Краткие теоретические положения
Построение непрерывно-детерминированных моделей простейших физических процессов и систем
Методические указания
для студентов направления 230100
«Информатика и вычислительная техника»
специальности 230101 «Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети»
Тула 2010
ЛАбораторная работа 2
Построение непрерывно-детерминированных моделей простейших физических процессов и систем
Цель работы: знакомство с принципами построения и использования непрерывно-детерминированных моделей различных процессов и систем.
Краткие теоретические положения
В процессе создания математической модели происходит переход от содержательного описания к формальному алгоритму. Промежуточным звеном между ними может служить математическая схема.
Существует ряд типовых математических схем, которые могут лечь в основу разрабатываемого конкретного моделирующего алгоритма.
К ним относятся следующие схемы (модели):
• непрерывно-детерминированные модели (D-схемы);
• дискретно-детерминированные модели (F-схемы);
• дискретно-стохастические модели (Р-схемы);
• непрерывно-стохастические модели (Q-схемы).
К непрерывно-детерминированным моделямотносятся модели, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. В качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, обычно служит время. Тогда вектор-функция искомых переменных будет непрерывной. Математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы и поэтому называются D-схемами (англ. dynamic).
Общего метода составления дифференциальных уравнений для описания различных физических процессов не существует. Можно лишь дать некоторые указания. Вначале необходимо решить, какую из величин взять за независимую переменную, а какую – за искомую функцию. Пусть решено, что 
– искомая зависимость между характеристиками 
и 
изучаемого процесса. При составлении дифференциального уравнения, решением которого является функция 
, необходимо выразить приращение 
этой функции через приращение 
независимой переменной, то есть выразить разность 
через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на и перейдя к пределу при 
, получим дифференциальное уравнение, описывающее изучаемый процесс. Во многих случаях искомая зависимость определяется исходя из закона или экспериментального факта, установленного для той или иной области естествознания.
Пример 1.Тело, имеющее в начальный момент температуру 
, поместили в среду, температура которой поддерживается неизменной и равна 
. Как будет меняться с течением времени температура тела, если скорость ее изменения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.
Решение.Пусть 
– температура тела в момент времени 
. По условию задачи
где 
– коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные, получим
Учитывая начальное условие , находим искомую зависимость
.
Пример 2.Сосуд, площадь 
поперечного сечения которого есть известная функция высоты 
, наполнен жидкостью до высоты H. В дне сосуда имеется отверстие площадью 
, через которое жидкость вытекает. Определить время , за которое уровень жидкости понизится от начального положения до произвольного 
и время полного опорожнения сосуда, если известно, что скорость истечения жидкости через отверстие, находящееся не расстоянии 
ниже уровня жидкости равна 
Решение. Пусть высота жидкости в сосуде в некоторый момент времени 
равна . Количество жидкости 
, вытекающее из сосуда за промежуток времени 
численно равно объему цилиндра с площадью основания и высотой 
Этот же объем может быть вычислен другим способом. За указанный промежуток времени уровень жидкости понизится на величину 
. Поэтому 
Итак, 
Разделив обе часть последнего равенства на и переходя к пределу при 
, получим дифференциальное уравнение
По условию задачи 
. Разделяя переменные, получим
Полагая 
, находим время полного опорожнения сосуда
Задание на работу
Сформулировать математические модели для решения двух задач и найти их решения.
Порядок выполнения работы
1. По своему варианту для задачи №1 сформулировать математическую модель в виде дифференциального уравнения.
2. Решить полученное в п. 1 уравнение аналитически или с помощью специального пакета математических программ (напр., Maple, Matlab, Mathematica).
3. Показать решение преподавателю.
4. Аналогично решить задачу №2 по своему варианту.
5. Оформить отчет по работе.
Варианты заданий
77-79, 80-82, 84-86, 91-93
Вариант 1
1. Сосуд объемом 20 л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Построить математическую модель процесса. Считать, что втекающий газ вследствие перемешивания распределяется по всему объему сосуда равномерно. С помощью построенной модели определить, через какое время в сосуде будет 99% азота.
2. Тело охладилось за 10 мин от 100° до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20°. Построить математическую модель процесса. Считать, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С помощью построенной модели определить, через какое время тело остынет до 25°.
Вариант 2
1. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 л соли. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Построить математическую модель процесса. Считать, что втекающая вода вследствие перемешивания распределяется по всему объему сосуда равномерно. С помощью построенной модели определить, сколько соли останется в баке через час.
2. За тридцать дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Построить математическую модель процесса. Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени пропорционально количеству вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент. С помощью построенной модели определить, через какое время останется 1% от первоначального количества вещества.
Вариант 3
1. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 м/с. Построить математическую модель процесса. Считать ускорение свободного падения равным 10 м/с2. Изменением плотности воздуха с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. С помощью построенной модели определить, сколько времени парашютист падал до раскрытия парашюта.
2. В сосуд, содержащий 1 кг воды при температуре 20°, опущен алюминиевый предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2 и температурой 75°. Через минуту вода нагрелась на 2°. Построить математическую модель процесса. Считать, что скорость остывания (нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С помощью построенной модели определить, через какое время температура воды и предмета будут отличаться одна от другой на 1°. Потерями тепла на нагревание сосуда пренебречь
Вариант 4
1. В воздухе комнаты объемом 200 м3 содержится 0,15% углекислого газа. Вентилятор подает в минуту 20 м3 воздуха, содержащего 0,04% углекислого газа. Построить математическую модель процесса. Считать, что втекающий газ вследствие перемешивания распределяется по всему объему сосуда равномерно. С помощью построенной модели определить, через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое.
2. Футбольный мяч весом 0,4 кГ брошен вверх со скоростью 20 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 Г при скорости 1 м/с. Построить математическую модель процесса. Считать ускорение свободного падения равным 10 м/с2. Изменением плотности воздуха с высотой пренебречь. С помощью построенной модели определить, время подъема мяча и наибольшую высоту подъема.
Вариант 5
1. Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Построить математическую модель процесса. Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени пропорционально количеству вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент. С помощью построенной модели определить, через сколько лет распадется половина имеющегося радия.
2. Кусок металла с температурой а градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от а градусов до b градусов. При разности температур печи и металла в Т градусов металл нагревается со скоростью kT градусов в минуту. Построить математическую модель процесса. Считать, что скорость нагревания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. С помощью построенной модели определить температуру металла через час.
Вариант 6
1. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 1,5 м/c, через 4 секунды ее скорость – 1 м/с. Построить математическую модель процесса. С помощью построенной модели определить, какой путь может пройти лодка до остановки.
2. В исследованном куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Известно, что уран распадается наполовину за 4,5×109 лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. Построить математическую модель процесса. Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени пропорционально количеству вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент. Считать, что в момент образования горная порода не содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана). С помощью построенной модели определить возраст горной породы.