СВЯЗЬ КООРДИНАТ ВЕКТОРА И ЕГО ОБРАЗА
Вопросы для самоконтроля:
1.Что называется линейным оператором (преобразованием) линейного пространства?
2.Дайте определение матрицы линейного оператора (преобразования) в данном базисе.
3.Как связаны матрицы линейного преобразования в разных базисах?
4.Как найти координаты образа вектора при линейном преобразовании?
5.Что такое сумма, произведение линейных операторов (преобразований), произведение линейного оператора (преобразования) на число?
6.Какова матрица суммы, произведения линейных преобразований?
ВАРИАНТ 1
1.В линейном пространстве A3 задан оператор такой, что для x=(x1, x2, x3): x=(x2+x3, 2x1+x3, 3x1–x2+x3). Доказать, что – линейный оператор. Найти его матрицы в базисах:
1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);
2) a1=(1,1,1), a2=(2,1,3), a3=(4,1,6).
2.Векторы a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0) линейным оператором преобразуются соответственно в векторы b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2). Найти матрицу этого оператора в том базисе, в котором указаны координаты векторов ai и bi, i=1,2,3.
3.Дана матрица М линейного оператора в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=2e1–e2+3e3.
.
ВАРИАНТ 2
1.Показать, что ортогональное проектирование трехмерного пространства V3 на ось Ox есть линейный оператор. Найти его матрицу в базисе 
, 
, 
.
2.Линейное преобразование в базисе e1, e2, e3 имеет матрицу М. Найти матрицу этого преобразования в базисе e1’=e1, e2’=e1+e2, e3’=e1+e2+e3.
.
3.Линейное преобразование :LL, dimL=2, переводит векторы a1=(1,3), a2=(2,1) соответственно в векторы b1=(0,2), b2=(1,1). Найти матрицы преобразования в базисах:
1) e1=(1,0), e2=(0,1);
2) a1, a2.
ВАРИАНТ 3
1.Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка на матрицу M справа есть линейный оператор. Найти его матрицу в базисе 
, 
, 
, 
.
.
2.Пусть :LL, dimL=2 – линейный оператор, имеющий в базисе g1=(1,2), g2=(2,3) матрицу М, а линейный оператор :LL в базисе u1=(3,1), u2=(4,2) задается матрицей N. Найти матрицы линейных операторов +, • в базисе g1, g2.
, 
.
3.Матрица М является матрицей линейного оператора в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3,
a=4e1–3e2+e3.
.
ВАРИАНТ 4
1.Дано преобразование линейного пространства A3, которое вектор x=(x1, x2, x3) переводит в вектор x=(x1+x2+x3, 2x2, 3x1–x3). Доказать, что оно линейное, и найти его матрицы в базисах
1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);
2) a1=(2,3,1), a2=(0,1,1), a3=(0,0,3).
2.Дана матрица А линейного преобразования пространства многочленов степени не выше 2 в базисе x2, x, 1. Найти образ вектора f(x)=x2–4x+3.
.
3.Преобразование в базисе a1=(-3,7), a2=(1,-2) имеет матрицу М, а преобразование в базисе b1=(6,-7), b2=(-5,6) имеет матрицу N. Найти матрицу • в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.
, 
.
ВАРИАНТ 5
1.Преобразование пространства многочленов степени не более 3 определяется следующим образом (ax3+bx2+cx+d)=ax3+bx2+cx. Доказать, что оно линейно и найти его матрицы в базисах:
1) x3, x2, x, 1;
2) x3, x2–3, x+1, 2.
2.Дана матрица A линейного преобразования арифметического трехмерного пространства A3 в базисе a1=(2,3,0), a2=(1,1,1), a3=(0,1,1). Найти:
1) образ вектора b=4a1+8a2–a3;
2) матрицу преобразования в базисе e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).
.
3.Линейное преобразование в базисе e1, e2 имеет матрицу А. Найти матрицу преобразования в базисе a1=2e1+e2, a2=3e1+e2.
.
ВАРИАНТ 6
1.В пространстве многочленов степени не выше 3 дано преобразование, которое всякий многочлен a0+a1x+a2x2+a3x3 отображает в многочлен a0+a1x+a2x2. Доказать, что преобразование линейное и найти его матрицы в базисах:
1) 1, x, x2, x3;
2) 1+x, 2–x–x2, x2–1, 3x3.
2.Линейное преобразование в базисе a1=(1,2), a2=(2,3) имеет матрицу А. Линейное преобразование в базисе b1=(3,1), b2=(4,2) имеет матрицу B. Найти матрицу преобразования • в базисе a1, a2.
, 
.
3.Дана матрица M линейного преобразования в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3 и a=4e1+e2–e3.
.
ВАРИАНТ 7
1.В пространстве многочленов степени не выше 2 задан оператор такой, что (f(x))=f(x+1)–f(x). Доказать, что – линейный оператор, и найти его матрицы в базисах:
1) x2, x, 1;
2) x2+2, 3x–1, 3.
2.Пусть :LL линейный оператор, в базисе g1=(1,2), g2=(2,3) имеющий матрицу М, а линейный оператор :LL в базисе u1=(3,1), u2=(4,2) задается матрицей N. Найти матрицы операторов –, • в базисе u1, u2.
, 
.
3.Дана матрица А линейного преобразования в базисе a1, a2, a3. Найти образы векторов a1, a2, a3, b=a1+2a3.
.
ВАРИАНТ 8
1.Найти матрицы оператора дифференцирования пространства многочленов степени не выше 2 в базисах:
1) 1, x, x2;
2) 1, x–1, (x–1)2/2.
2.Найти матрицу линейного преобразования трехмерного пространства A3, переводящего векторы a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0) соответственно в векторы b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2), в том базисе, в котором заданы векторы.
3.Дана матрица М линейного преобразования в базисе e1, e2. Найти матрицу преобразования в базисе a1=3e1–e2, a2=e1+e2.
.
ВАРИАНТ 9
1.Дан базис e1, e2, e3, e4 линейного пространства L, линейный оператор :LL такой, что e1=e1+e2, e2=e2+e3, e3=e3+e4, e4=e4+e1. Доказать, что векторы g1=e1–e2, g2=e2–e3, g3=e1+e3, g4=e4 образуют базис пространства L, и написать матрицу оператора в базисе g1, g2, g3, g4.
2.Пусть линейное преобразование в базисе a1=(0,1), a2=(1,1) имеет матрицу M, линейное преобразование в базисе b1=(1,3), b2=(2,4) имеет матрицу N. Найти матрицу преобразования • в базисе a1, a2.
, 
.
3.Матрица C является матрицей линейного преобразования в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=e1+3e2–5e3.
.
ВАРИАНТ 10
1.В линейном пространстве L даны базис e1, e2, e3 и линейный оператор :LL такой, что e1=e1+e2, e2=e1+e3, e3=e3+e2. Доказать, что векторы g2=e2, g3=e3, g1=e1 образуют базис в L, и написать матрицы оператора в базисах:
1) e1, e2, e3;
2) g1, g2, g3.
2.Составить матрицы линейного оператора линейного пространства А3, переводящего векторы x1=(0,0,1), x2=(0,0,1), x3=(1,1,1) соответственно в векторы y1=(2,3,5), y2=(1,0,0), y3=(0,1,-1) в базисах:
1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);
2) x1, x2, x3.
3.Линейное преобразование в базисе e1, e2 имеет матрицу М. Найти образы векторов e1, e2, a=3e1+5e2.
.
ВАРИАНТ 11
1.В линейном пространстве А3 задан оператор такой, что для вектора x=(x1, x2, x3) x=(x2+x3, 2x1–x2, x1+x3). Доказать, что – линейный оператор, и найти его матрицы в базисах:
1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);
2) a1=(1,1,0), a2=(2,1,3), a3=(1,1,1).
2.В пространстве многочленов степени не выше 3 даны два оператора:
1) : (f(x))=f ‘(x);
2) : (ax3+bx2+cx+d)=ax3+bx2+cx.
Найти матрицу оператора • в базисе x3, x2, x, 1.
3.Матрица М является матрицей линейного преобразования в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=3e1–2e2+e3.
.
ВАРИАНТ 12
1.Проверить, что транспонирование квадратных матриц второго порядка есть линейный оператор. 
.
Найти матрицу этого оператора в базисе
, , , .
2.Линейное преобразование : LL в базисе e1, e2 имеет матрицу М. Найти его матрицу в базисе a1=e1+2e2, a2=2e2+3e3.
.
3.Линейное преобразование : LL переводит векторы a1=(2,0,3), a2=(4,1,5), a3=(3,1,2) соответственно в векторы b1=(1,2,-1), b2=(4,5,-2), b3=(1,1,1). Найти матрицу этого преобразования в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.
ВАРИАНТ 13
1.Доказать, что преобразование линейного пространства А3, переводящее вектор x=(x1, x2, x3) в вектор x=(x1+x2, x2+3x3, 3x3), является линейным. Найти матрицы преобразования в базисах:
1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);
2) a1=(2,2,-1), a2=(1,1,0), a3=(3,0,0).
2.Матрица M является матрицей линейного преобразования в базисе a1=(1,2), a2=(3,0). Матрица N является матрицей линейного преобразования в базисе e1=(1,0), e2=(0,1). Найти матрицы преобразований + и • в базисе a1, a2.
, 
.
3.Матрица А является матрицей линейного преобразования в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, x=3e1+2e2+e3.
.
ВАРИАНТ 14
1.В пространстве многочленов степени не выше 2 дано преобразование такое, что (ax2+bx+c)=ax2+bx. Доказать, что – линейное преобразование, и найти его матрицы в базисах:
1) x2, x, 1;
2) x2+2x–1, x–1, 2.
2.Линейный оператор в базисе a1=(3,1), a2=(4,2) имеет матрицу M, линейный оператор в базисе b1=(1,2), b2=(2,3) имеет матрицу N. Найти матрицы операторов +, • в базисе b1, b2.
, 
.
3.Линейный оператор переводит векторы a1=(1,2),
a2=(2,-1) соответственно в векторы b1=(3,1), b2=(2,1).
Найти матрицу оператора в том базисе, в котором даны
координаты всех векторов.
Лабораторная работа 11