Взрывное воздействие на поверхности
ОЦЕНКА ВОЗДЕЙСТВИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО ВЗРЫВА НА ТОННЕЛЬНУЮ ОБДЕЛКУ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
Введение
Взрывные воздействия характеризуются большим выделением энергии за короткий промежуток времени. Например, при взрыве одного килограмма тротила при длине заряда 0.25 метров за 40 микросекунд выделяется свыше 4.0 106 Дж [1]. При взрыве сосредоточенного заряда в неограниченной среде образуется сферическая область, от которой во все стороны распространяются продольные волны напряжений, представляющие собой Р-волны. При взрыве заряда на поверхности выделяемая энергия распространяется в виде продольных, поперечных и поверхностных волн напряжений. При достижении подземных сооружений эти волны создают дополнительные нагрузки на конструкции и могут вызвать их повреждения или разрушения.
Постановка задачи
Оценим воздействие взрыва на поверхности земли на тоннельную обделку кругового очертания при следующих предпосылках:
- глубина заложения тоннеля такова, что воздействием на сооружение поверхностных волн, амплитуда которых убывает с глубиной, можно пренебречь (рис.1);
- давление продуктов взрыва на воронку на поверхности заменим сосредоточенной равнодействующей силой, направленной по нормали к поверхности;
- закон изменения силы взрыва во времени известен;
- достигшие тоннельной обделки продольные и поперечные волны являются плоскими, что справедливо, если источник колебаний достаточно далеко удалён от тоннеля;
- ввиду того, что длины волн превышают пятикратный диаметр тоннеля, при определении давления на тоннельную обделку можно воспользоваться соотношениями статической теории упругости.
Принятые обозначения
R - внешний радиус тоннельной обделки;
h - толщина тоннельной обделки;
H - глубина заложения тоннеля;
- скорость распространения продольных волн в грунте;
-скорость поперечных волн в грунте;
l и m - коэффициенты Лямэ;
r - плотность грунта;
Ec - модуль упругости материала тоннельной обделки;
- коэффициент Пуассона грунта;
- изображение функции 
.
Рис.1. Расчётная схема
Аналитическое решение
Для определения взрывного воздействия на тоннельную обделку воспользуемся решением [1]. Решение получено в предположении, что давление приложено на поверхности среды к диску, размеры которого малы по сравнению с расстояниями до объектов, на которые оказывается волновое воздействие. Тогда перемещения точек массива грунта при взрывном воздействии на поверхности грунта можно определять по формуле:
 |
(1)
где 
, 
, 
, 
,
Продифференцировав это выражение по времени, определим скорость частиц грунта:
 |
Нормальные напряжения определяются по формуле: 
.
Имеем:
 |
(3)
Выполнив обратное преобразование Фурье по времени, получим:
(4)
Для определения напряжений в тоннельной обделке, возникающей при достижении тоннеля взрывной волны воспользуемся решением статической задачи о распределении напряжений в массиве вокруг выработки круглого сечения [2]. При этом направлению распространения волны соответствует угол 
.
(5)
(6)
(7)
где 
- коэффициент бокового давления, определяемый выражением : 
В отличие от решений, представленных в работе [2], в уравнениях (5), (б) и (7) добавлен множитель 
, учитывающие включение тоннельной обделки в работу.
(8)
где a и b – внутренний радиус и внешний радиусы тоннельной обделки.
Коэффициент включения тоннельной обделки в работу является приближённым, так как определён при решении осесимметричной задачи. При уменьшении толщины тоннельных обделок этот коэффициент приближается к точному значению. Кроме того, этот коэффициент принимает точное значение при равенстве модулей сдвига материала тоннельной обделки и окружающего тоннельную обделку массива грунта: 
, а также при коэффициенте Пуассона, равном или почти равном 0.5. (гидростатическое давление).
Взрывное воздействие на поверхности
Функцию, описывающую изменение давление при взрыву может быть представлена затухающей синусоиды 
, параметры 
которой зависят от величины заряда и свойств грунта. Преобразование Фурье такой функции имеет вид:
(9)
В сейсморазведке для описания такого рода воздействий используется импульс Риккера 
.
Если необходимо определить только максимальное воздействие на обделку, для оценочных расчётов, предлагается использовать импульс треугольной формы 
(Рис.2):
Рис. 2. Форма импульса
- амплитудное значение силы,
- функция, определяющая форму импульса,
t1 - время нарастания импульса,
t2 - время спада импульса.
Так как в выражение для напряжений в распространяющейся волне входит первая производная от функции по времени, описывающей силу, для определения максимального значения давления, на которое рассчитывается тоннельная обделка, используется формула:
(10)
Пример расчета
Для решения данной задачи используются следующие исходные данные (рис.3):
Амплитуда гармонической силы, F0 = 10 kN;
время нарастания импульса, t1 = 0.04 с;
Скорость продольных волн в грунте, 
= 600 м/с;
Скорость поперечных волн в грунте, 
= 350 м/с;
Плотность грунта, 
= 1700 кг/м3;
Глубина заложения тоннеля, H = 30 м;
Внешний радиус тоннеля, R = 2.8 м;
Толщина тоннельной обделки: h =0.30 м;
Коэффициент Пуассона грунта, ;
Модуль сдвига грунта, 
;
Рис.3. Исходные данные
Коэффициент Пуассона материала тоннельной обделки, 
= 0.2;
Модуль сдвига материала тоннельной обделки 
;
Модуль упругости материала тоннельной обделки, для бетона класса В35, Ес = 32500 МПа.
Характеристики грунта можно определить по скоростям распространения в нем продольных и поперечных волн. Примем отношение скорости поперечной волны к продольной за 
. Тогда коэффициент Пуассона грунта можно определить по следующей формуле:
(11)
Модуль сдвига грунта определяется по формуле:
(12)
Модуль сдвига материала тоннельной обделки 
определяется по формуле:
(13)
1.Определим напряжения в грунте при распространении продольных волн от действия сосредоточенной силы на поверхности грунта по формуле (4).
Рис.4. Уровни нормальных напряжений грунта под действием сосредоточенной силы на поверхности грунта.
2. Определим напряжения в тоннельной обделке, вызванные распространением продольных волн под действием сосредоточенной силы на поверхности грунта. Будем определять нормальные тангенциальные напряжения в сечениях тоннельной обделки в точках А и В (рис.5).
Рис.5. Расчетные сечения тоннельной обделки
Тогда тангенциальные напряжения в тоннельной обделке в точке А ( 
, r=r0) определяются по формуле (рис.6):
(14)
Рис.6. Уровни нормальных тангенциальных напряжений в тоннельной обделке от взрыва на поверхности земли (т. А).
Тангенциальные напряжения в тоннельной обделке в точке В ( 
, r=r0) определяются по формуле (рис.7):
(15)
Заключение
Получены аналитические выражения для определения напряжений в сечениях тоннельной обделки кругового очертания от воздействия взрыва на поверхности грунта.
Библиографический список
1. Miller,G.F.,H.Pursey: The Field and Radiation Impedance of Mechanical Radiators on the Free Surface Semi-Infinite Isotropic Solid, Proc. Ro. Soc. London, Ser. A, vol. 223, pp. 521-541, 1954.
2. Булычёв Н.С. Механика подземных сооружений
3. Курбацкий Е.Н. : “Использование теоремы взаимности для оценки уровней вибраций поверхности упругого полупространства от точечного источника, расположенного внутри полупространства”, “Вестник МИИТа” № 13, 2005
4. White, J.E. : “Seismic waves: Radiation, Transmition and Attenuation”, ,McGraw-Hill Company, New York, 1965. - 148-184 pp
5. White, J.E. : “Use of Reciprocity Theorem for Computation of Low-frequency Radiators on the Free Surface Semi-Infinitive Isotropic Solid, Proc. Ro. Soc. London, Ser. A, 1954. - 521-541 pp
6. СНиП 2.05.03-84*. Мосты и трубы. М.: Стройиздат, 2002. - 213с.