Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда

Лекция 28. Основные понятия теории числовых рядов

План

1. Числовой ряд. Элементы ряда. Усеченная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды
2. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда
3. Остаток ряда
4. Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр

Числовой ряд. Элементы ряда. Усеченная сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды

Пусть имеется числовая последовательность . Числовым рядом называется бесконечная сумма элементов последовательности:

, (1)

где - члены ряда, - n-ый член ряда.

Определение 1. n-ой усеченной суммой ряда (1) называется

 

. (2)

 

Определение 2. Если существует

, (3)

 

то ряд (1) называется сходящимся, а называется суммой ряда. Если предела (3) не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

Если есть последовательность усеченных сумм ряда , то можно восстановить и сам ряд. Действительно:

 

 

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между элементами последовательностей и .

Пример. Рассмотри ряд . Необходимо выяснить, будет ли этот ряд сходящимся. Для этого построим последовательность усеченных сумм, учитывая, что :

 

.

 

Тогда

.

 

Таким образом, представленный ряд является сходящимся и его сумма:

 

.

 

Пример. Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию: Сумма всех членов этой прогрессии - это ряд

 

 

Существование суммы геометрической прогрессии зависит от существования суммы предыдущего ряда, т.е. от его сходимости. ая усеченная сумма ряда имеет вид:

 

, (10)

 

откуда . (20)

 

Отнимем почленно равенство (10) от равенства (20):

 

,

 

откуда .

 

Сходимость ряда будет зависеть от сходимости полученной последовательности :

 

.

 

Таким образом, ряд, который является суммой геометрической прогрессии, будет сходящимся только тогда, когда знаменатель прогрессии , его сумма будет равна

 

.

 

В случае ряд является расходящимся.

 

Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда

Числовой ряд является сходящимся, когда сходится - последовательность усеченных сумм этого ряда, а последовательность , как любая числовая последовательность, является сходящейся тогда и только тогда, когда она является фундаментальной. Числовая последовательность, как известно из предыдущих лекций, является фундаментальной, если для , что для и для выполняется неравентво: . Последнее неравенство, учитывая определение усеченной суммы ряда, будет иметь вид:

 

.

 

Мы доказали следующую теорему.

Теорема 1 (критерий Коши сходимости числового ряда). Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы для , что для и для выполнялось неравентво: , что эквивалентно выполнению неравенства:

. (30)

 

Поскольку неравенство (30) выполняется для любого натурального , то будет иметь место и неравенство

, (40)

 

которое вытекает из (30) при . А это означает, что имеет место

Следствие из теоремы 1 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то .

Стремление к нулю n-го члена ряда является необходимым, но не достаточным условием его сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость числовой ряд , тут . Сначала проверим выполнение необходимого условия сходимости:

 

.

 

Необходимое условие выполняется, поэтому данный ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Продолжим исследование.

 

. (50)

 

Из (50) вытекает, что последовательность неограниченная, поэтому расходящаяся, а потому и рассматриваемый ряд является расходящимся, хотя для него выполняется необходимое условие сходимости.

 

Остаток ряда

Определение3. Остатком ряда после n-го члена называется

. (60)

 

Для каждого члена ряда существует свой остаток, таким образом можно построить последовательность остатков ряда .

Утверждение 1. Если ряд сходится, то сходится и , при этом

 

.