Тіктртбрыштар дісі.

Тіктртбрыштар дісі санды интегралдау дістеріні е арапайым трі болып табылады. Бл дісте аныталан интегралды тікелей (5.1.2) интегралды осындымен алмастырып, нктесі ретінде , - арапайым кесінділерді сол жа немесе о жа шекараларын алуа болады. деп белгілеп, осы екі жадайлар шін тіктртбраштар дісіні келесі квадратурлы формулаларын аламыз:

(5.1.4)

(5.1.5)

(5.1.4) – сол жа тіктртбрыштар формуласы, ал (5.1.5) – о жа тіктртбрыштар формуласы деп аталады. Интегралды осындыда нктесі ретінде арапайым кесіндіні ортасын , алу арылы (5-суретке ара), (5.1.4), (5.1.5) формулалара араанда длірек болатын, келесі трдегі тіктртбрыштар формуласын алуа болады:

(5.1.6)

кесіндісін бірдей n блікке блген кезде, яни боланда (5.1.4), (5.1.5) (5.1.6) формулалары сйкесінше келесі трде болады:

(5.1.4¢)

(5.1.5¢)

, (5.1.6¢)

мндаы - адам.

Мысал 1. Сол жа жне о жа тіктртбрыштар формулаларын олданып интегралды шешу керек, n=4.

Шешуі. Бл интегралды Ньютон-Лейбниц формуласы арылы оай есептеп, дл мнін анытауа болады:

Енді берілген интегралды тіктртбрыштар дісін олданып есептейік. Интегралды a=1; b=9 шектерін біле отырып, адамды анытаймыз. Онда

ал осы нктелерде интеграл астындаы функцияны мні

те болады. Алдымен интегралды есептеу шін сол жа тіктртбрыштар формуласын олданайы. адам траты боландытан (5.1.4¢) формуласы арылы интегралды санды мнін аламыз:

(5.1.5¢) – о жа тіктртбрыштар формуласын олданса:

Ал (5.1.6¢) формуласын олдану шін арапайым кесінділерді - ортасын жне сол нктелердегі интеграл астындаы функцияны мндерін анытау керекпіз:

. Онда

Осы нтижелерден берілген интеграл шін (5.1.6¢) формуласы длірек шешім беретінін круге болады.

Тіктртбрыштар дісіні ателігін баалау. 5-суретте крсетілгендей ізделінді исысызыты трапецияны ауданы тіктртбрыштар аудандарыны осындысы ретінде жуытап аныталады. р арапайым кесіндіде

, (5.1.7)

ал кесіндісінде аудан

(5.1.8)

те болады. Егер арапайым кесінділердегі жне кесіндідегі ателіктерді ескермесек, онда жоарыда крсетілген тіктртбрыштар дісіні квадратурлы формулаларын аламыз.

Бл формулаларды олдану шін жне ателіктер шамаларын баалау керек. функциясы кесіндіде зіні бірінші жне екінші ретті туындыларымен зіліссіз болсын. функциясыны алашы функциясы ретінде, болатын, функциясын алып,

(5.1.7) формуласыны сол жаын келесі трде жазайы

(5.1.9)

функциясын нктесіні маайында Тейлор атарына жіктесек, функцияны жне мндерін аламыз:

, (5.1.10)

, (5.1.11)

мндаы , ал . (5.1.9) формуланы о жаына (5.1.10) жне (5.1.11) рнектерін оя отырып жне ескере отырып,

(5.1.12)

атынасын аламыз, мндаы ( функциясыны зіліссіз боландытан мндай шамасы бар болады). (5.1.12) формуладаы соы мше тіктртбрыштар дісіні (5.1.6¢) квадратурлы формуласыны р арапайым кесіндідегі ателігін береді:

. (5.1.13)

(5.1.8) формуладаы ателік, яни аныталан интегралды (5.1.6¢) квадратурлы формуламен есептеудегі ателігі , те болады. Бл шама (5.1.13) формуласын шамасына кбейткеннен шыады. Екінші ретті туындысы бар - интеграл астындаы функция шін жне ателіктері h адамды азайтан сайын кемитіні крінеді.

Тапсырма. 10 боланда о жне сол тікбрыштар формулалары бойынша интегралды есептедер. Алынан нтижелерді длдігін бааладар.

1) 2) 3)

4) 5)

Трапеция дісі.

Трапеция дісінде сызыты интерполяция олданады, яни функциясыны графигі нктелерін осатын тзулер трінде сипатталады.Бл жадайда исысызыты трапецияны ауданы, яни аныталан интегралды мні жуы шамамен арапайым тікбрышты трапецияларды s_i аудандарыны осындысы ретінде аныталады (6-сурет).

6-сурет

р арапайым трапецияны ауданы те. Осы тедіктерді i бойынша осса,

(5.1.14)

формуласын аламыз. Бл формуланы трапеция формуласы деп атайды.

Трапеция формуласыны ателігі формуласы трде аныталады, мндаы . Егер болса, онда (5.1.14) формуласы аныталан интегралды дл мнімен салыстыранда арты мнді береді, ал егер болса, онда (5.1.14) – трапеция формуласы аныталан интегралды дл мнімен салыстыранда кем мнді береді.

Кесінділерді зындытары траты, яни болан жадайда трапеция формуласы келесі трде болады:

(5.1.15)

Мысал 2. кесіндісін бірдей он блікке бліп: n=10, тіктртбрыштар формуласын жне трапеция формуласын пайдаланып, аныталан интегралын есептедер. ателікті бааладар.

Шешуі.Бл интегралды Ньютон-Лейбниц формуласы арылы оай есептеп, дл мнін анытауа болады:

Енді тіктртбрыштар жне трапеция формуласын пайдаланып, интегралды есептейік. Ол шін адамды анытап. жне нктелердегі - интеграл астындаы функцияны мнін есептейік (1-кесте):

4.1-кесте

i

	0,1	0,990099	0,05	0,9975506
	0,2	0,961538	0,15	0,977995
	0,3	0,917431	0,25	0,941176
	0,4	0,862069	0,35	0,890868
	0,5	0,8	0,45	0,831601
	0,6	0,735294	0.55	0,767754
	0,7	0,671141	0,65	0,702988
	0,8	0,609756	0,75	0,64
	0,9	0,552486	0,85	0,580552
		0,5	0,95	0,525624

Онда (5.1.6¢) – тіктртбрыштар дісіні формуласын пайдаланып,

аламыз. Бл жадайда интегралды есептеу ателігі (шамамен 0,027%) те.

(5.1.15) – трапеция формуласын олданып,

аламыз. Дл мн белгілі болан жадайда интегралды есептеу ателігі (шамамен 0,054%) те. Сонымен, арастырылып отыран мысалда интегралды есептеуді длірек мнін тіктртбрыштар формуласы бергенін круге болады. (5.1.6¢) – тіктртбрыштар формуласыны длірек мн беруі s_i аудандарын есептеу тсіліне байланысты, яни арапайым фигураларды ауданын есептеген кезде нктесі ретінде кесіндіні ортасын алана байланысты. Бл есепте (5.1.4¢) жне (5.1.5¢) тіктртбрыштар формулаларын олданса, ателік 3% арты болатынын ескере кетейік.

Тапсырмалар.Трапеция формуласын пайдаланып, интегралды есептедер:

1) 2) 3) 4) 5) .

4. Симпсон дісі (Парабола дісі).Кптеген есептерде кесіндісін арапайым кесінділерге блетін нктелері берілген кезде жне санды интегралдау длдігін h_i адамды азайту арылы жоарылату келмейтін кезде, яни функция кесте трінде берілген жадайда интеграды есептеу керек болады. Сондытан бл жадайда тіктртбрыштар жне трапеция формулаларына араанда жоары длдікті беретін квадратурлы формулаларды олданан жн. Осындай дістерді бірі – Симпсон дісі болып табылады. Бл дісте длдікті жоарылату интерполяция длдігін жоарылатумен жзеге асады, яни функциясы екінші дрежелі Лагранж кпмшелігімен алмастырылады (квадратты интерполяция).

интегралдау кесіндісін адамы h болатын n жп блікке блейік. р , , ..., ,..., кесіндіде интеграл астындаы функциясын екінші дрежелі интерполяциялы кпмшелікпен алмастырамыз:

7-сурет

. Бл квадратты шмшені коэффициенттерін кпмшелікті нктелердегі мні сйкесінше функцияны мндеріне те болу шарттарынан алуа болады. Жоарыда айтанымыздай ретінде нктелері арылы тетін екінші дрежелі Лагранж кпмшелігін алуа болады:

7-суреттегі арапайым фигураны ауданын аныталан интеграл арылы есептеуге болады. тедігін ескере отырып,

аламыз. Осындай есептеулерді р арапайым кесінді шін жргізсек, исысызыты трапецияны ауданын, яни аныталан интегралды жуы мнін аламыз:

(5.1.16)

(5.1.16) формуласы - Симпсон формуласы деп аталады.

Бл дісті ателігі формуласымен аныталады. Осыдан Симпсон дісі тіктртбраштар мен трапеция дістерімен салыстыранда длірек екені байалады.

Сонымен атар, Симпсон формуласын баса тсілдермен, мысалы тіктртбраштар формуласы мен трапеция формуласын бірге немесе трапеция дісін екі рет пайдаланып, Ньютон интерполяциялы кпмшелікті олдана отырып алуа болады.

Мысал 3.Симпсон формуласы арылы жоарыда арастырылан (мысал 2) интегралды есептейік: .

Шешуі. Интеграл астындаы функцияны n=10, кездегі мндері 1-кестеде берілген. Онда (5.1.16) формуласын олдана отырып

интегралды дл мніне те болатынын аламыз.

Тапсырмалар.

=8 боланда Симпсон формуласымен интегралды есептеу.

1) 2) 3)

4) 5)