Modele autoregresyjne i zasady budowy prognoz na ich podstawie

Model adaptacyjny Browna i zasady prognozowania na jego podstawie

· Bez waha sezonowych

-modelowa warto wskanika ekonomicznego

Yt- bieca warto wskanika ekonomicznego

(t=1,…,n)

t-1 - wygadzona warto modelowa cofnita o 1 jednostk czasow

- staa wygadzania. Naley do (0;1). Ustalana metod prób i bdów.

F=(Yt – t)²

=minimum, czyli eby rzeczywiste wartoci róniy si jak najmniej od modelowych. Po ustaleniu ALFA budujemy prognoz dla okresu T:

Y^P_{n+h = n +} _{* h +} _{* h}² + …

n+h=T

n- ostatnia modelowa warto dla ustalonego optymalnego

h- realne wyprzedzenie czasowe prognozy w jednostce czas/ horyzont prognozy

!-silnia

n- przyrost ostatnich wartoci modelowych

Budowa delty:

rónica dwóch ostatnich przyrostów

₂n=(n-n-1) * (n-n-2)

· Dla szeregu z wahaniami sezonowymi:

Polega na:

a) oczyszczeniu szeregu z waha sezonowych

b) zbudowaniu prognozy metod wygadzenia wykadniczego lub

c) obliczeniu prognozy

Metoda pojedynczego wygadzania wykadniczego:

Metoda drugiego wygadzenia:

dla t=2,…n

6. Wykorzystanie modelu adaptacyjnego Holta w prognozowaniu:

Stosuje si do wygadzenia szeregów czasowych, w których wystpuj wahania przypadkowe i tendencja rozwojowa. To zmodyfikowany model Browna.

₁= Y₁

_t= Y_t + (1-) * _j_t-j (t=1,…,n)

_t–modelowa warto wskanika ekonomicznego

Y_t- bieca warto w.e.

-staa wygadzania

k – opónienie k<t

₁ – waga nadana t-j ocenie wartoci trendu (j=1…k), przy czym ₁ (0;1) oraz _j=1 / staa wygadzania

-metoda wag harmonicznych

-im bardziej cofamy si do tyu, tym wartoci powinny by mniejsze

Prognoz obliczamy zgodnie ze wzorem:

Y^P_n+h = n + h * j*n-1

n – ostatnia najnowsza ocena wartoci trendu dla optymalnego i

n-1 – przyrost wygadzonej zmiennej waonej

h-horyzont

W metodzie Holta uwzgldniono zaleno przyrostu ocen wartoci trendu w okresie t od zmiany (przyrostu) ocen wartoci trendu w okresie poprzednim. Wpyw poprzedniego okresu okrela staa wygadzenia BETA. Gdy BETA jest bliska 0 to wpyw jest silny.

7. Zasady konstrukcji modelu walki konkurencyjnej na rynku dóbr i usug

Model GOMERTZA

Wt – wskanik walki konkurencyjnej, Wt (0;1)

Nt – warto sprzeday nowego produktu w czasie t

St – warto sprzeday starego produktu w czasie t

Model ten zakada, e wskanik walki konkurencyjnej rozkada si wg krzywej Gaussa/krzywej naturalnej

Na pocztku walka konkurencyjna pojawia si powoli, spenia si ona do koca gdy stary produkt zostanie cakowicie wyparty z rynku, wtedy wykres jest blisko asymptoty 1.

Prawo naturalne, czyli konkurencyjno mówi, e krzywa Gaussa jest trójfazowa:

I faza: wymierania starego produktu

II faza: nabierania na sile nowego produktu

III faza: proces przygasania – sia nowego produktu na skutek dziaa konkurencyjnych wobec nowego produktu firm starszych

Wt = ₁ + ₂^3t ßà ln Wt = ln₁ + ln₂ * ln₃^t

Wt – wskanik walki konkurencyjnej

₁ B₂B₃ – parametry

t-zmiana czasu

1.Wt dla okresów

Wt1

Wt2

Wt3

Wtn

2. Logarytmujemy Wt

3. Dzielimy wartoci logarytmowane na 3 równe czci (S1,S2,S3)k, t czynnika we 3k=n

k-iloc elementów w kadej czci

₃^k= = [ ]^1/k= dwustronne logarytmowanie

ln₂ =

ln₁= (S₁- )

4. Sumujemy wyznaczone czci

8. Zagadnienie izokwant czynników i kracowych stóp substytucji w dwuczynnikowym modelu potgowym

_k = ₀ X_1t¹X_2t² | … j = 1,..,k

lnYt = ln₀ + ₁lnX_1t + …

j >1

j = 1

j <1

Vt = ₀ k_t¹ l_t²

k-kapita

l – zatrudnienie

V – wysoko produkcji

Dobór czynników K i L aby osign zaoony poziom produkcji naley znale izokwanty czynników produkcji

Kady punkt na tej krzywej to kombinacja K i L dajca produkcj Yzero. Tylko pewien uk jest moliwy, dobieramy tak aby zminimalizowa koszty. Trzeba znale takie rozwizanie aby mie min kosztów lub max zysku.

Funkcja kosztów k i l

Naley podstawi wzór jednej z izokwant, policzy pochodn i przyrówna do 0.

R- kracowa stopa substytucji

R_k,l = ( )^1/¹

R_{k,l =} ( )^1/2

Substytucja pracy przez kapita

k= -

l = -

9. Prognostyczne modele popytu na dobra podstawowe i dobra wyszego rzdu

Dobra podstawowe

1/Pt = Dt+1/0Dt

1/Pt = 1/0 + 1/0 * 1/Dt

1/Pt = Pt*

1/0=A

1/Dt=Dt*

1/2=B

Powstaje funkcja liniowa aby oszacowa A i B stosujemy metod najmniejszych kwadratów, wyliczamy i powracamy do modelu pierwotnego.

Dobra wyszego rzdu

nie da si zastosowa MNK (bo mamy alfa1 i za duo czynników) wiec stosuje si interakcyjn metod najmniejszych kwadratów

Umownie, e:

-0(1+2)=B, to Pt=0 + B* 1/Dt+t

10. Liniowy i wykadniczy model trendu

LINIOWY:

F(x)=(x1t,x2t,..et)-model prosty, model symptomatyczny, nie ma charakteru przyczynowo-skutkowego

Yt=f(t,et), przy zaoeniu, e tendencja zmian si nie zmieni

Yt=a+bt – apaliczna posta funkcji trendu

a - wyraz wolny

bt – wspóczynnik kierunkowy

Yt- warto zmiennej endogenicznej, rzeczywistej

A i b – parametry szacowane za pomoc metody najmniejszych kwadratów

Wykres:

Y^t – zmienne lece na lini trendu std wzór na model trendu liniowego to:

Y^t =a+bt+et ; et- skadnik losowy

Budujemy ukad równa dla oszacowania parametrów a i b. Oszacowanie czy model si nadaje

Yt= na = b *t

t*Yt=a*t+b*T2

Obliczenie minimum (Yt-Y^t)2= minimum

[Yt-(a+bt)2]= minimum <- wtedy bd najlepsze

Be=(Yt-Y^t)2 / n ; be – bd modelu, im wikszy bd tym gorszy model, skrajny przypadek =0

Ve= Se/Yt *100% - wzgldny bd

t - rednia zmiennej czasowej

y – rednia zmiennej y

W celu oceny dopasowania oszacowanego modelu do danych empirycznych obliczamy: wariancj, odchylenie standardowe reszt, wspóczynnik zmiennoci reszt, wspóczynnik zbienoci i determinacji liniowej

YT= a + bT

Yn+1= a + bn+1

n+1 = T – okrelony przyszy okres na który budujemy prognoz, warto prognozy T moemy obliczy stosujc zasad nieobcionej predykcji

WYKADNICZY MODEL TRENDU:

Równanie postaci funkcji trendu wykadniczego

Przy zaoeniu b>0, b1, (t=1,..,n)

Model trendu wykadniczego:

;

b>1 – to tendencja wzrostu

b<1 – to tendencja spadku

b=1

Tempo zmian obliczamy ze wzoru tempo=(b-1)*100%

Np. 1, 0378 oznacza wzrost o 3,78%

Y^t – modelowy poziom wskanika w okresie t

a i b parametry wyznaczone za pomoc MNK

t – zmienna reprezentujca czas

Aby móc wyznaczy parametry a i b wzór na model wykadniczy trendu, sprowadzamy do postaci liniowej, logarytmujc obie strony.

ß--à

Budujemy ukad równa:

lnYt = nlna + ln * t

t * nlYt = lnat + lnbt2

11. Metoda „obszarów decyzyjnych” w analizie ryzyka bankowego

12. Zasady konstrukcji dwuskadnikowego portfela akcji w przypadku rónego skorelowania stóp z12. Zasady konstrukcji dwuskadnikowego portfela akcji w przypadku rónego skorelowania stóp zwrotu.

I. Portfel z najwyszym ryzykiem

S12~1

Skorelowana stopa zwrotu z dwóch akcji obliczana ze wzoru (a+b)2= a2+b2 + 2ab

Sp2= (W1S1+ W2S2)2

Sp=(W1S1+W2S2)2

Przykadowe dane:

St. Zwrotu Ryzyko

R1=6% S1=3%

R2=14% S2=8%

Jeli kto nie lubi ryzyka to kupuje akcje w punkcie, jeli kto ryzykuje kupuje akcje w punkcie B

II. Stopy zwrotu silnie ze sob skorelowane:

S12~-1

Sp2= (W1S1- W2S2)2

Sp=(W1S1-W2S2)2

W1= S2/S1+S2

W2 = S1/ S1+S2

W1 i W2 - portfele o ryzyku zerowym

Wykres: Inwestowanie od A do C nie ma sensu, bo jest to nieopacalne, poniewa w punkcie D jest to samo ryzyko, a wiksze zyski, w punkcie C jest zerowe ryzyko.

III. S12~0

Sp2 = W2S2 + (1 – W1)2 S2

W = S2/ S2+ S2

W= S2/ S2+ S2

Sp minimalne = SS/ S2+ S2

Sp min – ryzyko minimalne portfela

Wykres: W punktach od C do D naley rozwaa portfele, od D do B podejmujemy ryzyko na wasna odpowiedzialno, od A do C nie opaca si inwestowa.

12. Wspóczynniki rozbienoci prognoz H.Theila

Za jego pomoc moemy obliczy bd:

Da si ten wspóczynnik rozoy na 3 czci skadowe i kada z nich wskazuje na przyczyn.

Ta cz bdu wskazuje na bd produkcji – najgroniejsza odmiana bdu ( udzia najgorszego(statystycznego) typu bdu w ogólnej strukturze bdu.

Odchylenie standardowe, ta cz bedu wskazuje na rónic odchyle np. bralimy bardzo due odchylenie w rzeczywistoci. Bd zego przewidywania skali zmiennoci zjawiska.

Wskazuje na to, e metoda prognostyczna przewidziaa punkty zwrotne zjawiska. Bd, który mówi o przewidywaniu punktów zwrotnych.

13. Bdy predykcji „ex ante” na przykadzie modeli trendu

O ile nasza prognoza moe si róni od rzeczywistego zjawiska.

dla modelu trendu Xt=[1T] – Informuje o ile przecitnie moe si róni prognoza od wartoci rzeczywistej ceteris Paribas.

Aby oceni dopasowanie oszacowanego modelu bdu naley w pierwszej kolejnoci obliczy miary dopasowania. S nimi:

1. Wariancja Se²= ²

2. Odchylenie standardowe reszt Se= ²

3. Wspóczynnik determinacji liniowej R²= 1 – Q²

4. Wspóczynnik zbienoci, czyli Q²=

5. Wspóczynnik zbienoci reszt Ve= , std

Im mniejsza warto tym prognoza bardziej prawdopodobna

Sdt-ocena ex ante redniego bdu predykcji

Se^2-wariancja

t-zmienna czasowa

t_ - srednia zmiennych czasowych

T-okrelony przyszy okres na który prognozujemy

n-liczba okresów

Dla modelu wykadniczego:

14. Grawitacyjne modele wymiany midzynarodowej

Model grawitacyjny bada oddziaywania jednostek, które wykorzystuj zaoenia zblione do prawa grawitacji Newtona i potencjau Laguange’a. Wielko oddziaywa jest funkcj wielkoci mas i odlegoci midzy nimi.

Xij=f(Ei,Mj,Dij)

Ei=f(Yi,Pi) dochód, liczba ludnoci

Mj=f(Yj,Pj)

Xij=F(Yi,Pi.Yj,Pj,Dij) – miernik wzgldnych oddziaywa

Najczciej przyjmuje si e oddziaywania maj charakter multiplikatywny

15. Zasady konstrukcji macierzy przepywów strumieni handlu midzynarodowego

16. Modele logitowe i przykady ich zastosowania w praktyce gospodarczej

1.Okrelamy prawdopodobiestwo z jakim dany wariant zmiennej jakociowej wystpowa w przeszoci w zalenoci od wystpowania innych czynników

2.Rozpatrujemy metody prognozowania zmiennych 0-1

Bujemy model opisujcy oczekiwane wartoci zmiennej Y

Rosnca funkcja kombinacji liniowej zmiennych x1,xn, skadnika losowego (s to zmienne objaniajce czynniki wpywajce na Y)

W modelu legitowym f.F jest dystrybuant rozkadu logistycznego.

L-logit (funkcja odwrotna do F)

Model legitowy stosuje si np. do oceny klienta w banku, który ubiega si o kredyt.

17.

18. Zasady obliczania i wykorzystania w prognozowaniu wskaników sezonowoci

- Polega na wyznaczeniu poszczególnym fazom/ sezonom cyklu wskaników sezonowoci.

- wskaniki sezonowoci s to miary, które pokazuj, w jaki sposób zmieniaj si wahania w szeregu czasowym, w jaki sposób zmieniao si dane zjawisko wobec poprzednich.

i = 1,2,…,k – lata obserwacji

j = 1,2,..,m – szereg czasowy

t= 1,2,..,N – ciag numeracji okresów ; N=m*k

Metoda wyznaczania wskaników sezonowoci jest etapowa:

1 ETAP: Wyodrbnienie trendu

trend liniowy, wartoci rednie na lini

2 ETAP: Eliminujemy trend z szeregu czasowego, dokonujemy tego przez podzielenie wyrazów szeregu empirycznego przez odpowiadajce im wyrazy szeregu wykadniczego

Wt= Yt/Y^t > 1 np. 1,97 wystpuje wtedy gdy warto rzeczywista jest wiksza od wartoci wyrazu z szeregu wykadniczego

Wt= Yt/Y^t<1 np. ),86 wystepuje wtedy, gdy warto rzeczywista jest mniejsza od Yt

Wt – warto wskanika sezonowego dla j-tej fazy kadego cyklu

Yt- wyraz szeregu empirycznego; rzeczywista warto

Y^t – wyraz szeregu wykadniczego

3 ETAP: Grupujemy wskaniki sezonowoci Wt i wyznaczamy wskaniki sezonowoci dla poszczególnych faz

Sj= Wt/ k

4 ETAP: Sumujemy wskaniki

Sj = m np. jeeli m=4, gdy kwartalne to Sj powinna wynosi 4

PROGNOZA:

S1 – wskanik sezonowoci dla 1-wszej fazy cyklu

n+1 – okres prognozy

a,b – parametry funkcji trendu

19. Zintegrowany model trendu i waha sezonowych

Z1	Z2	Z3	Z4
1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1
1	0	0	0
0	1	0	0

Parametry oblicza si metod MNK ma takie miano jak y np. z +/-

20. Wielorównaniowe modele prognostyczne – zapis skalarny i macierzowy.

Zapis skalarny:

21. Rodzaje wielorównaniowych modeli prognostycznych

Podzia zaley od postaw macierzy BETA:

1. Model prosty

Ø B to macierz diagonalna (jednostkowa)

Ø Zmienne Y nie oddziauj na siebie

Ø kade równanie modelu mona traktowa osobno i obliczy metod MNK

2. Model rekurencyjny

Ø B to macierz trójktna lub moe ni by po przestawieniu odpowiednich zmiennych

Ø zmienne Y oddziauj na siebie ale tylko w postaci acucha rekurencyjnego w jednym kierunku – acuch powiza Y

Ø kade równanie modelu mona traktowa osobno i obliczy MNK

Ø predykcja acuchowa – obliczamy prognoz Yt1 dla zmiennej Yt1 zalenej jedynie od zmiennych z góry ustalonych

3. Model o równaniach wspózalenych

Ø ani macierz diagonalna ani trójktna

Ø zmienne oddziaywaj na siebie, ale w dowolny sposób

Ø istniej sprzenia zwrotne

Modele autoregresyjne i zasady budowy prognoz na ich podstawie

Stosuje si je do prognozowania zjawisk rozwijajcych si nieregularnie w czasie. Zakada si zatem, e stan zjawiska w danym momencie zaley od stanów wczeniejszych.

-Cech charakterystyczn tych modeli jest to, e nie okrelaj one ilociowo zwizków pomidzy zmienn endogeniczn a zmiennymi okrelajcymi.

-zmienne okrelajce s to wartoci zmiennej endogenicznej opónione w czasie,

-oznacza to, e s to modele, w których stan wskanika badanego zaleny jest od wartoci tego samego wskanika w poprzednich okresach,

-jest to forma tzw. inercyjnoci, co znaczy e wywoany proces sam siebie napdza

-ma posta: Yt = f(Yt-1, Yt-2, Yt-3)

Yt-zmienna bdca funkcj realizacji tej zmiennej w okresach poprzedzajcych okres badany

Yt-1 – zmienna objaniajca, któr stanowi warto zmiennej endogenicznej opónionej w czasie

Funkcja ta moe przyjmowa posta:

Liniow

najczciej k=2

Yt-zmienna endogeniczna wyjaniana przez równanie

B0,b1,b2-parametry obliczane za pomoc MNK. Pozwalaj na okrelenie wielkoci zmian zmiennej Yt pod wypywem jednostkowych zmian zmiennej Endo w okresie poprzedzajcym Yt-j.

j-ilo okresów poprzedzajcych

Logarytmiczno-liniow

lnt = 0 + ln1Y_t-1 + ln 2Y_t-1 + lnnY_n-1

Do prognozowania stosuje si metod pezajc:

b₁y_n- okres biecy

b₂y_n-1-okres poprzedzajcy okres biecy

-prognoza na dwa okresy do przodu zalena jest od prognozy na 1 okres do przodu i Yn bdcego okresem biecym dla prognozy Y^P_n+1 a okresem poprzedzajcym dla Y^P_n+2

Aby policzy naley zna prognozy od do