Критерий устойчивости Гурвица

Классификация САУ

Системы автоматического управления (САУ) достаточно разнообразны, однако они поддаются четкой классификации по следующим признакам:

1 линейные и нелинейные.

2. - системы автоматической стабилизации

- системы программного управления (закон изменения x заранее известен);

- следящие системы (x изменяется по произвольному закону); пример:

3. По виду используемого регулятора:

- линейные, нелинейные, импульсные и цифровые САУ.

4. По общему алгоритму функционирования:

- обычные САУ; оптимальные и адаптивные САУ.

Принципы автоматического управления

 

1.2.1. Принцип прямого управления (рис.В.2)

Достоинства: Предельная простота регулятора.

Недостатки: 1. Обязательное присутствие человека- оператора, который является наиболее ненадежным звеном САУ.

2. Малая точность регулирования, особенно в динамике, когда сигналы х, g₁, ..., g₆ быстро изменяются.

3. Невысокое быстродействие, обусловленное медленной реакцией человека на изменения сигнала у.

1.2.2. Принцип управления по возмущению (рис.В.3)

Достоинства: 1. Наивысшее быстродействие в сравнении быстродействием с другими типов САУ.

2. Выше точность регулирования в сравнении с прямым управлением.

3. Выше надежность регулирования, так как человек не участвует непосредственно в управлении объектом.

Недостатки: 1. Сложность выделения всех возмущений, действующих на элементы САУ.

2. Сложность их классификации на основные и второстепенные.

3. Сложность измерения и преобразования сигналов возмущения в электрический сигнал. Например, чрезвычайно сложной на практике является задача измерения механического момента в валах вращающихся механизмов.

1.2.3. Принцип управления по отклонению (рис.В.4)

.

Достоинства: 1. Нет необходимости в выяснении того, какие сигналы возмущения действуют на САУ, и, следовательно, не нужно их измерять.

2. Самая высокая точность регулирования в сравнении с другими схемами САУ.

Недостатки: Меньше в сравнении с управлением по возмущению быстродействие, т.к. регулирующий сигнал u начинает изменяться не в момент появления возмущений, а только после изменения y.

Примеры:

2 .Электропривод траловой лебедки, обеспечивающий требуемые усилия и скорость выборки трала в условиях переменной нагрузки на ваерах, волнения моря, действия течений.

 

Достоинства схемы управления по отклонению настолько велики, что САУ в подавляющем числе случаев выполняются работающими именно по этой схеме.

На практике применяют также комбинированные САУ, сочетающие регулирование как по возмущению (рис.В.3), так и по отклонению (рис.В.4), которые обладают достоинствами обоих типов САУ.

 

1. ЛИНЕЙНЫЕ САУ

1.1. Линеаризация элементов САУ.

Преобразование Лапласа. Передаточные функции.

Типовые воздействия и реакция на них

Все элементы САУ (общее название элементов - звенья) выполняют преобразования входных сигналов в выходные. Эти преобразования описываются как алгебраическими, так и дифференциальными уравнениями.

Линейными называются САУ, все звенья которых описываются линейными дифференциальными и алгебраическими уравнениями.

Операция замены нелинейного дифференциального уравнения приближённым линейным дифференциальным

 

1.1.3. Передаточная функция

Передаточная функция W(p)– это отношение изображений выходного y(p) и входного x(p) сигналов при нулевых начальных условиях

1.1.4. Таблица преобразований Лапласа

В ТАУ подавляющее большинство задач решается с использованием передаточной функции W(p) и изображений х(р) от нескольких простейших функций x(t) (табл.1.1).

Таблица 1.1

Таблица преобразований Лапласа

Оригинал x(t)	Изображение x(p)	Название
	1	Дельта-импульс
1(t)		Единичный сигнал
t		Линейная функция
		Экспонента
		Затухающие гармонические функции
		Затухающие гармонические функции

1.1.5. Типовые воздействия и реакции на них

Реакция на единичный скачок 1(t) - переходной процесс h(t) (рис.1.2)

В электрических системах единичному скачку соответствует включение напряжения питания. Этот вид сигнала является для системы наиболее тяжелым для отработки. Если система отработает этот сигнал с заданными показателями качества, то наверняка будет качественно работать при других плавно изменяющихся сигналах.

Реакция на дельта-импульс d(t) - функция веса k(t) (рис.1.3)

Дельта-импульс d(t) имеет нулевую длительность, бесконечную амплитуду и единичную площадь (S=1). Дельта-импульсу соответствует помеха в электрических схемах и удар в механических системах. Математический аппарат и свойства функции веса широко используется в расчётах импульсных САУ.

Реакция на гармонический сигнал - частотные характеристики (рис.1.4)

Если на вход линейной системы воздействует гармонический сигнал с амплитудой X_m и фазой j_x, то на выходе будет сигнал той же частоты, однако другой амплитуды Y_m и фазы j_y.

Изменения амплитуды Y_m и фазы j_y выходного сигнала y(t) зависят от частоты w входного сигнала x(t). Эти зависимости определятся следующие частотные характеристики: АЧХ (амплитудно-частотную) и ФЧХ (фазо-частотную):

АЧХ: - коэффициент передачи (усиления) звена на данной частоте, равный отношению амплитуд сигналов;

ФЧХ: - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами.

Частотные характеристики очень просто находятся с использованием выражения передаточной функции W(p) (см. тему 1.3).

 

 

 

1.3. Частотные характеристики линейных САУ

Частотные характеристики линейных САУ рассчитываются через передаточные функции: если W(p) – передаточная функция, то W(jw)– частотная характеристика (ЧХ), получаемая из передаточной функции путём замены в ней p на jw.

ЧХ как комплексное число может быть представлено в показательной и алгебраической формах.

Показательная форма:

(1.22)

Эта запись позволяет найти еще две важнейшие характеристики: АЧХ и ФЧХ:

A(w) – амплитудо-частотная характеристика (АЧХ);

j(w) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Алгебраическая форма:

W(jw)=P(w)+jQ(w) (1.23)

Данное выражение порождает еще две характеристики: – вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) и – мнимо-частотная характеристика (МЧХ).

График ЧХ на комплексной плоскости называется годографом(рис.1.7).

 

1.4. Логарифмические амплитудно-частотые

характеристики - ЛАЧХ

Из частотных характеристик в ТАУ чаще всего используются асимптотические логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ). Преимущество асимптотических ЛАЧХ (далее – просто ЛАЧХ) в том, что их расчёт чрезвычайно прост при достаточно высокой точности. При использовании ЛАЧХ не существует проблем с длительным выбором (угадыванием) частот, при которых следует выполнять вычисления.

ЛАЧХ определяется выражением

,

а асимптотической она становится благодаря специальным правилам ее построения, суть которых в том, что:

- оси координат полулогарифмические, а именно, ось логарифмическая неравномерная, а ось L() линейная равномерная;

- ЛАЧХ состоит из отрезков прямых линий со стандартными коэффициентами наклона.

Для построения ЛАЧХ необходимо передаточную функцию W(p) привести к стандартной форме

 

Обобщением изложенного является следующий алгоритм построения ЛАЧХ:

1) находим все частоты сопряжения _с, упорядочиваем их по возрастанию от значения _с.min до значения _с.mах.

2). Составляем выражение передаточной функции W_I(p) первого для первого участка ЛАЧХ. Задаемся любой частотой из диапазона _I<_с.min и вычисляем ординату L_I(_I) первого участка ЛАЧХ. Через точку с координатами _I и L_I(_I) проводим прямую линию с наклоном – до частоты сопряжения _с.min.

3). Все последующие отрезки ЛАЧХ строим по следующим двум правилам (без вычислений):

а) при переходе частоты сопряжения, порожденной скобкой двучленом , наклон ЛАЧХ изменяется на единицу, а порожденной скобкой трехчленом - наклон изменяется на два;

б) при переходе частоты сопряжения, порожденной скобкой числителя, наклон ЛАЧХ изменяется в положительную сторону, а порожденной скобкой знаменателя – наклон ЛАЧХ изменяется в отрицательную сторону.

 

 

1.5. Типовые позиционные звенья САУ

Звенья САУ могут иметь передаточную функцию с полиномами числителя и знаменателя произвольного порядка

(1.41)

Для полиномов, составляющих числитель и знаменатель выражения передаточной функции (1.41), можно найти корни, которые могут быть только одного из четырех типов: нулевыми р=0, действительными р=-, комплексными р_1,2=-±j и мнимыми р_1,2=±j. С учетом найденных корней полиномы могут быть представлены в виде произведения выражений, соответственно, типа

(1.42)

Звенья САУ, передаточная функция которых содержит кроме постоянных чисел не более двух выражений типа (1.42) в числителе или знаменателе, называют типовыми звеньями. Всем типовым звеньям даны названия.

Типовые звенья подразделяются на позиционные, интегрирующие и дифференцирующие. Позиционные звенья имеют для установившегося режима статические характеристики вида y=kx, аинтегрирующие и дифференцирующие таких характеристик не имеют.

Виды типовых позиционных звеньев:

1. Безинерционное (пропорциональное) звено имеет передаточную функцию и описывается алгебраическим уравнением, соответственно, вида

W(p)=k, y=kx

Примерами безинерционных звеньев служат рычажная передача ,потенциометрический датчик перемещения.

 

2. Апериодическое (инерционное) звено 1-го порядка имеет передаточную функцию и описывается уравнением вида

где k, Т - коэффициент передачи и постоянная времени звена.

Примерами этого звена служат интегрирующая RC-цепь (рис.1.11а), 'электродвигатель, обмотки которого разогреваются во время работы

 

3. Инерционное звено 2-го порядка имеет передаточную функцию

Особенность звена в том, что его характеристическое уравнение имеет действительные корни.

Примерами этого звена служит RLC цепь. Переходный процесс описывается выражением

где с₁ и с₂ - постоянные интегрирования.

4. Колебательное звено имеет передаточную функцию

где T - период свободных (незатухающих) колебаний;

- параметр затухания, принимающий значения 0<<1.

Особенность звена в том, что его характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни.

 

Переходный процесс описывается выражением

где - резонансная частота с учётом затухания колебаний.

 

1.6. Типовые дифференцирующие звенья САУ

К дифференцирующим звеньям относят звенья, выходной сигнал которых пропорционален производной от входного сигнала. У дифференцирующих звеньев нет статической характеристики, так как связь между входным и выходным сигналами не взаимно-однозначная, а именно, для любого постоянного входного сигнала выходной сигнал в установившемся режиме будет нулевым.

Виды типовых дифференцирующих звеньев:

1. Идеальное дифференцирующее звено имеет передаточную функцию вида

где K – коэффициент размерности;

Т – постоянная времени дифференцирующего звена.

Примерами звена являются: тахогенератор с малоинерционным ротором

График переходного процесса представляет собой импульс бесконечно высокий и бесконечно узкий, площадь которого равна kT. Такой сигнал физически нереализуемый и фактически импульс всегда ограничен по амплитуде. Если входной сигнал х изменяется не скачком, то на выходе идеального дифференцирующего звена образуется сигнал у конечной формы.

Самым ценным свойством идеального дифференцирующего звена является обеспечение им положительного фазового сдвига +90^о. Благодаря этому сдвигу обеспечивается устойчивость САУ, повышается быстродействие и подавляется колебательность САУ.

1. Реальное (инерционное) дифференцирующее звено имеет передаточную функцию вида

где – постоянная времени инерции дифференцирующего звена.

Примерами звена являются: тахогенератор с инерционным ротором; дифференцирующие RC-цепь и RL-цепь

Выполним вывод передаточной функции для RC-цепи. Используя закон Ома, получим

 

 

,

 

Фазовый сдвиг звена остается положительным, что благоприятно сказывается на устойчивости, быстродействии САУ, содержащих дифференцирующие звенья.

 

1.7. Типовые интегрирующие звенья САУ

К интегрирующим звеньям относят звенья, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного сигнала. У интегрирующих звеньев нет статической характеристики, так как связь между входным и выходным сигналами не взаимно-однозначная, а именно, при нулевом входном сигнале величина выходного сигнала в установившемся режиме может быть любой.

Виды типовых интегрирующих звеньев:

1. Идеальное интегрирующее звено имеет передаточную функцию вида

где k – коэффициент размерности; Т – постоянная времени звена.

Примерами звена являются: двигатель постоянного тока (рис.1.23а) с малоинерционным ротором, И-регулятор на базе операционного усилителя ОУ

 

График переходного процесса представляет собой прямую линию.

Самым большим недостатком идеального интегрирующего звена является отрицательный фазовый сдвиг -90^о. Из-за этого сдвига САУ, содержащая идеальное интегрирующее звено, может стать неустойчивой, повышаются колебательность САУ, перерегулирование.

 

2. Реальное (инерционное) интегрирующее звено имеет передаточную функцию вида

где – постоянная времени инерции интегрирующего звена.

Примерами звена являются: двигатель постоянного тока с инерционным ротором; гидравлический сервопривод

3. Изодромное звено имеет передаточную функцию вида

(1.43)

Примерами звена являются: пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор на базе ОУ; упруго присоединенный катаракт, у которого входным сигналом х является сила F, а выходным – перемещение у точки, к которой приложена эта сила. Передаточную функцию можно преобразовать к виду

,

из которого следует, что изодромное звено эквивалентно двум последовательно соединенным: идеальному интегрирующему звену с передаточной функцией и звену, содержащему пропорциональное и идеальное дифференци- рующее звено, с передаточной функцией (Тр+1).

 

 

График переходного процесса приведен на В

В сравнении с другими интегрирующими звеньями изодромное звено имеет существенно меньший отрицательный фазовый сдвиг, что отчасти следует из эквивалентной структурной схемы звена, в которую входит дифференцирующий блок (Тр+1). Значит, проблем с неустойчивостью САУ и другими плохими динамическими показателями, можно избежать.

 

 

1.8. Структурные схемы САУ и их преобразования

Соединение звеньев между собой, изображенных в виде прямоугольников с обозначением в них передаточных функций звеньев, называется структурной схемой САУ. Со структурными схемами проводятся различные преобразования, среди которых основным является сворачивание структурной схемы в одно звено с эквивалентной передаточной функцией W_экв. Существуют 3 типовых схемы -последовательное, параллельное соединения и соединение с обратной связью (рис.1.30).

Последовательное соединение на примере 3-х звеньев изображено на рис.1.30а. На линиях связи между звеньями не должно быть ни точек ветвления, ни точек слияния. Звенья друг относительно друга могут располагаться на чертеже под любым углом, могут располагаться также встречно, главное их связи между собой. Эквивалентная передаточная функция равна

 

Параллельное соединение на примере 3-х звеньев изображено на рис.1.30б. Главным в этом соединении звеньев является то, что все они имеют один и тот же входной сигнал, а выходные сигналы звеньев суммируются алгебраически на элементе - сумматоре. Варианты изображения сумматора сигналов показаны на рисунке, причём в варианте с секторами затемняется сектор, в котором сигнал является вычитаемым. Эквивалентная передаточная функция равна

Соединения с обратной связью на примерах отрицательной обратной связи (сигнал, пропорциональный выходному сигналу, вычитается из входного сигнала) и положительной обратной связи (сигнал, пропорциональный выходному сигналу, складывается с входным сигналом) изображены, соответственно, на рис.1.30в и рис.1.30г.

Эквивалентная передаточная функция равна

(1.44)

где знак "+" при отрицательной, а знак "-" при положительной обратной связи.

Для соединения с отрицательной обратной связью вывод формулы (1.44) следующий. Согласно схемы рис.1.30в составим выражение

Из него находим отношение у/х, которое будет равно W_экв согласно (1.44).

Если структурная схема не содержит рассмотренных типовых соединений, то их нужно создавать путём структурных преобразований.

В структурных схемах имеются объекты трёх видов: изображения звеньев, точки ветвления и точки слияния - суммирования/вычитания (рис.1.31).

Имеется 4 способа структурных преобразований, позволяющих свернуть любую структурную схему САУ:

1. Преобразования точек ветвления согласно рис.1.31а.

2. Преобразования точек слияния согласно рис.1.31б.

При этих преобразованиях количество звеньев структурной схемы не изменяется.

3. Переносы точки ветвления по цепи звеньев вперёд или назад согласно рис.1.31в.

4. Переносы точки слияния по цепи звеньев вперёд или назад согласно рис.1.31г.

При этих переносах точек ветвления и слияния в схему добавляется одно новое звено. Передаточная функция дополнительного звена должна быть такой, чтобы ни один выходной сигнал преобразованной структурной схемы не изменился. Это правило отражено на рис.1.31в и рис.1.31г.

Пример сворачивания структурной схемы приведён на рис.1.32.

Исходная схема а (рис.1.32а) не имеет типовых соединений звеньев. Схема б получена из схемы а переносом назад по цепи элементов W₂ и W₃ точки ветвления 4. Добавлено звено W₃. Схема в получена из схемы б заменой соединения с положительной обратной связью звеном W₄. Схема г получена из схемы в заменой последовательно соединенных и охваченных единичной отрицательной обратной связью звеньев W₁ и W₄ одним звеном W₅. Схема д - конечная.

Приводим вычисления по структурным преобразованиям, отображенным на рис.1.32:

 

1.9. Понятие об устойчивости САУ. Прямые методы

устойчивости. Критерий устойчивости Гурвица.

Определение допустимых настроек САУ

САУ называется устойчивой, если при t®¥ переходный процесс стремится к установившемуся значению. Учитывая то, что в линейных САУ по существу рассматриваются линеаризованные системы, то указанный вид устойчивости справедлив при малых отклонениях от первоначального устойчивого состояния.

 

Устойчивость можно оценить прямыми методами или при помощи критериев устойчивости.

Прямые методы оценки устойчивости.

Свойство устойчивости может быть определено по графику переходного процесса, по корням характеристического уравнения изображения переходного процесса h(p

Оценка устойчивости либо по графику переходного процесса, либо по корням характеристического уравнения имеет тот недостаток, что её невозможно в общем случае применить к САУ, в передаточной функции которой содержится хотя бы один буквенный коэффициент, так как не существует аналитических методов решения алгебраических уравнений (именно таким уравнением является характеристическое уравнение САУ) выше 3-й степени. По этой же причине неприменима указанная оценка устойчивости на этапе синтеза САУ.

Оценка устойчивости при помощи критериев устойчивости.

В ТАУ для оценки устойчивости применяются критерии устойчивости. Критериями устойчивости называются совокупность процедур и правил, с помощью которых можно установить факт устойчивости САУ без нахождения корней характеристического уравнения. Существуют различные виды таких критериев как алгебраических, так и частотных. Ниже рассмотрены наиболее применимые в ТАУ критерии Гурвица, Михайлова и Найквиста.

Таблица 1.5

Тип корня характеристического уравнения	Слагаемое в выражении h(t)	Переходный процесс h(t)
1. p=0	С	Устойчив
2. p1=0, p2=0 (два нулевых корня)	С×t	Неустойчив
3. p=a (действительный корень)		Устойчив при a<0 и неустойчив при a>0
4. p=a±jb (комплексные корни)		Устойчив при a<0 и неустойчив при a>0
5. p=±jb (корни чисто мнимые)		На грани устойчивости

Критерий устойчивости Гурвица

Критерий Гурвица является алгебраическим. Для оценки устойчивости используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ. Структура САУ может быть любой.

Вводная часть к критерию Гурвица.

Пусть замкнутая САУ имеет следующую передаточную функцию

Из коэффициентов характеристического многочлена

составляем матрицу

Порядок заполнения матрицы следующий. Сначала по диагонали матрицы располагают коэффициенты от a₁ до a_n. Затем над диагональными элементами располагают коэффициенты с возрастающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0. Далее под диагональными элементами располагают коэффициенты с убывающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0.

Если хотя бы один определитель Гурвица отрицателен, то САУ неустойчива. Если имеется хотя бы один определитель Гурвица равен нулю при остальных положительных, то САУ находится на границе устойчивости.

.

Определение допустимых настроек САУ.

Если передаточная функция САУ содержит хотя бы один буквенный коэффициент, значение которого может быть любым числом, то с помощью критерия Гурвица можно определить допустимые по условию устойчивости значения такого коэффициента. При двух буквенных коэффициентах возможно совместное определение допустимых значений таких коэффициентов и выделение областей устойчивости на плоскости этих коэффициентов. Покажем это на примере.

С учётом положительности всех коэффициентов характеристического многочлена САУ будет устойчива при одновременном выполнении следующей системы неравенств

САУ будет находиться на границе устойчивости, если будет выполнено хотя бы одно из равенств

.

1.10. Критерий устойчивости Михайлова.

Определение допустимых настроек САУ

Критерий Михайлова является частотным. Для оценки устойчивости используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ. Структура САУ может быть любой.

 

Формулировка критерия Михайлова: САУ п-го порядка устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на положительной части действительной оси, проходит против часовой стрелки подряд ровно п квадрантов . Если годограф проходит п квадрантов не подряд или проходит меньше квадрантов, чем п, то САУ неустойчива . Если годограф при любой частоте проходит через начало координат, то САУ находится на грани устойчивости.

Оценка устойчивости с использованием графика годографа Михайлова наглядна, но требует громоздких вычислений по выражению. Если учесть, что для оценки устойчивости важен только факт прохождения годографом п квадрантов против часовой, а не сама форма годографа (рис.1.36а), то на этом можно существенно сократить вычисления. Достаточно найти частоты ₁, ₂, …, _п, при которых пересекаются оси координат, упорядочить их по возрастанию и для этих частот найти последовательно знаки (+ или -) выражений Р(₁), Q(₂), P(₃),…, где Р и Q - соответственно, действительные и мнимые части выражения W(j). САУ будет устойчива, если знаки выражений Р и Q будут чередоваться согласно табл.1.6. Любое отступления от табл.1.6 свидетельствует о том, что САУ либо неустойчива, либо находится на грани устойчивости.

 

Определение допустимых настроек САУ.

Если передаточная функция САУ содержит хотя бы один буквенный коэффициент, значение которого может быть любым числом, то с помощью критерия Михайлова можно определить допустимые по условию устойчивости значения такого коэффициента. При двух буквенных коэффициентах возможно совместное определение допустимых значений таких коэффициентов и выделение областей устойчивости на плоскости этих коэффициентов.

 

1.11. Критерий устойчивости Найквиста.

Использование ЛАЧХ для оценки устойчивости САУ

Критерий Найквиста является частотным. САУ должна иметь структуру с единичной обратной связью. Для оценки устойчивости используется частотная характеристика разомкнутой САУ.

Подготовительные операции.

Вычисляем и строим годограф W_раз(j) частотной характеристики разомкнутой САУ при значениях = 0 … (рис.1.38).

Формулировка критерия Найквиста зависит от вида частотной характеристики W_раз(j) разомкнутой САУ. Ниже рассмотрим только два вида W_раз(j), которые чаще всего встречаются на практике.

1). Пусть разомкнутая САУ устойчива. Тогда замкнутая САУ будет устойчива, если годограф W_раз(j) Найквиста, начинаясь на положительной части действительной оси, не охватывает точку –1 действительной оси (рис.1.38а). Если годограф охватывает точку –1 действительной оси (рис.1.38б), то САУ неустойчива (рис.1.38б), а если проходит через точку –1 действительной оси, то САУ находится на грани устойчивости (рис.1.38в).

2). Пусть разомкнутая САУ обладает астатизмом 1-го порядка, являясь САУ, находящейся на грани устойчивости. В этом случае начало годографа W_раз(j) разомкнутой САУ при =0 находится на бесконечности (рис.1.39). Необходимо такой годограф дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начинающейся на положительной части действительной оси и заканчивающийся на начале годографа W_раз(j). Тогда к такому годографу применимы все правила, по которым оценивалась устойчивость как на рис.1.38.

Использование ЛАЧХ для оценки устойчивости САУ

Введем на построениях критерия устойчивости Найквиста косвенные показатели качества – запас по фазе и частоту среза _ср (рис.1.40). Запас по фазе характеризует удаленность годографа W_раз(j) от точки с координатой –1 на вещественной оси. Для устойчивости САУ достаточно, чтобы запас по фазе был бы положительным. Чем больше запас по фазе, тем меньше перерегулирование на графике переходного процесса (см. рис.1.41). Считается для качественной САУ достаточно иметь запас по фазе в пределах 30^о…50^о.

Из построений, приведенных на рис.1.40, следует, что:

1) запас по фазе можно рассчитать по выражению частотной характеристики W_раз(j), подставив в него значение частоты среза _ср.

2) на частоте среза _ср значение модуля частотной характеристики W_раз(j) равно единице - , логарифм от такого модуля равен нулю - и, следовательно, значение ЛАЧХ от частотной характеристики W_раз(j) на частоте среза также равно нулю - ;

3) запас по фазе и значение фазочастотной характеристики, вычисленное на частоте среза удовлетворяют равенству

, (1.53)

и, следовательно, запас по фазе определяется по выражению фазочастотной характеристики (), вычисленное при одной частоте – частоте среза _ср.

Описанные свойства построений, приведенных на рис.1.40, позволяют перейти к определению частоты среза из графика ЛАЧХ разомкнутой САУ (рис.1.41).

Частота среза определяется графически как точка пересечения ЛАЧХ L() с осью частоты . Далее рассчитывается только одно значение фазы (_сз) и по выражению (1.53) определяется запас по фазе .

Простота построения ЛАЧХ (см. тему 1.4), а также простота вычисления запаса по фазе, обусловливает простое использование критерия устойчивости Найквиста в следующей формулировке:

Замкнутая САУ устойчива, если запас по фазе для разомкнутой САУ положительный, неустойчива, если запас по фазе отрицательный и находится на грани устойчивости при нулевом запасе по фазе.

.

1.12. Прямые показатели качества САУ. Расчет ошибок

регулирования. Статические и астатические САУ

Прямые показатели качества подразделяются на показатели качества динамического и установившегося режимов.

Показателями качества динамических режимов определяются из графика переходного процесса и основными из них являются (рис.1.42):

- перерегулирование или заброс , равный максимуму отклонения значения переходного процесса относительно установившегося значения процесса h_ycm;

- время первой установки t₁, определяемое моментом первого пересечения графиком переходного процесса установившегося значения h_ycm;

- время переходного процесса t_ПП, определяемое момент окончательного входа графика переходного процесса в зону допуска, равную ±5% от установившегося значения процесса h_ycm.

Для всех названных динамических показателей качества невозможно в общем случае получить формулы для их расчета. Это является существенным препятствием для решения задач анализа и синтеза САУ.

Показателями качества установившихся режимов являются ошибки регулирования, равные абсолютной величине разности между заданным и фактическим значениями сигналов САУ и которые в зависимости от вида входного сигнала САУ подразделяются на статические (_СТ) и скоростные ошибки (_СК) и ошибки (_m) при отработке гармонического входного сигнала.

Статическая ошибка регулирования _СТ рассчитывается при постоянном входном сигнале x(t)=X=const, а скоростная _СК - при входном сигнале x=Vt, изменяющемуся во времени с постоянной скоростью V=const.

Выводы по расчетам статической и скоростной ошибок регулирования:

1. Ошибки регулирования могут быть уменьшены путем увеличения общего коэффициента усиления К и порядка астатизма разомкнутой САУ.

2. При увеличении К ошибки регулирования только уменьшаются. но не обращаются в ноль.

3. При увеличении САУ становится абсолютно точной - ошибка регулирования становится нулевой.

 

 

1.13. Косвенные показатели качества САУ и их связь

с прямыми показателями качества. Использование

ЛАЧХ для оценки качества САУ

Невозможность получения формул для расчета динамических показателей качества (рис.1.42), а также требования задач синтеза САУ, обусловило разработки комплексных показателей качества. Косвенные показатели качества, в большинстве своем, являются частотными, которые определяются из ЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ. Косвенные показатели качества должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Косвенные показатели должны просто вычисляться или определяться из частотных характеристик разомкнутой САУ.

2. Погрешность определения значений прямых показателей качества через значения косвенных показателей качества должна быть мала.

3. Косвенные показатели должны быть приспособлены для эффективного решения задач синтеза САУ.

4. Косвенные показатели должны давать возможность просто анализировать влияние параметров настроек регуляторов САУ и характеристик любых других звеньев САУ на прямые показатели качества.

Косвенных показателей качества или их наборов разработано достаточно много. Каждый косвенный показатель качества или их набор вводятся для эффективного решения конкретных типов задач автоматического управления и, поэтому, универсальных косвенных показателей качества не существует в принципе. По сути, косвенные показатели упрощают анализ и синтез САУ, но прямые показатели качества определяются через косвенные всегда неточно.

 

Важная в практике эксплуатации САУ задача определения влияния типовых законов регулирования (пропорционального, интегрального и дифференциального) на прямые показатели качества чрезвычайно эффективно решается с помощью введенных косвенных показателей и _СР.

1.14. Типовые законы регулирования. Влияние

П-регулятора на показатели качества САУ

Вводная часть

Для обеспечения при работе САУ заданных показателей качества в ее структуру вводят корректирующие устройства и регуляторы. Корректирующие устройства имеют передаточную функцию произвольного вида. Регуляторами называются устройства, передаточная функция которых имеет стандартный вид.

Существуют три базовых простейших регулятора – пропорциональный (П), интегральный (И) и дифференциальный (Д):

- П-регулятор имеет передаточную функцию ;

- И-регулятор имеет передаточную функцию ;

- Д-регулятор имеет передаточную функцию .

Из трех простейших можно получить еще четыре составных регулятора:

- ПИ-регулятор с передаточной функцией ;

- ПД-регулятор с передаточной функцией ;

- ИД-регулятор с передаточной функцией ;

- ПИД-регулятор с передаточной функцией .

На практике широко применяются регуляторы ПИ- и ПИД-типов. Регуляторы ПД- и ИД-типов применяются редко из-за их низкой помехоустойчивости

 

При использовании П-регулятора порядок астатизма САУ не изменяется, поэтому ни одна из существующих ненулевых ошибок регулирования не обратится в ноль, а может быть только уменьшена за счет того, что коэффициент передачи k_П регулятора будет взят большим единицы.

д). Эксплуатационные качества П-регулятора являются наилучшими из всех простейших регуляторов, так как П-регулятор не обладает повышенной чувствительностью к помехам (не ухудшает соотношение "сигнал-помеха" для проходящего через него сигнала), а его выходной сигнал не подвержен дрейфу.

Выводы по применению П-регулятора в САУ

Достоинства П-регулятора:

1. Повышает быстродействие САУ, оцениваемое временем первой установки.

2. Эксплуатационные качества являются наилучшими и, поэтому, в любом стандартном регуляторе содержится П-часть.

Недостатки П-регулятора:

1. Увеличивает перерегулирование САУ.

2. Не обращает в ноль ни одну из ошибок регулирования исходной САУ.

 

 

1.15. Типовые законы регулирования. Влияние

И-регулятора на показатели качества САУ

 

При использовании И-регулятора порядок астатизма САУ увеличивается на единицу. Если исходная САУ была статической, то с введением И-регулятора становится астатической 1-го порядка и, поэтому, статическая ошибка _СТ обратится в ноль, а при исходной астатической САУ 1-го порядка уже две ошибки регулирования – статическая _СТ и скоростная _СК - обратятся в ноль.

И-регулятор имеет серьезный эксплуатационный недостаток – дрейф нуля или самоход.

Выводы по применению И-регулятора в САУ

Достоинства И-регулятора:

1. Обращает в ноль одну из ошибок регулирования.

Недостатки И-регулятора:

1. Повышает перерегулирование, колебательность САУ. Возможна даже потеря устойчивости.

2. Снижает быстродействие, оцениваемое временем переходного процесса.

3. Подвержен дрейфу.

 

1.16. Типовые законы регулирования. Влияние

Д-регулятора на показатели качества САУ

Вводная часть

При использовании Д-регулятора порядок астатизма САУ уменьшается на единицу. Если исходная САУ была астатической 1-го порядка с нулевой статической ошибкой _СТ регулирования, то с введением Д-регулятора становится статической и, поэтому, статическая ошибка _СТ становится ненулевой. Если же исходная САУ была статической, то после введения Д-регулятора статическая ошибка _СТ становится бесконечно большой и САУ становится фактически неработоспособной.

д). Д-регулятор имеет серьезный эксплуатационный недостаток – чрезвычайно чувствителен к помехам, содержащимся во входном его сигнале, что приводит к ухудшению (уменьшению) соотношения "сигнал / помеха".

Выводы по применению Д-регулятора в САУ

Достоинства Д-регулятора:

1. Подавляют перерегулирование, а в случае неустойчивой исходной САУ, превращает ее в устойчивую.

2. Подавляет колебательность.

3. Повышает быстродействие САУ.

Недостатки Д-регулятора:

1. Увеличивает ошибки регулирования.

2. Чувствителен к высокочастотным помехам, ухудшает соотношение "сигнал / помеха".

 

Общие выводы по применению типовых регуляторов в САУ

1. П-регулятор используется как основной канал передачи сигнала, так как у П-регулятора нет эксплуатационных недостатков. Применение П-регулятора позволяет снизить ошибки регулирования, повысить быстродействие, но при этом возрастает перерегулирование.

2. И-регулятор применяется для повышения точности регулирования, в том числе - абсолютной точности. Применение И-регулятора ведет к повышению колебательности, перерегулирования и может привести к потере устойчивости САУ. И-регулятор подвержен дрейфу выходного сигнала.

3. Д-регулятор применяется для обеспечения устойчивости САУ, подавления перегулирования и повышения быстродействия. Применение Д-регулятора ведет к увеличению ошибок регулирования. Д-регулятор обладает низкой помехозащищенностью, ухудшает соотношение "сигнал / помеха".

 

1.17. Принципиальные электрические схемы

типовых регуляторов

Современные типовые регуляторы используют в качестве активного элемента операционный усилитель (ОУ). Основными достоинствами ОУ являются:

- простота расчета схем, в состав которых входит операционный усилитель;

- стабильность характеристик ОУ и схем на их основе;

- высокие параметры согласования ОУ с другими схемами – малый входной ток (пико- и микроамперы – 10^-9…10^-6), высокое входное сопротивление (единицы – десятки мегаом), низкое выходное сопротивление (единицы и доли ома);

- дешевизна ОУ.

 

1.18. Схемы корректирующих устройств

на пассивных элементах

Корректирующим устройством (КУ) называется звено САУ, используемое в качестве регулятора, если его передаточная функция не приводится ни к одной передаточной функции типового регулятора П-, И- и Д-типов..

Интегро-дифференцирующее корректирующее устройство

Передаточная функция интегро-дифференци-рующего корректирующего устройства имеет вид

,

где k - коэффициент передачи КУ;

и Т – постоянные времен КУ, причем <T.

Дифференциально-интегрирующее корректирующее устройство

Передаточная функция дифференциально-интегрирующего корректирующего устройства имеет вид

,

где k - коэффициент передачи КУ;

и Т – постоянные времен КУ, причем <T.

 

1.19. Схемы корректирующих устройств

на активных элементах

КУ на пассивных элементах имеют следующие недостатки:

1. Коэффициент передачи КУ не превышает единицы, и, поэтому, требуется вводить в КУ пропорциональными усилителями.

2. Последовательное включение пассивных КУ недопустимо из-за взаимного влияния их, что приводит к искажению передаточных функций отдельных КУ. Так, если два последовательно включенных КУ имеют передаточные функции W₁(p) и W₂(p), то эквивалентная передаточная функция не равна произведению передаточных функций отдельных КУ:

W_ЭКВ(p) W₁(p)·W₂(p)

3. Для согласования цепи последовательно включенных КУ между ними необходимо устанавливать согласующие усилители, которые имеют большое входное и малое выходное сопротивления.

Схемы КУ на активных элементах свободны от этих недостатков за счет того, что в их состав входят ОУ.

Полное КУ содержит во входной цепи и в цепи обратной связи ОУ схемы из резисторов и конденсаторов. Если в цепи обратной связи используются только резисторы, то ОУ отводится роли усилителя сигнала и согласующего звена.

За счет выбора значений сопротивлений резисторов R1 и R2 и емкостей конденсаторов С1 и С2 можно получить любое значение коэффициента передачи k и любое соотношение Т₁ / Т₂. постоянных времениКУ. которое может быть звеном как интегро-дифференцирующим, так и дифференциально-интегрирующим.

 

1.20. Коррекция линейных САУ

с помощью местных обратных связей

Для того, чтобы изменить характеристики отдельных звеньев САУ и этим обеспечить устойчивость и заданные показатели качества замкнутой САУ, целесообразно применять местные обратные связи.

Варианты коррекции:

1. Превращение интегрирующего звена, которое в динамическом отношении является звеном, находящимся на грани устойчивости, в инерционное звено 1-го порядка

 

2. Уменьшение постоянной времени инерционного звена 1-го порядка, достигаемое с помощью уменьшает также коэффициент передачи звена:

Недостатком данной коррекции является то, что вместе с уменьшением постоянной времени инерционного звена в 1+КК_ОС раз во столько же раз уменьшается коэффициент передачи

3. Превращение колебательного звена в апериодическое звено 2-го порядка достигается применением ЖПОС

У исходного колебательного звена дискриминант отрицательный .

4. Превращение звена с любой передаточной функции W(p) в звено с любой наперед заданной передаточной функцией W_ЭКВ(p)

 

1.21. Пример судовой линейной САУ

Рассмотрим САУ курсом судна, в которую входят неизменяемая часть Н и авторулевой АР (рис.1.73а). Авторулевой представляет собой ПИД-регулятор

(рис. 1.73б). Неизменяемая часть содержит (рис. 1.73в): исполнительный двигатель ИД, рулевую машинку РМ и судно С как объект управления. ИД и РМ вместе образуют рулевой привод РП судна.

На схеме обозначены:

- заданный х и фактический у курсы судна и сигнал ошибки курса;

- перемещение h штока золотника гидравлической рулевой машинки и угол поворота руля.

Неизменяемая часть САУ имеет астатизм 3-го порядка (см. тему 1.13) и при охвате ее единичной обратной связью образуется неустойчивая замкнутая САУ. Для понижения порядка астатизма неизменяемой части применим местные жесткие отрицательные обратные связи (см. тему 1.21) с очень большими коэффициентами передачи, охватив ими исполнительный двигатель ИД с рулевой машинкой РМ по схеме, приведенной на рис.1.74. Эквивалентная передаточная функция W₁(p) охваченного жесткой ООС исполнительного двигателя ИД с К_ОС1 имеет согласно (1.73) вид

Повторная обратная связь при К_ОС2 на рис.1.74 превращает рулевой привод РП в эквивалентное пропорциональное звено

Структурная схема САУ примет вид, приведенный на рис.1.75.

Настраиваемыми параметрами авторулевого являются коэффициент передачи k_П пропорциональной части и постоянная времени Т_Д дифференциальной части. В зависимости от условий плавания (ветер, волны, глубина фарватера), загрузки судна (порожнее или груженное) изменяются его параметры k_С и Т_С.

Используя критерий устойчивости Гурвица, определим значения k_П и Т_Д параметров настройки авторулевого из условия обеспечения устойчивости САУ. Для этого найдем передаточную функцию замкнутой САУ

Определитель Гурвица и условия устойчивости

или

(1.74)

Границей, разделяющей области устойчивости и неустойчивости, является линия (рис.1.76), описываемая в осях k_П и Т_Д уравнением

, (1.75)

которое получено из последнего неравенства (1.74) путем замены знака неравенства на знак равенства.

Подставим в неравенство (1.74) значения k_П=0 и Т_И=0. Неравенство не будет выполняться. Значит ниже линии (1.75) будет область неустойчивости, а выше – устойчивости.

Положение линии границы устойчивости зависит от параметров k_С и Т_С судна, что следует из выражения (1.75). Чтобы САУ судна была устойчивой при любых значениях k_С и Т_С, необходимо построить множество границ устойчивости и соответствующих им частных областей устойчивости. Область, общая для всех частных областей, является областью устойчивости САУ в любых условиях эксплуатации судна.

Передаточная функция разомкнутой САУ курсом судна W_РАЗ(p), получаемая в результате перемножения передаточных функций авторулевого W_АР(p), рулевого привода W_РП.ЭКВ(p) и судна W_С(p), будет иметь сомножителем р² в знаменателе. Значит САУ будет астатической 2-го порядка и, поэтому, как статическая _СТ, так и скоростная _СК ошибки регулирования будут нулевыми (см. тему 1.12).

 

1.22. Сущность процесса синтеза САУ.

Частотный метод синтеза линейных САУ

Синтез САУ представляет собой процедуры определения вида и характеристик корректирующего устройства или регулятора, с помощью которых система с исходным набором звеньев и их характеристик при заданных внешних задающих и возмущающих воздействиях работает с заданным качеством.

Методы синтеза классифицируются по критериям (показателям качества), используемых при синтезе, характеристиками входных сигналов, структурой исходной схемы и алгоритм решения задачи синтеза.

Синтез КУ следящих систем производится частотным методом с использованием ЛАЧХ по обобщенной структурной схеме САУ, приведенной на рис.1.77.

Исходные данные для синтеза:

1. Передаточная функция W_Н(p) неизменяемой части САУ.

2. Показателями качества (критериями синтеза) являются:

- максимальная ошибка регулирования _т в следящем режиме;

- показатель колебательности М.

Ошибка регулирования _т является прямым показателем качества, а показатель колебательности М – косвенным. Зная М, можно по рис.1.47 найти перерегулирование .

3. Характеристиками входного сигнала являются: максимальные скорость и ускорение его изменения.

Этапы синтеза:

1. Строится ЛАЧХ неизменяемой части системы L_Н, например, вида, изображенного на рис.1.78.

2. Строится желаемая ЛАЧХ L_Ж синтезированной САУ (рис.23.2). Желаемая ЛАЧХ L_Ж состоит из четырех участков: низкочастотного (НЧ), среднечастотного (СЧ), высокочастотного (ВЧ) и сверхвысокочастотного (СВЧ).

 

Построение НЧ участка. Форма L_Ж на НЧ участке определяется требованием точности _т с учетом параметров и входного сигнала. Участок состоит из двух отрезков, исходящих из контрольной точки К с координатами _К и L_K, с наклонами –1 и –2. Сначала определяется базовая частота

.)

Затем рассчитываются координаты контрольной точки К:

Ниже отмеченных прямых находится запретная область. Если L_H проходит через запретную область, то заданная точность _т в следящем режиме не будет обеспечена и, поэтому, необходимо вводить корректирующее устройство КУ.

Построение СЧ участка. Форма L_Ж на CЧ участке определяется требованием обеспечения заданного показателя колебательности М с учетом параметров и входного сигнала. СЧ участок состоит из одного отрезка с наклоном –1. Границы отрезка по оси частот определяются двумя частотами сопряжения w_t и которые определяются через постоянные времени

В диапазоне частот СЧ участка проверяется то, чтобы резонансный выброс ЛАЧХ L_Нd не заходил в запретную область.

Построение ВЧ участка. ВЧ участок влияет только на показатель колебательности М, располагается в диапазоне частот от до граничной w_ГР, равной w_ГР»40w₀, и должен состоять из одного отрезка с наклоном -2. Однако с целью получения наиболее простой схемы корректирующего устройства КУ допускается введение на ВЧ участке дополнительных изломов с последующим пересчетом частоты . Упрощение схемы КУ достигается при условии, что в диапазоне частот от до w_ГР желаемая ЛАЧХ L_Ж будет повторять все изломы ЛАЧХ L_Нd. В нашем примере нужно повторить излом на частоте w₂ с одновременным пересчетом постоянной времени и частоты сопряжения правого конца СЧ участка:

Построение СВЧ участка. СВЧ участок располагается правее частоты w_ГР. Он не влияет ни на один показатель качества и его форма определяется только требованиями получения наиболее простой схемы корректирующего устройства КУ. Упрощение схемы КУ достигается при условии, что желаемая ЛАЧХ L_Ж будет повторять все наклоны ЛАЧХ L_Н.

3. По ЛАЧХ L_Ж восстанавливается желаемая передаточная функция САУ. Так для приведенной на рис.23.2 ЛАЧХ L_Ж передаточная функция будет

При известной передаточной функции W_H(р) неизменяемой части передаточная функция КУ находится из выражения