некоторого XÎObS,A £ B Û AÍB, множества;

§ O= <S(T,R),£> для некоторого TÎObS, A £ B Û A(t) £ B(t) для "tÎT (A=B Û A(t) = B(t) для "tÎT), функции;

§ O= <PR,£> - ЧУМ высказываний, h:PR®{0,1} – интерпретация высказываний, A £ B Û [h(A) £ h(B)] Û [A Þ B] (A = B Û h(A) = h(B) Û [AÛB]), высказывания;

§ O= <S(P,PR),£> - ЧУМ параметрических высказываний для некоторого м. параметров PÎObS,
A £ B Û [hA(p) £ hB(p) для "pÎP] Û [A(p) Þ B(p) "pÎP] (A = B Û [hA(p) = hB(p) для "pÎP] Û
[A(p) ÛB(p) "pÎP]), параметрические высказывания;

§ O = <CON,£> - ЧУМ понятий, A £ B Û VA Í VB, где VA,VB – объемы понятий (A = B Û VA = VB), понятия.

№ А В Дополнительная информация
Б. о.Rв C ½xRy & yRz Þ xRz О. э. в Rn : x = y Û xk = yk "k Понятия
М.всех отображений A:C®U М. всех (вещественных) ф., определенных на м. Т, S(T, R) Понятия
Б. о.Rв C ½ xRx "x Транзитивное о. в C Понятия
Б. о.Rв C ½ xRy & yRx Þ x=y < S(C,U), £ >,S(C,U) Понятия
ПодмножествоA(U)={Ax½xÎU}ÍU Прообраз множества V (при отображении A) Понятия
[0,1]´[3,4] A([0,1]´[3,4]) Множества, Ã(R) A(x1,x2) = x1
A =S B & B =S C A(x) =Y B(x) "x Пар-кие высказывания, A,B,CÎS(X,Y)
A £S B A(x) <Y B(x) "xÎX Параметрические высказывания, A,BÎS(X,Y)
A-1([0,1]) [0,1]´[3,4] Множества, Ã(R2) A(x1,x2) = x2
A({1,5}) Ax = =x(mod5):{1,2,..,20}®{1,2,..,5} A-1({1,5}) Ax = x(mod5): {1,2,..,20}®{1,2,..,5} Множества

Ответы:

1. A

2. A (Решение. Содержание понятия А, С(А) = C(S(X,Y)). C(B) = C(S(X,Y)) È {X=T, Y=R} Þ C(A) Ì C(B) =(определение £CON)Þ B < A Þ Ответ (А))

3. D (Решение. Содержание понятия А, С(А) = С(б.о. в Х) È {рефлексивность}. C(B) = С(б.о. в Х) È È{транзитивность}, т.е. C(A) Ë C(B) & C(B) Ë C(A) =(определение £CON)Þ А несравнимо с В Þ Ответ (D))

4. D

5. D

6. E (Решение. A = [0,1]´[3,4] ÎÃ(R2), а не подмножество в R, как указано в колонке Дополнительная информация, следовательно ответ (Е))

7. B (См. решение примера ОТН-2)

8. A (Решение. При любых параметрах A,BÎS(X,Y) из высказывания B = «A(x) <Y B(x) "xÎX» (строгое неравенство) следует высказывание В1 = «A(x) £Y B(x) "xÎX» (неравенство) Ü(определение частичного порядка на отображениях £S(X,Y))Þ «A £S B» = AÜ(определение частичного порядка в S(P,PR))Þ B£A. Но из A не следует В, т.к. достаточно взять такие A,BÎS(X,Y), что A £S B, но отображения А и В равныхотя бы в при одном значении аргумента xÎX, следовательно высказывание B = «A(x) <Y B(x) "xÎX» (строгое неравенство) ложно, следовательно B£A и B¹A=(определение строгого неравенства)Þ B<A Þ Ответ (А).

9. D (Решение. Множество А = A-1([0,1]) =(определение прообраза)= {xÎR2½ AxÎ[0,1]} =( A(x1,x2) = x2)=
={< x1,x2>ÎR2 ½ x2 Î[0,1]} = R´[0,1]. B = [0,1]´[3,4] Þ AËB & BËA =(определение £ на подмножествах в R2 –элементах м. Ã(R2)) Þ Ответ (D))

10. B (Решение. Множество А = A({1,5}) =(определение образа)= {Ax ½ xÎ{1,5}} =(определение о. А)= {1,5}. Множество В = A-1({1,5}) =(определение прообраза)= {xÎ{1,2,..,20}½ AxÎ{1,5}} =( Ax = x(mod5))= {xÎ{1,2,..,20}½ x(mod5)Î{1,5}} = {1, 6, 11, 16, 5, 10, 15, 20} Þ AÍ B & A¹B, т.е. A<B Þ Ответ (В))

Задачи для самостоятельной работы

1. Пусть X, Y, Z Î ObS. AÎS(X,Y), BÎS(Y,Z). Доказать утверждение.

Варианты

1. Прообраз разности м. равен разности прообразов.

2. Прообраз объединения м. равен объединению прообразов.

3. Прообраз пересечения м. равен пересечению прообразов.

4. Прообраз дополнения множества равен дополнению прообраза.

5. Монотонность прообраза: UÍV Þ A-1(U) Í A-1(V).

6. Монотонность образа: UÍV Þ A(U) Í A(V).

7. Образ объединения м. равен объединению образов.

8. "UÍX UÍA-1(AU).

9. "VÍY A(A-1V)ÍV.

10. Образ пересечения м. подмножество в пересечении образов.

11. Прообраз композиции "WÍZ (BA)-1(W) = A-1[B-1(W)].

12. Образ композиции "UÍX BA(U) = B[A(U)].

13. UÍX; VÍY; PÍY; A(U) = V Þ A(U Ç A-1(P)) = VÇP.

Образец доказательства (логического вывода)

Доказать, что упорядоченная пара O= <Ã(X),£> (для некоторого XÎObS,A £ B Û AÍ B) является ЧУМ.

Д-во.1) A ÎÃ(X) =(определение Í)Þ AÍA Ü(определение £ в Ã(X))Þ A £ A Ü(определение рефлексивного отношения)Þ£в Ã(X) рефлексивно !

2) A £ B & B £ C Ü(определение £ в Ã(X))Þ AÍ B & BÍ C =(определение Í)Þ AÍ C Ü(определение £ в Ã(X))Þ A £ C Ü(определение транзитивного отношения)Þ£в Ã(X) транзитивно !

3) A £ B & B £ AÜ(определение £ в Ã(X))Þ AÍ B & BÍ A Ü(определение = в Ã(X))Þ A = B Ü(определение антисимметричного отношения)Þ£в Ã(X) антисимметрично !

1), 2), 3) Ü(определение отношения частичного порядка)Þ£является отношением частичного порядка в Ã(X) Ü(определение ЧУМ)Þ O= <Ã(X),£> является ЧУМ ¨

 

2. Решите "свой" вариант теста (не забудьте указать вариант, например, ТЕСТ ОТН - 1). Тестовое задание (ТЗ) с номером № студента (mod12) представьте с решением, на остальные ТЗ пришлите только ответы.

Варианты

1. ТЕСТ ОТН - 1.

№ А В Дополн-ая информация
Множество Х½ xÎ X Þ х Î Y Подмножество, X Í Y Понятия
М. S(T, R) при T= [a, b] М.l всех числовых последовательностей Понятия
Отображение (o.) A из X в Y, A:DA Í X®Y Отображение (о.), A:X®Y Понятия
Ax0 x0(t) = t, tÎ[0,1] Функции, при tÎ[0,1] (Ax)(t)=ò[0,1]tsx(s)ds
imA Z - целые числа Множества Ax=[x]:R®R
F({xÎC[0,1]| sup|x(t)|£1}) (- ¥, F(1)] Множества Fx=ò[0,1]x(t)dt
{<1,1>, <1,2>} - ОЧП в {1,2} {<1,1>, <1,2>, <2,2>} - ОЛП в {1,2} Высказывания
A =S C A(x) =Y B(x) & B(x) =Y C(x) "x Параметрические высказывания, A,B,CÎS(X,Y)
x =Ã(X) y & y =Ã(X) z xÍy & yÍz Параметрические высказывания, x, y, z Î Ã(X)
[0,1]´[3,4] A([0,1]´[3,4]) Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x1
A-1([0,1]) [0,1]´[3,4] Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x1
[3,4] ´ [0,1] A-1([0,1]) Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x2

2. ТЕСТ ОТН - 2.

№ А В Дополн-ая информация
М. параметрических высказываний, S(P, PR) М. всех отображений, S(C, U) Понятия
Бинарное отношение (б. о.) в CÈU Элемент с. всех множеств Понятия
Отношение эквивалентности (о.э.) в C,~ О. равенства (о.р.) в Rn, = Понятия
О. частичного порядка (ОЧП) в C, £ Рефлексивное , транзитивное и антисимметричное б.о.£ в X Понятия
Ax0 x0(t) = t, tÎ[-1,1] Функции, при tÎ[-1,1] (Ax)(t)=ò[-1,1]tsx(s)ds
A([0, 1]) imA Множества Ax=x2 + 1:R®R
S[a, b] C[a, b] Множества
A =S C A =S B & B =S C Параметрические высказывания, A,B,CÎS(X,Y)
A £S B & B £S C A(x) £Y C(x) "xÎX Парам-ие высказывания, A,B,CÎS(X,Y)
im A A([3,4]´R) Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x2
([0,2] \ (0,2))È([0,2] \ (1,2])È([0,2] \ [0.5, 2)) [0,2] \ ((0,2)Ç(1,2]Ç[0.5, 2)) Множества, Ã(R)
Ã({1,2,3})³{1, 2, 3, {1,2},{1,3}} Ã({1,2}) = {1, 2, {1,2}, Æ} Высказывания
         

 

 

3. ТЕСТ ОТН-3

№ А В Дополн-ая информация
ПространствоRn Пересечение м., ÇCb Понятия
М.{a½a Í Х} М. всех отображений, S(C, U) Понятия
Антисимметричное о. в C Б. о.Rв C ½ xRy & yRx Þ x=y Понятия
О. э.в S(C,U):A=BÛA(x)=YB(x) "xÎC, где =Y - о.р. в Y О. р. параметрических высказываний Понятия
ЧУМ< Х, £ >, в котором нет несравнимых элементов ЧУМ <Ã(X), £ >, Ã(X) Понятия
imA область определения D(A) Множества (Ax)(t)=ò[0,1]tsx(s)ds, tÎ[0,1]
x(1); x(t) = t Fx; x(t) = t2 Числа Fx=ò[0,1]x(t)dt
A =S B & B =S C A(x) =Y C(x) "x Параметрические высказывания, A,B,CÎS(X,Y)
x =Ã(X) y & y =Ã(X) z xÍy & yÍx & yÍz & zÍy Параметрические высказывания, x, y, z Î Ã(X)
A([0,1]´[3,4]) im A Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x1
[3,4] ´ [0,1] A-1([0,1]) Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x2
[0,2] \ ((0,2)È(1,2]È[0.5, 2)) ([0,2] \ (0,2))Ç([0,2] \ (1,2])Ç([0,2] \ [0.5, 2)) Множества, Ã(R)

4. ТЕСТ ОТН-4

№ А В Дополн-ая информация
Объединение м., ÈCb М.{<x1, x2,¼, xn>½xkÎCk "k} Понятия
М. всех подмножеств в Х, Ã(Х) Система всех множеств, ObS Понятия
О. э.в X = Ã(M) : A = B Û A Í B & B Í A Симметричное о. в C Понятия
Б. о.A в XÈY½xAy &xAzÞy=z, т.е. если Ax = y & Ax = z, то y=z (функциональное б.о.в XÈY); (<x, y>ÎA Û xAy Û Ax = y) ОтношениеR Í C´U; <x, y> Î R Û xRy Понятия
Значение о. А на аргументе x, Ax ( Û A(x) ) ЭлементyÎY½y =Ax (<x, y>ÎA) Понятия
x(1); x(t) = t Fx; x(t) = t2 Числа Fx=ò[0,1]x(t)dt
{<0,1>, <1,1>} - транзитивное отношение в {0,1} {<0,1>, <1,1>} - рефлексивное отношение в {0,1} Высказывания
S(T,R) - ЛУМ T содержит более 2-х элементов Параметрические высказывания, TÎObS
h(x) =R h(y) x =PR y & y =PR z Параметрические высказывания, x, y, z Î PR
A £S B & B £S C A(x) £Y B(x) & B(x) £Y C(x) "x Параметрические высказывания, A,B,CÎS(X,Y)
A-1([0,1]) [0,1]´[3,4] Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x1
([0,2] \ (0,2))Ç([0,2] \ (1,2])Ç([0,2] \ [0.5, 2)) [0,2] \ ((0,2)È(1,2]È[0.5, 2)) Множества, Ã(R)

 

 

5. ТЕСТ ОТН-5

№ А В Дополн-ая информация
Б. о. R в C ½ xRy Þ yRx Антисимметричное о. в C Понятия
Б. о.Rв C ½xRy & yRz Þ xRz О. э. в Rn : x = y Û xk = yk "k Понятия
Аргумент о. А Элемент м. Х, x Î Х Понятия
М. S(C, U) при C=T и U=R Вещественная функция Понятия
О.xÎS(T, R) Вещественная ф.h:PR®{0,1}ÍR½высказ-ние ристинноÛh(р)=1, высказ-ние р ложно Û h(р) = 0 Понятия
A-1(-1, 1) A(-1, 1) Множества Ax=[x]:R®R
imA область определения D(A) Множества (Ax)(t)=ò[0,1]tsx(s)ds,tÎ[0,1]
A =S B & B =S C A(x) =Y B(x) "x Параметрические высказывания, A,B,CÎS(X,Y)
x =PR y & y =PR z h(x) =R h(y) & h(y) =R h(z) Параметрические высказывания,x, y, z Î PR
A £S C A(x) £Y B(x) & B(x) £Y C(x) "x Парам-ие высказывания, A,B,CÎS(X,Y)
[3,4] ´ [0,1] A-1([0,1]) Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x2
ZÌ QÌR Z£ Q £ R Высказывания

6. ТЕСТ ОТН-6

№ А В Дополн-ая информация
М. S(C, U) при C=R (м. параметров) и Y=PR Элемент с. всех множеств Понятия
М.l всех числовых последовательностей М. S(N, R) Понятия
О. э.в S(C,U):A=BÛA(x)=YB(x) "xÎC, где =Y - о.р. в Y О. р. параметрических высказываний Понятия
Упорядоченная пара<x, y> Î £ Упорядоченная пара<Х, £ >, где £ - ОЧП в Х Понятия
A({1,5}) Ax = =x(mod5):{1,2,..,20}®{1,2,..,5} A-1({1,5}) Ax = x(mod5): {1,2,..,20}®{1,2,..,5} Множества
[1, 2]´[1, 4] [1, 4]´[1, 2] Множества
A £S B A(x) <Y B(x) "xÎX Параметрические высказывания, A,BÎS(X,Y)
A =S B & B =S C A(x) =Y C(x) "x Параметрические высказывания, A,B,CÎS(X,Y)
x =Ã(X) y & y =Ã(X) z xÍy & yÍx & yÍz & zÍy Параметрические высказывания, x, y, z Î Ã(X)
A([0,1]´[3,4]) im A Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x1
A-1([0,1]) [0,1]´[3,4] Множества, Ã(X) A(x1,x2) = x2
[0,2] \ ((0,2)È(1,2]È[0.5, 2)) ([0,2] \ (0,2))Ç([0,2] \ (1,2])Ç([0,2] \ [0.5, 2)) Множества, Ã(R)

m_otn.doc Калмыков А.А. ã 2005.