Дедукция и индукция

 

Умозаключение – это логическая операция, в результате которой из одного или нескольких принятых утверждений (посылок) получается новое утверждение – заключение (следствие).

В зависимости от того, существует ли между посылками и заключением связь логического следования, можно выделить два вида умозаключений.

В дедуктивном умозаключении эта связь опирается на логический закон, в силу чего заключение с логической необходимостью вытекает из принятых посылок. Как уже отмечалось, отличительная особенность такого умозаключения в том, что оно от истинных посылок всегда ведёт к истинному заключению.

К дедуктивным относятся, например, такие умозаключения:

Если данное число делится на 6, то оно делится на 3.

Данное число делится на 6.

Данное число делится на 3.

Если гелий металл, он электропроводен.

Гелий не электропроводен.

Гелий не металл.

Черта, отделяющая посылки от заключения, заменяет слово «следовательно».

В индуктивном умозаключении связь посылок и заключения опирается не на закон логики, а на некоторые фактические или психологические основания, не имеющие чисто формального характера. В таком умозаключении заключение не следует логически из посылок и может содержать информацию, отсутствующую в них. Достоверность посылок не означает поэтому достоверности выведенного из них индуктивно утверждения. Индукция даёт только вероятные, или правдоподобные, заключения, нуждающиеся в дальнейшей проверке.

Примерами индукции могут служить рассуждения:

Аргентина является республикой; Бразилия – республика; Венесуэла – республика;

Эквадор – республика.

Аргентина, Бразилия, Венесуэла, Эквадор – латиноамериканские государства.

Все латиноамериканские государства являются республиками.

Италия – республика; Португалия – республика; Финляндия – республика;

Франция – республика.

Италия, Португалия, Финляндия, Франция – западноевропейские страны.

Все западноевропейские страны являются республиками.

Индукция не даёт полной гарантии получения новой истины из уже имеющихся. Максимум, о котором можно говорить, это определённая степень вероятности выводимого утверждения. Так, посылки и первого и второго индуктивного умозаключения истинны, но заключение первого из них истинно, а второго – ложно. Действительно, все латиноамериканские государства – республики; но среди западноевропейских стран имеются не только республики, но и монархии, например, Англия, Бельгия и Испания.

Особенно характерными дедукциями являются логические переходы от общего знания к частному. Во всех случаях, когда требуется рассмотреть какое-то явление на основании уже известного общего принципа и вывести в отношении этого явления необходимое заключение, мы умозаключаем в форме дедукции (Все поэты – писатели; Лермонтов – поэт; следовательно, Лермонтов – писатель).

Рассуждения, ведущие РѕС‚ знания Рѕ части предметов Рє общему знанию РѕР±Рѕ всех предметах определённого класса, – это типичные индукции, поскольку всегда остаётся вероятность того, что обобщение окажется поспешным Рё необоснованным (Платон – философ; Аристотель – философ; значит, РІСЃРµ люди – философы).

Нельзя вместе с тем отождествлять дедукцию с переходом от общего к частному, а индукцию – с переходом от частного к общему. Дедукция – это логический переход от одной истины к другой, индукция – переход от достоверного знания к вероятному. К индуктивным умозаключениям относятся не одни обобщения, но и уподобления, или аналогии, заключения о причинах явлений и др.

Дедукция играет особую роль в обосновании утверждений. Если рассматриваемое положение логически следует из уже установленных положений, оно обосновано и приемлемо в той же мере, что и последние. Это – собственно логический способ обоснования утверждений, использующий чистое рассуждение и не требующий обращения к наблюдению, интуиции и т.д.

Подчёркивая важность дедукции в процессе обоснования, не следует, однако, отрывать её от индукции или недооценивать последнюю. Почти все общие положения, включая, конечно, и научные законы, являются результатом индуктивного обобщения. В этом смысле индукция – основа нашего знания. Сама по себе она не гарантирует его истинности и обоснованности. Но она порождает предположения, связывает их с опытом и тем самым сообщает им определённое правдоподобие, более или менее высокую степень вероятности. Опыт – источник и фундамент человеческого знания. Индукция, отправляющаяся от того, что постигается в опыте, является необходимым средством его обобщения и систематизации.

Дедукция – это выведение заключений, столь же достоверных, как и принятые посылки.

В обычных рассуждениях дедукция только в редких случаях предстаёт в полной и развёрнутой форме. Чаще всего мы указываем не все используемые посылки, а лишь некоторые из них. Общие утверждения, о которых можно предполагать, что они хорошо известны, как правило, опускаются. Не всегда явно формулируются и заключения, вытекающие из принятых посылок. Сама логическая связь, существующая между исходными и выводимыми утверждениями, лишь иногда отмечается словами, подобными «следовательно» и «значит».

Нередко дедукция является настолько сокращённой, что о ней можно только догадываться. Восстановить её в полной форме, с указанием всех необходимых элементов и их связей бывает нелегко.

Проводить дедуктивное рассуждение, ничего не опуская и не сокращая, обременительно. Человек, указывающий все предпосылки своих заключений, создаёт впечатление какого-то педанта. И вместе с тем всякий раз, когда возникает сомнение в обоснованности сделанного вывода, следует возвращаться к самому началу рассуждения и воспроизводить его в возможно более полной форме. Без этого трудно или даже просто невозможно обнаружить допущенную ошибку.

Многие литературные критики полагают, что Шерлок Холмс был «списан» А.Конан-Дойлом с профессора медицины Эдинбургского университета Джозефа Белла. Последний был известен как талантливый учёный, обладавший редкой наблюдательностью и отлично владевший методом дедукции. Среди его студентов был и будущий создатель образа знаменитого детектива.

Однажды, рассказывает в своей автобиографии Конан-Дойл, в клинику пришёл больной, и Белл спросил его:

– Вы служили в армии?

– Так точно! – став по стойке смирно, ответил пациент.

– В горно-стрелковом полку?

– Так точно, господин доктор!

– Недавно ушли в отставку?

– Так точно!

– Были сержантом?

– Так точно! – лихо ответил больной.

– Стояли на Барбадосе?

– Так точно, господин доктор!

Студенты, присутствовавшие при этом диалоге, изумлённо смотрели на профессора. Белл объяснил, насколько просты и логичны его выводы.

Этот человек, проявив при входе в кабинет вежливость и учтивость, все же не снял шляпу. Сказалась армейская привычка. Если бы пациент был в отставке длительное время, то давно усвоил бы гражданские манеры. В осанке властность, по национальности он явно шотландец, а это говорит за то, что он был командиром. Что касается пребывания на Барбадосе, то пришедший болен элефантизмом (слоновостью) – такое заболевание распространено среди жителей тех мест.

Здесь дедуктивное рассуждение чрезвычайно сокращено. Опущены, в частности, все общие утверждения, без которых дедукция была бы невозможной.

Введённое ранее понятие «правильное рассуждение (умозаключение)» относится только к дедуктивному умозаключению. Лишь оно может быть правильным или неправильным. В индуктивном умозаключении вывод не связан логически с принятыми посылками. Поскольку «правильность» – это характеристика логической связи между посылками и заключением, а индуктивным умозаключением данная связь не предполагается, такое умозаключение не может быть ни правильным, ни неправильным. Иногда на этом основании индуктивные рассуждения вообще не включаются в число умозаключений.

4. Интуитивная логика

 

Под интуитивной логикой обычно понимают интуитивные представления о правильности рассуждений, сложившиеся стихийно в процессе повседневной практики мышления.

Интуитивная логика, как правило, успешно справляется СЃРѕ СЃРІРѕРёРјРё задачами РІ повседневной жизни, РЅРѕ совершенно недостаточна для критики неправильных рассуждений. Правильно ли рассуждает человек, РєРѕРіРґР° РіРѕРІРѕСЂРёС‚: «Если Р±С‹ барий был металлом, РѕРЅ РїСЂРѕРІРѕРґРёР» Р±С‹ электрический ток; барий РїСЂРѕРІРѕРґРёС‚ электрический ток; следовательно, РѕРЅ металл»? Чаще всего РЅР° РѕСЃРЅРѕРІРµ логической интуиции отвечают: правильно, барий металл, Рё РѕРЅ РїСЂРѕРІРѕРґРёС‚ ток. Этот ответ, однако, неверен. Логическая правильность, как гласит теория, зависит только РѕС‚ СЃРїРѕСЃРѕР±Р° СЃРІСЏР·Рё утверждений. РћРЅР° РЅРµ зависит РѕС‚ того, истинны используемые РІ выводе утверждения или нет. Хотя РІСЃРµ три утверждения, входящие РІ рассуждение, верны, между РЅРёРјРё нет логической СЃРІСЏР·Рё. Рассуждение построено РїРѕ неправильной схеме: «Если есть первое, то есть второе; второе есть; значит, есть Рё первое». Такая схема РѕС‚ истинных исходных положений может вести РЅРµ только Рє истинному, РЅРѕ Рё Рє ложному заключению, РѕРЅР° РЅРµ гарантирует получения новых истин РёР· имеющихся. Р’ рассуждении: «Если Сѓ человека повышенная температура, РѕРЅ болен; человек болен; следовательно, Сѓ него повышенная температура» РѕР±Рµ посылки РјРѕРіСѓС‚ быть истинными, Р° заключение ложным: РјРЅРѕРіРёРµ болезни протекают без повышения температуры. Другой пример: «Если Р±С‹ шёл дождь, земля была Р±С‹ РјРѕРєСЂРѕР№; РЅРѕ дождя нет; значит, земля РЅРµ мокрая». Это рассуждение интуитивно обычно оценивается как правильное, РЅРѕ достаточно небольшого рассуждения, чтобы убедиться, что это РЅРµ так. Верно, что РІ дождь земля всегда мокрая; РЅРѕ если дождя нет, РёР· этого РІРѕРІСЃРµ РЅРµ следует, что РѕРЅР° сухая: земля может быть просто полита или быть РјРѕРєСЂРѕР№ после таяния снега. Рассуждение опять-таки идёт РїРѕ неправильной схеме: «Если первое, то второе; РЅРѕ первого нет; значит, нет Рё второго». Эта схема может привести РѕС‚ истинных посылок Рє ошибочному заключению: «Если человек художник, РѕРЅ рисует; человек рисует; значит, человек художник». Эти простые примеры показывают, что логика, усвоенная стихийно, даже РІ обычных ситуациях может оказаться ненадёжной.

Обычно мы применяем логические законы, не задумываясь о них, нередко не подозревая о самом их существовании. Но бывает, что использование даже простой схемы сталкивается с известными трудностями.

Эксперименты, проводившиеся психологами с целью сопоставления мышления людей разных культур, наглядно показывают, что чаще всего причина трудностей в том, что схема рассуждения, его форма не выделяется в чистом виде. Вместо этого для решения вопроса о правильности рассуждения привлекаются не относящиеся к делу содержательные соображения. Обычно они связаны с какой-то конкретной ситуацией.

Вот как описывают ход одного из экспериментов, проводившихся в Африке, М.Коул и С.Скрибнер в книге «Культура и мышление».

Экспериментатор. Однажды паук пошёл на праздничный обед, ему сказали, что прежде чем приступить к еде, он должен ответить на один вопрос. Вопрос такой: «Паук и чёрный олень всегда едят вместе. Паук ест. Ест ли олень?»

Испытуемый. Они были в лесу?

Экспериментатор. Да.

Испытуемый. Они вместе ели?

Экспериментатор. Паук и олень всегда едят вместе. Паук ест. Ест ли олень?

Испытуемый. Но меня там не было. Как я могу ответить на такой вопрос?

Экспериментатор. Не можете ответить? Даже если вас там не было, вы можете ответить на этот вопрос. (Повторяет вопрос.)

Испытуемый. Да, да, чёрный олень ест.

Экспериментатор. Почему вы говорите, что чёрный олень ест?

Испытуемый. Потому что чёрный олень всегда весь день ходит по лесу и ест зеленые листья. Потом он немного отдыхает и снова встаёт, чтобы поесть.

Здесь очевидная ошибка. У испытуемого нет общего представления о логической правильности вывода. Чтобы дать ответ, он стремится опереться на какие-то факты, а когда экспериментатор отказывается помочь ему в поисках таких фактов, сам придумывает их.

Ещё пример из этого же исследования.

Экспериментатор. Если Флюмо или Йакпало пьют сок тростника, староста деревни сердится. Флюмо не пьёт сока тростника. Йакпало пьёт сок тростника. Сердится ли староста деревни?

Испытуемый. Люди не сердятся на других людей.

Экспериментатор повторяет задачу.

Испытуемый. Староста деревни в тот день не сердился.

Экспериментатор. Староста деревни не сердился? Почему?

Испытуемый. Потому что он не любит Флюмо.

Экспериментатор. Он не любит Флюмо? Скажи почему?

Испытуемый. Потому что, когда Флюмо пьёт сок тростника, это плохо. Поэтому староста деревни сердится, когда Флюмо так делает. А когда Йакпало иногда пьёт сок тростника, он ничего плохого не делает людям. Он идёт и ложится спать. Поэтому люди на него не сердятся. Но тех, кто напьётся сока тростника и начинает драться, староста не может терпеть в деревне.

Испытуемый имеет в виду скорее всего каких-то конкретных людей или просто выдумал их. Первую посылку задачи он отбросил и заменил её другим утверждением: люди не сердятся на других людей. Затем он ввёл в задачу новые данные, касающиеся поведения Флюмо и Йакпало. Ответ испытуемого на экспериментальную задачу был неправилен. Но он был результатом вполне логичных рассуждений на основе новых посылок.

Для анализа задачи, поставленной РІ первом эксперименте, переформулируем её так, чтобы были выявлены логические СЃРІСЏР·Рё утверждений: «Если ест паук, то ест Рё олень; если ест олень, то ест Рё паук; паук ест; следовательно, олень тоже ест». Здесь три посылки. Вытекает ли РёР· РґРІСѓС… («Если ест паук, олень также ест» Рё «Паук ест») заключение «Олень ест»? Конечно. Рассуждение идёт РїРѕ упоминавшейся уже схеме: «Если есть первое, то есть второе; есть первое; значит, есть второе». РћРЅР° представляет СЃРѕР±РѕР№ логический закон. Правильность этого рассуждения РЅРµ зависит, разумеется, РѕС‚ того, РїСЂРѕРёСЃС…РѕРґРёС‚ ли РІСЃРµ РІ лесу, присутствовал ли РїСЂРё этом испытуемый Рё С‚.Рї.

Несколько сложнее схема, РїРѕ которой идёт рассуждение РІРѕ второй задаче: «Если Флюмо или Йакпало РїСЊСЋС‚ СЃРѕРє тростника, староста деревни сердится. Флюмо РЅРµ пьёт СЃРѕРє тростника. Йакпало пьёт СЃРѕРє тростника. Сердится ли староста деревни?В» Отвлекаясь РѕС‚ конкретного содержания, выявляем схему рассуждения: «Если есть первое или второе, то есть третье; первого нет, РЅРѕ есть второе; следовательно, есть третье». Эта схема является логическим законом, Рё, значит, рассуждение правильно. Схема близка указанной ранее схеме: «Если есть первое, то есть второе; есть первое; следовательно, есть второе». Различие только РІ том, что РІ качестве «первого» РІ более сложном рассуждении указываются РґРІРµ альтернативы, РѕРґРЅР° РёР· которых тут же исключается.

Навык правильного мышления не предполагает каких-либо теоретических знаний, умения объяснить, почему что-то делается именно так, а не иначе. К тому же сама интуитивная логика, как правило, беззащитна перед лицом критики.

Усвоение языка есть одновременно и усвоение общечеловеческой, не зависящей от конкретных языков, логики. Без неё, как и без грамматики, нет, в сущности, владения языком. В дальнейшем стихийно сложившееся знание грамматики систематизируется и шлифуется в процессе школьного обучения. На логику же специального внимания обычно не обращается, её совершенствование остаётся стихийным процессом. Нет поэтому ничего странного в том, что, научившись на практике последовательно и доказательно рассуждать, человек затрудняется ответить, какими принципами он при этом руководствуется. Почувствовав сбой в рассуждении, он оказывается, как правило, не способным объяснить, какая логическая ошибка допущена. Это под силу только теории логики.

5. Некоторые схемы правильных рассуждений

 

В правильном рассуждении заключение вытекает из посылок с логической необходимостью, и общая схема такого рассуждения представляет собой логический закон.

Логические законы лежат, таким образом, РІ РѕСЃРЅРѕРІРµ логически совершённого мышления. Рассуждать логически правильно – значит рассуждать РІ соответствии СЃ законами логики.

Число схем правильного рассуждения (логических законов) бесконечно. Многие известны нам из практики рассуждения. Мы применяем их интуитивно, не отдавая себе отчёта, что в каждом правильно проведённом умозаключении мы используем тот или иной логический закон.

Вот некоторые, наиболее часто используемые, схемы.

Если есть первое, то есть второе; есть первое; следовательно, есть второе. Эта схема позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия. По этой схеме протекает, в частности, рассуждение: «Если лёд нагревают, он тает; лёд нагревают; значит, он тает».

Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным её движением от утверждения следствия условного высказывания к утверждению его основания: «Если есть первое, то есть второе; есть второе; значит, есть первое». Последняя схема не является логическим законом, от истинных посылок она может привести к ложному заключению. Скажем, идущее по этой схеме рассуждение «Если человеку восемьдесят лет, он стар; человек стар; следовательно, человеку восемьдесят лет» ведёт к ошибочному заключению, что старику ровно восемьдесят лет.

Если есть первое, то есть второе; но второго нет; значит, нет первого. Посредством этой схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания высказывания. Например: «Если наступает день, то становится светло; но сейчас не светло; следовательно, день не наступил». Иногда эту схему смешивают с логически некорректным движением мысли от отрицания основания условного высказывания к отрицанию его следствия: «Если есть первое, есть и второе; но первого нет; значит, нет и второго».

Если есть первое, то есть второе; следовательно, если нет второго, то нет и первого. Эта схема позволяет, используя отрицание, менять местами высказывания. К примеру, из высказывания «Если есть гром, есть также молния» получается высказывание «Если нет молнии, то нет и грома».

Есть по меньшей мере или первое или второе; но первого нет; значит, есть второе. Например: «Бывает день или ночь; сейчас ночи нет; следовательно, сейчас день».

Либо имеет место первое, либо второе; есть первое; значит, нет второго. Посредством этой схемы РѕС‚ утверждения РґРІСѓС… взаимоисключающих альтернатив Рё установления того, какая РёР· РЅРёС… присутствует, осуществляется переход Рє отрицанию РґСЂСѓРіРѕР№ альтернативы. Например: «Достоевский родился либо РІ РњРѕСЃРєРІРµ, либо РІ Петербурге; РѕРЅ родился РІ РњРѕСЃРєРІРµ; значит, неверно, что РѕРЅ родился РІ Петербурге». Р’ американском вестерне «Хороший, плохой Рё злой» Бандит РіРѕРІРѕСЂРёС‚: «Запомни, РћРґРЅРѕСЂСѓРєРёР№, что РјРёСЂ делится РЅР° РґРІРµ части: тех, кто держит револьвер, Рё тех, кто копает. Револьвер сейчас Сѓ меня, так что бери лопату». Это рассуждение также опирается РЅР° рассматриваемую схему.

Неверно, что есть и первое, и второе; следовательно, нет первого или нет второго; Есть первое или есть второе; значит, неверно, что нет первого и нет второго. Эти и близкие им схемы позволяют переходить от утверждений с союзом «и» к утверждениям с союзом «или», и наоборот. Используя данные схемы, от утверждения «Неверно, что сегодня ветер и дождь» можно перейти к утверждению «Неверно, что сегодня ветер или неверно, что сегодня дождь» и от утверждения «Амундсен или Скотт был первым на Южном полюсе» перейти к утверждению «Неверно, что ни Амундсен, ни Скотт не является первым человеком, побывавшим на Южном полюсе».

Таковы некоторые схемы правильного рассуждения. В дальнейшем эти и другие схемы будут рассмотрены более детально и представлены с использованием специальной логической символики.

6. Традиционная и современная логика

 

История логики охватывает около двух с половиной тысячелетий. «Старше» формальной логики, пожалуй, только философия и математика.

В длинной и богатой событиями истории развития логики отчётливо выделяются два основных этапа. Первый – от древнегреческой логики до возникновения во второй половине прошлого века современной логики. Второй – с этого времени до наших дней.

На первом этапе, обычно называемом традиционной логикой, формальная логика развивалась очень медленно. Обсуждавшиеся в ней проблемы мало чем отличались от проблем, поставленных ещё Аристотелем. Это дало повод немецкому философу И.Канту (1724-1804) в своё время придти к выводу, что формальная логика является завершённой наукой, не продвинувшейся со времени Аристотеля ни на один шаг.

Кант не заметил, что ещё с XVII в. стали назревать предпосылки для научной революции в логике. Именно в это время получила ясное выражение идея представить доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике.

Эта идея связана главным образом СЃ именем немецкого философа Рё математика Р“.Лейбница (1646-1716). РџРѕ Лейбницу, вычисление СЃСѓРјРјС‹ или разности чисел осуществляется РЅР° РѕСЃРЅРѕРІРµ простых правил, принимающих РІРѕ внимание только форму чисел, Р° РЅРµ РёС… смысл. Результат вычисления однозначно предопределяется этими, РЅРµ допускающими разночтения правилами, Рё его нельзя оспорить. Лейбниц мечтал Рѕ времени, РєРѕРіРґР° умозаключение будет преобразовано РІ вычисление. РљРѕРіРґР° это случится, СЃРїРѕСЂС‹, обычные между философами, станут так же невозможны, как невозможны РѕРЅРё между вычислителями. Вместо СЃРїРѕСЂР° РѕРЅРё РІРѕР·СЊРјСѓС‚ РІ СЂСѓРєРё перья Рё скажут: «Будем вычислять».

Идеи Лейбница не оказали, однако, заметного влияния на его современников. Энергичное развитие логики началось позже, в XIX в.

Немецкий математик и логик Г.Фреге (1848-1925) в своих работах стал применять формальную логику для исследования оснований математики. Фреге был убеждён, что «арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никакого обоснования». Пытаясь свести математику к логике, он реконструировал последнюю. Логическая теория Фреге – провозвестник всех нынешних теорий правильного рассуждения.

Идея сведения всей чистой математики Рє логике была подхвачена английским логиком Рё философом Р‘.Расселом (1872-1970). РќРѕ последующее развитие логики показало неосуществимость этой грандиозной РїРѕ своему замыслу попытки. РћРЅР° привела, однако, Рє сближению математики Рё логики Рё Рє широкому проникновению плодотворных методов первой РІРѕ вторую.

Р’ РРѕСЃСЃРёРё РІ конце прошлого – начале нынешнего века, РєРѕРіРґР° научная революция РІ логике набрала силу, ситуация была довольно сложной. И РІ теории, Рё РІ практике преподавания господствовала так называемая «академическая логика», избегавшая острых проблем Рё постоянно подменявшая науку логику невнятно изложенной методологией науки, истолкованной Рє тому же РїРѕ заимствованным Рё устаревшим образцам. И тем РЅРµ менее были люди, стоявшие РЅР° СѓСЂРѕРІРЅРµ достижений логики своего времени Рё внёсшие РІ её развитие важный вклад. Прежде всего это доктор астрономии Казанского университета, логик Рё математик Рџ.РЎ.Порецкий. Сдержанное общее отношение Рє математической логике, разделявшееся РјРЅРѕРіРёРјРё СЂСѓСЃСЃРєРёРјРё математиками, РІРѕ РјРЅРѕРіРѕРј осложнило его творчество. Часть СЃРІРѕРёС… работ РѕРЅ вынужден был опубликовать Р·Р° границей. РќРѕ его идеи оказали РІ конечном счёте существенное влияние РЅР° развитие алгебраически трактуемой логики как РІ нашей стране, так Рё Р·Р° рубежом. Порецкий первым РІ РРѕСЃСЃРёРё начал читать лекции РїРѕ современной логике, Рѕ которой РѕРЅ РіРѕРІРѕСЂРёР», что это «по предмету своему есть логика, Р° РїРѕ методу математика». Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирующее влияние РЅР° развитие алгебраических теорий логики Рё РІ наши РґРЅРё.

Одним из первых (ещё в 1910 г.) сомнения в неограниченной приложимости логического закона противоречия, о котором пойдёт речь далее, высказал логик Н.А.Васильев. «Предположите, – говорил он, – мир осуществлённого противоречия, где противоречия выводились бы, разве такое познание не было бы логическим?» Васильев, подобно Ломоносову, наряду с научными статьями, писал порой и стихи. В них своеобразно преломлялись его логические идеи, в частности идея воображаемых (возможных) миров:

…Мне грезится безвестная планета,

Где все идёт иначе, чем у нас.

В качестве логики воображаемого мира он предложил свою теорию без закона противоречия, долгое время считавшегося центральным принципом логики. Васильев полагал необходимым ограничить и действие закона исключённого третьего, о котором также говорится в дальнейшем. В этом смысле Васильев явился одним из идейных предшественников логики наших дней. Идеи Васильева при его жизни подвергались жёсткой критике, в результате он оставил занятия логикой. Потребовалось полвека, прежде чем его «воображаемая логика» без законов противоречия и исключённого третьего была оценена по достоинству. Идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключённого третьего и близких ему способов математического доказательства, были развиты математиками А.Н.Колмогоровым, В.А.Гливенко, А.А.Марковым и др. В результате возникла так называемая конструктивная логика, считающая неправомерным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

Известный русский физик П.Эренфест первым высказал гипотезу о возможности применения современной ему логики в технике. В 1910 г. он писал:

«Символическая формулировка даёт возможность „вычислять“ следствия из таких сложных систем посылок, в которых при словесном изложении почти или совершенно невозможно разобраться. Дело в том, что в физике и технике действительно существуют такие сложные системы посылок. Пример: пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить: 1) будет ли она правильно функционировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции; 2) не содержит ли она излишних усложнений. Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький коммутатор есть логическое „или-или“, воплощённое в эбоните и латуни; все вместе – система чисто качественных (сети слабого тока, поэтому не количественных) „посылок“, ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутанности. Следует ли при решении этих вопросов раз и навсегда удовлетвориться рутинным способом преобразования на графике? Правда ли, что, несмотря на существование уже разработанной алгебры логики, своего рода „алгебра распределительных схем“ должна считаться утопией?»

В дальнейшем гипотеза Эренфеста получила воплощение в теории релейно-контактных систем.

В общем, оглядываясь на историю распространения логики, можно сказать, что лучшие русские логики всегда стремились стоять на уровне современных им мировых теорий и концепций, органически чуждаясь всякого рода логического сектантства и сепаратизма.

Современную логику нередко называют математической, подчёркивая тем самым своеобразие новых её методов в сравнении с использовавшимися ранее в традиционной логике.

Одна из характерных черт этих методов – широкое использование разнообразных символов вместо слов и выражений обычного языка. Символы применял в ряде случаев ещё Аристотель, а затем и все последующие логики. Однако теперь в использовании символики был сделан качественно новый шаг. В логике стали использоваться специально построенные языки, содержащие только специальные символы и не включающие ни одного слова обычного разговорного языка.

Широкое использование символических средств послужило основанием того, что, новую логику стали называть символической. Названия «математическая логика» и «символическая логика», обычно употребляемые и сейчас, обозначают одно и то же – современную формальную логику. Она занимается тем же, чем всегда занималась логика – исследованием правильных способов рассуждения.