Необхідна ознака збіжності числового ряду. Гармонійний ряд.
Лекція 23
Тема: Числові ряди.
Основні поняття
Нескінченні ряди широко використовуються в теоретичних дослідженнях математичного аналізу, мають різноманітні практичні застосування.
Числовим рядом (або просто рядом) називається вираз вигляду
(1)
де дійсні або комплексні числа, які називають членами ряду,
-загальним членом ряду.
Ряд (1) вважається заданим, якщо відомий загальний член ряду виражений як функція його номера
.
Сума перших членів ряду (1) називається
-ою частинною сумоюряду і позначається через
, тобто
. Розглянемо часткові суми
Якщо існує кінцева границя послідовності часткових сум ряду (1), то цю границю називають сумою ряду(1) і говорять, що ряд збігається. Записують:
.
Якщо не існує або
, то ряд (1) називають тим, що розбіжний. Такий ряд суми не має.
Розглянемо приклади:
1. Ряд 2 + 17 - + 196 + ... не можна вважати заданим, а ряд 2 + 5+8 + ... — можна: його загальний член задається формулою
2. Ряд 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... збігається, його сума дорівнює 0.
3. Ряд 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... розбіжний при
4. Ряд 1 – 1 + 1 –1 + 1 – 1 + ... розбіжний, оскільки послідовність, частинних сум 1,0,1,0,1,0... не має границі.
5. Ряд збігається. Дійсно,
……………………,
Отже, тобто ряд збігається, його сума дорівнює 1.
Властивість 1. Якщо ряд (1) збігається і його сума дорівнює , то ряд
(2)
де с – довільне число, також збігається і його сума дорівнює . Якщо ж ряд (1) розбіжний і
, то і ряд (2) розбіжний.
Позначимо частинну суму ряду (2) через
. Тоді
.
Отже, тобто ряд (2) збігається і має суму
Покажемо тепер, що якщо ряд (1) розбіжний , то і ряд (2) розбіжний. Припустимо протилежне: ряд (2) збігається і має суму
.
Тоді Звідси отримуємо:
тобто ряд (1) збігається, що суперечить умові про розходження ряду (1).
Властивість 2.Якщо збігається ряд (1) і збігається ряд
(3)
а їх суми дорівнюють і
відповідно, то збігаються і ряди
(4)
причому сума кожного дорівнює відповідно .
Позначимо частинні суми рядів (1), (3) і (4) через
,
і
відповідно. Тоді
тобто кожний з рядів (4) збігається, і сума його дорівнює
відповідно.
З властивості 1 витікає, що сума (різниця) рядів, що збігаються і рядів, що розбіжні є ряд, що розбіжний.
В справедливості цього твердження можна переконатися методом від протилежного.
Відзначимо, що сума (різниця) двох рядів, що розбіжні, може бути як рядом, що збігається, так і рядом, що розбіжний.
Властивість 3. Якщо до ряду (1) додати (або відкинути) кінцеве число членів, то отриманий ряд і ряд (1) збігаються або розбіжні одночасно.
Позначимо через суму відкинутих членів, через
— найбільший з номерів цих членів. Щоб не змінювати нумерацію членів ряду (1), що залишилися, вважатимемо, що на місці відкинутих членів поставили нулі. Тоді при п >
виконуватиметься рівність
де
— це п-а частинна сума ряду, отриманого з ряду (1) шляхом відкидання кінцевого числа членів. Тому
. Звідси випливає, що границі в лівій і правій частинах одночасно існують або не існують, тобто ряд (1) збігається (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збігаються (розбіжні) ряди без кінцевого числа його членів. Аналогічно міркуємо у разі приписування до ряду кінцевого числа членів.
Ряд (5) називається
-ою остачею ряду (1).Він отримується з ряду (1) відкиданням п перших його членів. Ряд (1) виходить із остачі додаванням кінцевого числа членів. Тому, згідно властивості 3, ряд (1) і його остача (5) одночасно збігаються або розбіжні.
З властивості 3 також випливає, що якщо ряд (1) збігається, то його остача прямує до нуля при
, тобто
Ряд геометричної прогресії.Дослідимо збіжність ряду
(
), (6)
який називається рядом геометричної прогресії. Ряд (6) часто використовується при дослідженні рядів на збіжність.
Як відомо, сума перших членів прогресії знаходиться по формулі
. Знайдемо границю цієї суми:
Розглянемо наступні випадки в залежності від величини
1. Якщо | | <1, то
при
. Тому
ряд (6) збігається, його сума дорівнює
2. Якщо | | > 1, то
при
. Тому
, ряд (6) розбіжний;
3. Якщо | | = 1, то при
= 1 ряд (6) приймає вигляд
+ а +
+ ... +
+ ..., для нього
і
, тобто ряд (6) розбіжний; при
= - 1 ряд (6) приймає вигляд а -
- в цьому випадку
= 0 при парному п і
= а при непарному п. Отже,
не існує, ряд (6) розбіжний.
Отже, ряд геометричної прогресії збігається при | | < 1 і розбіжний при |
|
1.
Необхідна ознака збіжності числового ряду. Гармонійний ряд.
Знаходження -ої частинної суми
і її границі для довільного ряду у багатьох випадках є непростою задачею. Тому для з'ясування збіжності ряду встановлюють спеціальні ознаки збіжності. Першою з них, як правило, є необхідна ознака збіжності.
ТеоремаЯкщо ряд (1) збігається, то його загальний член и прямує до нуля, тобто
= 0.
Нехай ряд (1) збігається і . Тоді і
(при
і
Враховуючи, що
при
>1, отримуємо:
Наслідок 1. (достатня умова розбіжності ряду). Якщо
0 або ця границя не існує, то ряд розбіжний.
Дійсно, якби ряд сходився, то (за теоремою) =0. Але це суперечить умові. Значить, ряд розбіжний.
Теорема 1. дає необхідну умову збіжності ряду, але не достатню: з умови =0 не випливає, що ряд збігається. Це означає, що існують ряди, що розбіжні, для яких,
= 0.
Для прикладу розглянемо так званий гармонійний ряд
(7)
Очевидно, що =0. Проте ряд (7) розбіжний. Покажемо це.
Як відомо, Звідси випливає, що при будь-якому
має місце нерівність
Логарифмуючи цю нерівність на основі
, отримаємо:
тобто
Підставляючи в отриману нерівність по черзі отримаємо:
Склавши поважно цю рівність, отримаємо Оскільки
отримуємо
тобто гармонійний ряд (7) розбіжний.
В якості другого прикладу можна взяти ряд
Тут =
Проте цей ряд розбіжний.
Дійсно,
тобто
Отже,
при
, ряд розбіжний.
Достатні ознаки збіжності знакосталих рядів.Необхідна ознака збіжності не дає, взагалі кажучи, можливості говорити про те, чи збігається даний ряд чи ні. Збіжність і розбіжність ряду у багатьох випадках можна встановити за допомогою так званих достатніх ознак.
Розглянемо деякі з них для знакосталих рядів, тобто рядів з від’ємними членами (знаконегативний ряд переходить знакосталий шляхом множення його на (-1), що, як відомо, не впливає на збіжність ряду).
Ознаки порівняння рядів.
Збіжність або розбіжність знакосталих ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим («еталонним») рядом, про який відомо, збігається він чи ні. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.
ТеоремаНехай дано два знакосталі ряди
(2.1)
(2.2)
Якщо для всіх виконується нерівність
(2.3)
то із збіжності ряду (2.2) виходить збіжність ряду (2.1), з розбіжності ряду (2.1) виходить розбіжність ряду (2.2).
Позначимо -і частинні суми рядів (2.1) і (2.2) відповідно через
і
. З нерівності (2.3) виходить, що
(2.4)
Нехай ряд (2.2) збігається і його сума дорівнює . Тоді
Члени ряду (2.2) додатні, тому
і, отже, з урахуванням нерівності (2.4),
Таким чином, послідовність
монотонно зростає (
) і обмежена зверху числом
За ознакою існування границі послідовно
має границю
тобто ряд (2.1) збігається.
Нехай тепер ряд (2.1) розбіжний. Оскільки члени ряду від’ємні, в цьому випадку маємо
Тоді, з врахуванням нерівності (2.4), отримуємо
тобто ряд (2.4) розбіжний.
Зауваження.Теорема 2.1 справедлива і у тому випадку, коли нерівність (2.3) виконується не для всіх членів рядів (2.1) і (2.2), а починаючи з деякого номера . Це випливає з властивості 3 числових рядів.
Теорема (гранична ознака порівняння).Нехай дано два знакосталі ряди (2.1) і (2.2). Якщо існує кінцева, відмінний від 0, границя
то ряди (2.1) і (2.2) збігаються або розбіжні одночасно.
За визначенням границі послідовності для всіх , крім, можливо, кінцевого числа їх, для будь-якого
> 0 виконується нерівність
, або
(2.5)
Якщо ряд (2.1) збігається, то з лівої нерівності (2.5) і теореми 14.2.1, випливає, що ряд також збігається. Але тоді, згідно властивості 1 числових рядів, ряд (2.2) збігається.
Якщо ряд (2.1) розбіжний, то з правої нерівності (2.5), теореми 2.1, властивості 1 випливає, що і ряд (2.2) розбіжний.
Аналогічно, якщо ряд (2.2) збігається (розбіжний), то рядом, що збігається (розбіжний) буде і ряд (2.1).
Ознака Даламбера.На відміну від ознак порівняння, де все залежить від здогадки і запасу відомих рядів, що збігаються і розбіжні, ознака Даламбера (1717-1783, французький математик) дозволяє часто вирішити питання про збіжність ряду, виконавши лише деякі операції над самим рядом.
Теорема 2.3. Нехай дано ряд (1) з додатніми членами і існує кінцева або нескінченна границя Тоді ряд збігається при
<1 і розбіжний при
> 1.
Оскільки , то за означенням границі для будь-якого
>0 знайдеться натуральне число N таке, що при п > N виконується нерівність
або
. (2.6)
Нехай < 1. Можна підібрати
так, що число
< 1. Позначимо
+
=
,
<1. Тоді з правої частини нерівності (2.6) отримуємо
або и
<
и
, п>N. Через властивість 3 числових рядів можна вважати, що и
<
и
для всіх
=1,2,3... Даючи номеру
ці значення, одержимо серію нерівностей:
тобто члени ряду менше відповідних членів ряду
, який збігається як ряд геометричної прогресії із знаменником 0<
<1. Але тоді, на підставі ознаки порівняння, збігається ряд
, отже, збігається і початковий ряд (1).
Нехай >1. В цьому випадку
. Звідси випливає, що, починаючи з деякого номера N, виконується нерівність
>1, або
тобто члени ряду зростають із збільшенням номера
. Тому
. На основі наслідку з необхідної ознаки ряд (1) розбіжний.
Зауваження.
1. Якщо , то ряд (1) може бути як, тим що збігається, так і тим, що розбіжний.
2. Ознаку Даламбера доцільно застосовувати, коли загальний член ряду містить вираз або
Радикальна ознака Коші.Іноді зручно користуватися радикальною ознакою Коші для дослідження збіжності знакосталого ряду. Ця ознака багато в чому схожа з ознакою Даламбера, про що говорять його формулювання і доведення.