Вторая теорема Больцано-Коши
Лекция 7. Функции, непрерывные на сегменте (продолжение)
План
Первая теорема Больцано-Коши
Вторая теорема Больцано-Коши
Первая теорема Больцано-Коши
Теорема 1.Пусть функция определена и непрерывна на
, а на концах сегмента принимает значения разных знаков, то есть
. Тогда существует такая точка
, что
.
Доказательство. Пусть для определенности
. Разобьем
точкой
пополам (рис.1). Если
, то все доказано. Если
, то на концах одного из сегментов
,
функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его
(рис.1). Для него:
. Будем обозначать длину сегмента
как
. Тогда
.
Сегмент поделим пополам точкой
. Если
, то все доказано. Если
, то на концах
или
функция
будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его
. Для него:
,
.
Продолжим этот процесс. Тогда на м шаге возможны две ситуации:
1. , тогда все доказано;
2. . На концах
или
функция
будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его
. Для него:
,
.
Предположим, что ни на каком шаге функция в средней точке рассматриваемого сегмента не имеет значения 0. В ходе доказательства мы получили бесконечную последовательность вложенных сегментов:
, (1)
для которых , поэтому
. (2)
Из (2) по определению границы последовательности вытекает, что
для , что для
:
, т.е. для
в построенной последовательности (1) вложенных сегментов существуют такие, длина которых будет меньше
. Тогда по лемме о вложенных сегментах из этого будет вытекать, что последовательность (1) вложенных сегментов имеет лишь одну общую точку. Обозначим эту точку
; для
:
, а поскольку длины сегментов стремятся к нулю, когда
(равенство (2)), то
. (3)
Из (3) очевидно, что мы имеем две сходящихся последовательности: ,
, которые сходятся к точке
. Поскольку по условию теоремы функция
непрерывна везде на
, то она непрерывна и в точке
. Тогда по определению непрерывности функции по Гейне:
Поскольку для :
, то
. (4)
Поскольку для :
, то
. (5)
Сравнивая (4) и (5), имеем:
.
Таким образом, искомая точка найдена, теорема доказана.
Вторая теорема Больцано-Коши
Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна на
,
,
. Тогда для
, что
.
Доказательство. Пусть для определенности (если
совпадает с
или с
, тогда как
можно взять
или
- все доказано).
Построим вспомогательную функцию
.
Рассмотрим ее на . На этом сегменте
- непрерывна, потому что является разностью двух непрерывных функций
и
, к тому же:
,
,
т.е. на концах сегмента функция
принимает значения разных знаков. Тогда по предыдущей теореме
, что
, т.е.
, а тогда
, что и нужно было доказать.
Следствие. Пусть функция определена и непрерывна на
, тогда множество ее значений - сегмент.
Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса достигает на
своих супремума и инфимума. Обозначим:
.
Тогда
;
.
По второй теореме Больцано-Коши функция принимает все промежуточные значения, которые находятся между
и
, то есть областью значений
является сегмент
, что и нужно было доказать.
Вопросы
1. Может ли непрерывная на сегменте функция не принимать нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.
2. Может ли непрерывная на интервале функция не принимать нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.
3. Пусть функция определена и непрерывна на
, а на концах сегмента принимает значения одного знака. Вытекает ли из этого, что функция не принимает нулевого значения ни в одной точке сегмента? Ответ объяснить.
4. Пусть функция определена и непрерывна на
, а на концах сегмента принимает значения разных знаков. Вытекает ли из этого, что функция принимает нулевое значение в какой-то точке сегмента? Ответ объяснить.
5. Доказать первую теорему Больцано-Коши.
6. Доказать, не решая уравнение непосредственно, что уравнение обязательно будет иметь корень на сегменте
.
7. Пусть функция определена и непрерывна на
, а на концах сегмента принимает значения разных знаков. Сколько корней может иметь уравнение
? Ответ объяснить.
8. Пусть функция определена на
, а множество ее значений – это
. Что можно сказать о непрерывности
на
? Почему?
9. Доказать вторую теорему Больцано-Коши.
10. Доказать следствие из второй теоремы Больцано-Коши.