Ограниченное множество. Существование граней

У ограниченного множества

 

Определение. Множество действительных чисел называется ограниченным снизу, если существует действительное число такое, что для любого числа справедливо неравенство . Это число будем называть нижней границей множества .

Определение. Множество действительных чисел называется ограниченным сверху, если существует действительное число такое, что для любого числа справедливо неравенство . Это число будем называть верхней границей множества .

Определение. Множество действительных чисел называется ограниченным, если существует действительное число такое, что для любого числа справедливо неравенство .

Определение. Множество действительных чисел называется неограниченным, если для любого действительного числа существует число для которого справедливо неравенство .

Определение. Число называется верхней гранью числового множества , если

1) для любого числа справедливо неравенство ;

2) для любого положительного числа существует число такое, что .

Верхняя грань числового множества обозначается символом (от латинского supremum – наибольший).

Из определения следует, что верхняя грань числового множества – это наименьшая из верхних границ этого множества.

Определение. Число называется нижней гранью числового множества , если

1) для любого числа справедливо неравенство ;

2) для любого положительного числа существует число такое, что .

Нижняя грань числового множества обозначается символом (от латинского infimum – наименьший).

Из определения следует, что нижняя грань числового множества – это наибольшая из нижних границ этого множества.

Теорема 1.4.1. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань и притом только одну.

Доказательство. Пусть – ограниченное сверху множество. Тогда существует действительное число такое, что для любого числа справедливо неравенство . Рассмотрим два возможных случая.

1 случай. Пусть какая-то из верхних границ множества принадлежит этому множеству. Назовем эту границу . Тогда для любого числа справедливо неравенство и для любого положительного числа справедливо неравенство . То есть для этой границы выполняются условия определения верхней грани, а, значит, число является верхней гранью множества . И утверждение теоремы справедливо.

2 случай. Пусть все верхние границы множества не принадлежат этому множеству.

В этом случае разобьем множество всех действительных чисел на классы. Один класс пусть состоит из чисел , которые являются верхними границами множества . Этот класс назовем вторым. Остальные числа пусть составляют первый класс. То есть, первый класс состоит из чисел , для которых существует число такое, что . (Это отрицание того, что число не является верхней границей множества .)

Покажем теперь, что для этих классов выполняется условие аксиомы Дедекинда.

1) Множество – непустое. Значит, существует число из этого множества. Поэтому, число меньшее , не будет верхней гранью множества , а, значит, принадлежит первому классу. Поэтому первый класс – непустое множество чисел.

2) Число принадлежит второму классу. Поэтому второй класс – непустое множество чисел.

3) Первый класс чисел – это дополнение второго класса до множества всех действительных чисел. Поэтому классы разбивают все множество действительных чисел.

4) Пусть – произвольное число из первого класса, а – из второго. Тогда существует число такое, что и справедливо неравенство . Отсюда следует, что . Значит . Поэтому все числа первого класса меньше каждого из чисел второго класса.

Таким образом, условие аксиомы VI1 множества выполнено. Тогда существует число , которое или принадлежит первому классу и оно больше всех чисел этого класса или принадлежит второму классу и оно меньше всех чисел этого класса. Тогда для произвольных чисел из первого класса и из второго класса справедливы неравенства .

То есть для любого числа справедливы неравенства и . Значит, – наименьшая из верхних границ множества . Поэтому число является верхней гранью множества .

Единственность верхней грани доказывается методом “от противного”. Пусть числа и различные верхние грани множества . Тогда, из минимальности верхней грани среди верхних границ следует, что и . Тогда .

Утверждение теоремы справедливо. o

Замечание. Покажем (другим способом) по определению, что верхняя грань множества .

Неравенства справедливы для произвольного числа из множества . То есть для любого числа справедливо неравенство . Кроме того, для любого положительного числа число меньше (которое наименьшее во втором классе). Значит, принадлежит первому классу. А первый класс состоит из чисел , для которых существует число такое, что . Поэтому существует число такое, что . То есть для выполняются условия определения верхней грани, а, значит, число является верхней гранью множества .

Аналогично доказывается симметричная теорема.

Теорема 1.4.1.а. Всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань и притом только одну.