Квантты лестірілулер

Квантты статистиканы негізгі есебі – барлы блшектер жйесіні е ытимал кйін сипаттайтын параметрлерді орташа мнін анытау жне осы параметрлерге сйкес таралу функцияларын табу.

Блшектерді энергия бойынша квантты лестірілуін арастырамыз. Бл лестірілу энергиясы бір кйдегі блшектерді орташа санын анытайтын, функция трінде жазылады

Фермиондар шін , (13.1)

Бозондар шін , (13.2)

мндаы – химиялы потенциал.

Бл лестірулерді ерекшеліктері:

– фермиондар шін функциясыны мні бірден арты болмауы керек, ал бозондар шін кез келген мн бола алады;

– бозондар шін (13.2) рнектегі мні о сан болуы ммкін емес;

– егер болса, онда екі лестірілуді де алымдарындаы бірлікті ескермеуге болады жне формула Болцман лестірілуіне теді

, (13.3)

мндаы – нормалау коэффициенті.

Бл жадайда блшектерді трі згермейді (бозон бозон болып, фермион фермион болып алады), формула сйкес келеді.

13.3 Металдардаы электрондар шін Ферми-Дирак лестірілуі

Классикалы электронды теорияда металдарды кптеген асиеттері еркін электрондар моделімен тсіндіріледі. Квантты физикада еркін электрондары жуытап тік брышты потенциалды шырдаы фермиондардан тратын идеал газ ретінде арастыруа болады. Электрондарды энергетикалы спектрі дискретті, біра энергетикалы дегейлері тыыз орналасандытан оларды квазиздіксіз деп алуа болады. Абсолют нл температурадаы электронды газды арастырамыз.

13.2 сурет

Бл жадайда

, егер ,

, егер .

Суретте (13.2 суретке араыз) ттас сызыпен f функциясыны сызбасы крсетілген. Сызбада энергиясы барлы кйлер толтырылан, ал энергиясы кйлер бос. арастырылып отыран жадайда шамасын Ферми энергиясы немесе Ферми дегейі деп атайды. Ферми энергиясы - жадайда металдардаы еркін электрондарды энергиясыны максимал мні

, (13.4)

мндаы - электрон массасы; - металдаы электрондарды концентрациясы.

Металдар шін: 5 эВ. Еркін электрондарды орташа энергиясы есептеулер бойынша

. (13.5)

Классикалы газдарда мндай орташа энергияа ~ температура сйкес келер еді. Бл температура кез келген металды балу температурасынан бірнеше есе артып кетеді. Ферми дегейіндегі электрондарды жылдамдыы шамасында.

Электронды газды мндай кйі (13.2 суреттегі сызбасыны ттас исы) толыымен азындалан газ деп аталады.

Ферми-Дирак лестірілуі жадайда еркін элетрондар мен атомдарды жылулы озалысыны серлесу салдарынан Ферми дегейінен (13.2 суреттегі сызбасыны пунктирлі исы) асып кетеді. Асып кету аймаы шамамен жылулы озалысты kT энергиясымен шамалас. Сондытан тек Ферми дегейіне жанасып жатан е жоары дегейлердегі электрондар ана зіні энергияларын згерте алады.

13.3 сурет

Электронды газ потенциалды шырда орналасан деп алып, электрондарды лестірілуін арастырамыз.

A

Мндаы -потенциалды шырды тередігі. – Ферми дегейі, бл дегейден тменгі айма еркін электрондармен толтырылан, ал электрондарды металдан шыу жмысыны жаймасы стрелкамен крсетілген.

Суретте крсетілгендей, электрондарды металдан шыу жмысы классикалы физикадаыдай, потенциалды шырды тбінен бастап емес, электрондармен толтырылан е жоары энергетикалы дегейден бастап есептелінеді екен.

Ферми энергиясы температураа туелді боландытан, шыу жмысы да температураа туелді болады. Электрондарды кинетикалы энергиясы потенциалды шырды тбінен бастап есептелінеді.

Металлдарды электр ткізгіштігіні квантты теориясы классикалы электронды теориядан алынан

.

Меншікті электр ткізгіштік рнегі

. (13.6)

Бл рнек те классикалы теориядан алынан рнекке саанымен одан едуір айырмашылыы бар. рнекті алымындаы орташа жылулы жылдамдыты орнында – электроны бар жоары энергетикалы дегейдегі электрон жылдамдыы тр. Бл жылдамды металды температурасына туелді емес. Толынны кристалды тор тйіндерінен шашыраусыз туіні орташа ашытыы - . Ол жздеген тор периодына те болуы ммкін. Температураны артуына байланысты электронды толындарды торды жылулы тербелістерінен шашырауы артуы ммкін, сондытан шамасы азаяды. Блме температурасында шамасы температураа кері пропорционал ~ , ол тжірибе нтижесімен сйкес келеді.

Квантты жне классикалы статистикаларды айырмашылытары тменгі температурада жне электрондарды лкен концентрациясында, яни азындалан кйде айын байалады. Металдаы электронды газ тыыздыы те лкен , тіпті кдімгі температурада да бл газ азындалан кйде болады.