способ. Метод элементарных преобразований.
Решение.Этот определитель вычислим по правилу диагоналей. Приписываем справа к определителю первый и второй столбцы. Перемножаем элементы, стоящие на главной диагонали и складываем это произведение с аналогичными произведениями элементов, стоящих на диагоналях, параллельных главной. Затем к произведению элементов, стоящих на побочной диагонали, прибавляем аналогичные произведения элементов, стоящих на диагоналях, параллельных побочной. Затем от первой суммы вычитаем вторую. Это и будет искомый определитель.
| 1 2 3 1 2 4 5 6 4 5 7 8 9 7 8 | 
Ответ: 
|
б) 
.
Решение.Вычислим этот определитель разложением по первому столбцу, но сначала с помощью свойств определителя сделаем нули в этом столбце везде кроме элемента, равного минус единице.
Для этого элементы второйстроки умножим на два и прибавим к соответствующим элементам первой строки; элементы второйстроки прибавим к соответствующим элементам третьей строки; элементы второй строки умножим на два и прибавим к соответствующим элементам четвертой строки. Эти действия записываем так:
.
Разложив определитель 4-го порядка по 1-му столбцу, свели его вычисление к нахождению одного определителя 3-го порядка, который можно вычислить по правилу диагоналей, разобранному выше. Можно дальше применить свойства определителя и свести этот определитель к одному определителю 2-го порядка. Продолжаем делать нули теперь уже во второй строке, умножая элементы третьего столбца на 
и прибавляя к первому и второму столбцам:
= 
(-4) 
(-4)
Ответ: 
1) Умножить матрицы:
Решение.Произведение матриц получили, умножая элементы строк первой ма-трицы на соответствующие элементы столбцов второй матрицы и складывая их
Ответ: 
.
3) Найти обратные матрицы: а) 
. 
.
Решение.Сначала находим 
; 
, значит, существует матрица 
. Находим алгебраические дополнения:
Ответ: 
.
4) Найти двумя способами ранг матрицы: 
.
Решение.
1 способ. Метод окаймляющих миноров. Находим любой минор второго по- рядка, отличный от нуля, например 
,
поэтому выписываем другой определитель 
. Нашелся определитель второго порядка, отличный от нуля, значит ранг 
. Теперь найдем определитель третьего порядка, окаймляющий найденный 
.
Берем другой определитель, окаймляющий 
, как и предыдущий.
Больше окаймляющих миноров третьего порядка для нет, поэтому ранг А, равный наивысшему порядку минора, отличного от нуля, равен 2.
способ. Метод элементарных преобразований.
Получили 2-е ненулевые строки. Поэтому ранг А равен 2 (очевидно минор второго порядка 
).
Ответ: 
.
1) Решить систему матричным способом: 
.
Решение.Пусть 
. Тогда данную систему можно записать в виде матричного уравнения 
. Решаем его, домножая слева на обратную матрицу: 
Отсюда получаем решение 
. Найдем сначала 
.
.
,значит 
).
Составляем обратную матрицу
Найдем
,
т. е. 
.
Проверка.Подставим найденное решение в исходную систему: 
(истина), 
(истина), 
(истина).
Ответ: 
.
2) Решить систему методом Крамера.
Возьмем эту же систему и решим её с помощью определителей.
|
, запишем определитель системы 
Заменим в 
столбец коэффициентов при 
на столбец правых частей
.
Заменим в столбец коэффициентов при 
на столбец правых частей
Заменим в столбец коэффициентов при 
на столбец правых частей
.
По формулам Крамера получаем решение 
. Ответ: .
3) Решить системы методом Гаусса: а) 
Выписываем расширенную матрицу 
и с помощью элементарных преобразований приводим ее или к треугольному виду, или к виду трапеции (как получится).
(3)
x y z
|
. 
.
Так как число неизвестных 
и равно рангу системы, система имеет единственное решение. По полученной матрице восстанавливаем систему уравнений. Идя снизу вверх, получаем это решение:
.
Из последнего уравнения 
3, с помощью второго находим 
Подставляя в первое уравнение найденные 
и 
находим 
Ответ: .
б) 
(-1) 
Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т. е. не имеет решения). Выпишем уравнение, соответствующее последней строке полученной матрицы: 
, что невозможно.
Ответ: система не имеет решения.
в) 
Записываем расширенную матрицу:
: (-1) 
. 
.
Отсюда следует, что система совместна.
Число неизвестных 
.Следовательно, система имеет бесконечное множество решений: 
. Отсюда система имеет одну свободную переменную, пусть это будет , тогда 
– базисные (базисных неизвестных столько, каков ранг системы, т. е. сколько ненулевых строк остается в последней матрице).
Запишем систему, соответствующую полученной матрице: 
.
Следовательно, идя снизу вверх, выражаем базисные неизвестные через свободную . Из второго уравнения выражаем 
из первого уравнения 
Общее решение: 
. Из общего решения можно получить любое частное решение. Пусть 
, тогда получим частное решение:
Частное решение: 
.
Выполним проверку общего решения. Для этого подставим найденные выражения 
в уравнения исходной системы:
Ответ: .