Доверительные интервалы при нормальном распределении случайной величины

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону (закону Гаусса) с математическим ожиданием M и среднеквадратичным отклонением s. Математическое ожидание M является истинным значением случайной величины Х.

Определим вероятность неравенства.

(3.62)

где – оценка математического ожидания;

– доверительная вероятность;

– ошибка от замены M оценкой

Параметры распределения случайной величины и неизвестны, поэтому решить уравнение (3.62) невозможно.

Поделим обе части неравенства на ,

где – исправленное среднеквадратическое отклонение, определяемое из опытных данных;

– статистическая дисперсия;

n – число опытов.

Получим:

(3.63)

или

Случайная величина Т подчиняется распределению Стьюдента.

Дифференциальная функция распределения имеет вид:

где – гамма-функция

Распределение Стьюдента зависит от числа опытов или, что то же самое, от числа степеней свободы

Распределение Стьюдента позволяет найти решение уравнения (3.62).

Величина , называемая квантилем распределения Стьюдента, определится из условия

Функция – четная, поэтому

Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности b, называют такое значение , при котором функция принимает значение, равное b, т. е.

Квантиль t_b находим из таблицы распределения Стьюдента, в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы .

Величина e, равная половине длины доверительного интервала, определится по формуле

Доверительные интервалы для оценок параметров рассчитываются следующим образом.

1. Задаются доверительной вероятностью . Обычно b = 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.

2. Определяется число степеней свободы , где n – число опытов или наблюдений.

3. Из таблицы распределения Стьюдента по заданным r и b находят квантиль .

4. Из опытных данных определяется исправленное среднеквадратическое отклонение:

где

5. Половина длины доверительного интервала определяется по формуле:

6. Доверительный интервал будет:

Пример 25.

При испытании десяти устройств, отказы которых распределены по нормальному закону (или по закону Гаусса), получены следующие значения времени работы до отказа в часах.