Критерии согласия. Критерий Пирсона

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о том, что статистическое распределение согласуется с каким-либо известным законом (нормальным, экспоненциальным, Вейбулла и т. д.)

Имеется несколько критериев согласия: Колмогорова, Пирсона и т. д.

Критерий Пирсона не требует построения самого закона распределения. Достаточно задаться только общим видом функции F(t), а входящие в нее числовые параметры определяются по данным эксперимента.

Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина принимает определенное значение. Результаты опытов оформлены в виде статистического ряда с числом разрядов К.

			…
			…
			…

n – общее число значений случайной величины;

n_i – число значений в i-ом разряде;

– статистическая вероятность i-ом разряде.

Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой, что случайная величина Х имеет данный закон распределения. Этот закон распределения называется теоретическим. Из теоретического закона определяются теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый разряд:

Сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении теоретических и статистических вероятностей.

В качестве критерия проверки гипотезы принимают случайную величину

(3.72)

Эта величина при стремится к закону распределения с r степенями свободы. Число степеней свободы находят по равенству

, (3.73)

где k – число интервалов;

s – число параметров предполагаемого распределения, которые вычислены по экспериментальным данным.

Если предполагаемое распределение нормальное, то оценивают два параметра: математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Поэтому
s = 2 и число степеней свободы

Если статистические данные распределены по экспоненциальному закону, то оценивают параметр l, поэтому s = 1 и

Пользуясь таблицами распределения можно для вычисленной по формуле (3.72) меры расхождения и числа степеней свободы r найти вероятность P того, что величина, распределенная по закону превзойдет эту меру. Если эта вероятность мала, меньше или равна 0,1, событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным.

Гипотезу о том, что закон распределения X есть F(x) следует считать неправдоподобной. Если же вероятность Р больше 0,1, гипотезу о том, что величина X распределена по закону F(x) следует считать правдоподобной, не противоречащей опытным данным.

Последовательность операций при использовании критерия Пирсона.

1. Определяется мера расхождения опытного и теоретического закона

где n_i – количество значений случайной величины в i-ом интервале;

n – общее число значений случайной величины;

– частота повторения событий или статистическая вероятность в i-ом интервале.

– теоретическая вероятность события в i-ом интервале (из теоретической кривой);

k – число разрядов (интервалов);

– наблюдаемое значение критерия.

2. Определяется число степеней свободы распределения по формуле

3. Пользуясь таблицами распределения , возможно для значения , вычисленного в пункте 1 и числа степеней свободы rопределить вероятность Р. Если эта вероятность мала (Р £ 0,1), гипотеза о совпадении опытного и теоретического законов отбрасывается. Если Р > 0,1, гипотезу можно принять не противоречащей опытным данным.

Пример 30.

На испытания поставлены 18 приборов. Наблюдение за работоспособностью проводилось через каждые 100 часов работы. Получены следующие результаты испытаний, сведенные в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Время испытаний, ч	0-100	100-200	200-300	300-400	400-500	500-600	600-700
Число отказавших приборов, n_i

Определить среднее время работы приборов и соответствие распределения времени работы приборов экспоненциальному закону.

1. Среднее время работы до отказа:

где n_i – количество отказавших приборов в интервале времени Dt;

– представитель разряда, среднее значение времени в i-ом интервале;

К – число интервалов;

n – количество приборов.

ч.

Интенсивность отказов

1/ч.

Теоретическая вероятность появления случайной величины в каждом из интервалов:

Величина p_i равна приращению функции распределения на i-ом участке.

2. Определим меру расхождения, равную

Расчетные данные сводятся в таблицу.

Таблица 3.6

Номер интервала

	0,33	0,221	0,147	0,1	0,067	0,044	0,03
	5,94	3,98	2,646	1,8	1,2	0,792	0,54
	0,884	1,04	0,125	0,04	0,04	0,043	0,21
	0,149	0,26	0,047	0,022	0,033	0,054	0,39

3. Число степеней свободы

5. По таблице распределений c² определяется при х² = 0,955 и r = 5 вероятность Р того, что величина c² превзойдет меру расхождения, найденную во 2-ом пункте. Р = 0,96. Р > 0.1, поэтому гипотезу о том, что время работы приборов распределено по экспоненциальному закону, можно считать правдоподобной.

Критерий Колмогорова

При применении критерия согласия Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределением рассматривается максимальное значение модуля разности между теоретической и экспериментальной функциями распределения.

На основе этого критерия, экспериментальное распределение согласуется
с выбранным теоретическим, если выполняется условие

где – наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной;

n – общее количество экспериментальных данных.

Пример 31.

В табл. 3.7 приведены вероятности отказов по экспериментальным данным и по теоретическому закону F(t).

Считаем закон распределения отказов экспоненциальным

Таблица 3.7

t, ч
	0,54	0,7	0,78	0,87	0,93	-
	0,41	0,64	0,77	0,88	0,93	-

Количество экспериментальных данных n = 30

По данным таблицы строим теоретическую и экспериментальную кривые (рис 3.14).

Рис. 3.14

Из рисунка и таблицы DF = 0.13.

Проверяем по критерию согласия Колмогорова.

Считаем, что закон распределения отказов – экспоненциальный.

Критерий Колмогорова прост и нагляден.

Недостатком критерия является то, что он требует предварительного знания теоретического распределения, т. е. знания не только вида функции распределения F(t), но и ее параметров.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Какими могут быть отказы?

2. Перечислите основные показатели надежности невосстанавливаемых
систем и поясните, чем отличаются математические и статистические
формулы показателей?

3. Перечислите основные показатели надежности восстанавливаемых
систем?

4. Из каких условий выбирается закон распределения средней наработки
на отказ объекта?

5. Почему экспоненциальный закон распределения наиболее часто
используется в теории надежности?

6. Как изменяется вероятность безотказной работы системы с увеличени-
ем количества параллельно включенных элементов?

7. Почему резервирование замещением эффективней постоянного резер-
вирования?

8. В каких случаях используется недогруженный ( горячий ) резерв?

9. Что называется оценкой показателя, точечной оценкой, интервальной

оценкой?

10. В каких случаях при определении доверительных интервалов исполь-
зуют распределение Стьюдента, распределение Пирсона?

11. Изобразите схему общего резервирования, раздельного резервирования? Какой способ резервирования эффективней?

12. Что такое критерий согласия? Каковы достоинства и недостатки критерия Пирсона, критерия Колмогорова?