IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Примерные задачи для подготовки к экзамену по дисциплине

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

I. СЛАУ

  1. Решить систему уравнений

а) с помощью формул Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

  1. Исследовать систему на совместность, в случае совместности указать число базисных и число свободных неизвестных, найти решение:

а) б)

  1. Определить, при каком значении параметра система однородных линейных уравнений имеет множество решений (неопределенна) и решить систему при найденном

  1. Вычислить определитель по теореме о разложении; найти произведение матриц, элементами которых являются элементы миноров и

а) б)

  1. Вычислить: а) ранг матрицы С =А * В

,

б) r(A), если А=

  1. Решить матричные уравнения

а) б) .

Указание:

  1. Вычислить определитель матрицы если

транспонированная матрица А.

 

  1. Найти из уравнения а) ; б)
  2. Для матрицы не существует обратной матрицы при а=?

 

II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

 

  1. Даны точки А(3; -7; 4) и В(0; -5; -2). Найти координаты и длину вектора АВ.
  2. Найти координаты и длину вектора , если и
  3. Если то
  4. Определить, при каких значениях векторы и будут ортогональными (перпендикулярными).
  5. Определить, при каких значениях и вектора и будут коллинеарными?
  6. Даны векторы Разложить вектор через векторы и
  7. Найти косинус угла между векторами и
  8. Найти проекцию вектора на вектор
  9. В плоскости находятся два вектора и . Даны модули этих векторов и угол между ними . Найти скалярное произведение этих векторов и модуль вектора
  10. Найти координаты вектора , который перпендикулярен и вектору и вектору

 

III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

 

  1. Составить общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки А(-3, 5) и В(1, 3).
  2. Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку пересечения прямых 2х +2y =5 и 3x – y = 1.5, которая а) параллельна прямой y = 5x + 3, б) перпендикулярна прямой y = 2x – 5.
  3. Составить уравнение медианы АМ и высоты ВК треугольника АВС, если А(-3;3), В(2;4) ,С(0;-1).
  4. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ, где А(6;4), В(4; -2).
  5. Уравнение окружности с центром в точке С(-3;1) и радиусом R=2 имеет вид…
  6. Написать уравнение прямой, проходящей через центр окружности перпендикулярно прямой
  7. Составить каноническое уравнение гиперболы, мнимая ось которой равна 4 а уравнения асимптот имеют вид
  8. Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет

а) эллипса б) гиперболы Записать уравнения асимптот.

  1. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между его фокусами равно а длинна большой оси равна 12. Построить эллипс, указать его вершины и эксцентриситет.

 

IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

  1. Плоскости и перпендикулярны, если m=?
  2. Составит уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .
  3. Составит уравнение плоскости, которая проходит через точку , перпендикулярно двум плоскостям и
  4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
  5. Среди плоскостей указать параллельные и перпендикулярные.
  6. Определить угол между двумя плоскостями
  7. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно: а) вектору ; б) прямой
  8. Составит параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору
  9. Центр сферы имеет координаты?
  10. Вершина конуса имеет координаты?

РАЗНОЕ

  1. Потребитель тратит весь свой доход на потребление двух благ А и В. В таблице приведены ежемесячные данные об объемах потребления и динамике изменения дохода потребителя по отношению к предыдущему месяцу:
месяцы потребление Доход потребителя (у.е)
Благо А(ед) Благо В(ед)  
январь  
февраль Увелич на 20%
март Увелич на 25%

 

Найти отношение стоимости единиц блага А к стоимости единицы блага В?

Указание. x- стоимость единицы блага А, y- стоимость единицы блага В. Доход потребления: январь , февраль….., март…….Динамика ……..Найти

  1. Потребитель тратит весь свой доход на потребление двух благ А и В. В таблице приведены ежемесячные данные об объемах потребления и динамике изменения дохода потребителя по отношению к предыдущему месяцу:
месяцы потребление Доход потребителя (у.е)
Благо А(ед) Благо В(ед)  
январь  
февраль Увелич. на 20%
март Уменьш. на 25%

 

Найти отношение стоимости единиц блага А к стоимости единицы блага В?

 

  1. Потребитель тратит весь свой доход на потребление двух благ А и В. В таблице приведены ежемесячные данные об объемах потребления и динамике изменения дохода потребителя по отношению к предыдущему месяцу:
месяцы потребление Доход потребителя (у.е)
Благо А(ед) Благо В(ед)  
январь  
февраль Увелич. на 20%
март Уменьш. на 25%

Если стоимость единицы блага А равна 3 у.е., то доход потребителя в марте изменился на ? у.е.

Указание. Надите . По условию y=3. Найдете x. Рассчитаете доход в феврале и марте и найдете разницу в доходе вычитанием.