Метод множественной корреляции

Цель работы

Применение метода множественной корреляции.

Теоретические сведения

Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, то пользуются уравнениями множественной регрессии:

. (1.28)

Здесь мы имеем дело уже не с линией регрессии, а с поверхностью регрессии при k=2и с гиперповерхностью при k>2. В общем случае, как указывалось выше, эту поверхность называют поверхностью отклика.

Исходный статистический материал представляют в виде табл. 1.2.

Таблица 1.2

№ опыта	X₁	X₂	X₃	………	X	Y
. . . N	X₁₁ X₁₂ X₁₃ . . . X_1N	X₂₁ X₂₂ X₂₃ _. _. _. X_2N	X₃₁ X₃₂ X₃₃ _. _. _. X_3N		X_k1 X_k2 X_k3 _. _. _. X_kN	Y₁ Y₂ Y₃ _. _. _. Y_N

Перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений случайных величин по формулам:

; ; , (1.29)

где y_i⁰, x₁_i⁰, x₂_i⁰ – нормированные значения соответствующих факторов,

- средние значения факторов,

s_y, s_x₁, s_x₂ – среднеквадратичные отклонения.

; ; .

В таблице 1.3 приведен исходный статистический материал в новом масштабе.

Таблица 1.3

№ опыта				…………..
. . . N	X⁰₁₁ X⁰₁₂ X⁰₁₃ . . . X⁰_1N	X⁰₂₁ X⁰₂₂ X⁰₂₃ _. _. _. X⁰_2N	X⁰₃₁ X⁰₃₂ X⁰₃₃ . . . X⁰_3N		Y⁰₁ Y⁰₂ Y⁰₃ _. _. _. Y⁰_N

В новом масштабе имеем:

; . (1.30)

Выборочный коэффициент корреляции при этом равен

(1.31)

Уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид:

. (1.32)

Коэффициенты уравнения (1.32) находятся из условия:

Условия минимума функции S определяются так же, как в случае зависимости от одной переменной:

; … (1.33)

и система нормальных уравнений имеет вид:

. (1.34)

Умножим левую и правую части уравнений на . В результате при каждом коэффициенте получается, согласно (1.34), выборочный коэффициент корреляции r*. Принимая во внимание, получаем систему нормальных уравнений:

(1.35)

Следует иметь в виду, что . Коэффициенты корреляции легко вычисляются простым перемножением соответствующих столбцов таблицы 1.3.

Решив систему (1.35), рассчитывают коэффициент множественной корреляции R:

. (1.36)

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии:

В случае выборок небольшого объема в величину R необходимо внести коррекцию на систематическую ошибку. Чем меньше число степеней свободы выборки , тем сильнее преувеличивается сила связи, оцениваемая коэффициентом корреляции. Формула для коррекции:

, (1.37)

где R’ – скорректированное значение коэффициента множественной корреляции; l – число коэффициентов уравнения регрессии.

Для практического использования уравнения (1.32) необходимо перейти к натуральному масштабу по формулам:

. (1.38)

Задание

По итогам пассивного эксперимента получен следующий статистический материал (табл. 1.4).

Необходимо установить зависимости выходной величины от входных, используя метод множественной корреляции (данные – из таблицы 1.4 и приложения 2).

Таблица 1.4а

№	Состав питания, кг/ч	Расход флегмы, кг/ч
Этан	Пропан	Изобутан	Бутан	Изопентан	Пентан	Гексан
	163.5	3620.8	9654.5	14344.8	5660.7	6261.3	1950.6	18306.0
	90.0	3361.4	6942.0	14195.4	4780.0	4790.6	3758.6	19451.0
	117.0	7593.0	6557.0	12891.5	4455.5	3687.5	3955.5	22301.0
	97.4	5883.5	4235.0	12328.5	5425.5	4202.0	6239.5	17876.0
	59.0	2295.0	4142.5	8360.0	4217.5	4802.5	2637.5	11000.0
	228.5	6592.5	8132.5	16640.0	4010.0	3392.5	3185.0	22400.0
	75.5	3475.5	7815.0	15770.0	4395.0	5100.0	8695.0	17970.0

Таблица 1.4б

Температура верха колонны, [^oC]	Температура сырья, [^oC]	Температура низа колонны, [^oC]	Расход сырья, [м³/час]	Дистиллят, [м³/час]

				Y










				Y

Таблица 1.4в

№	Температура нагреваемой нефти t _{вх пара}, (⁰С)	Температура пара t _вх, (⁰С)	Давление на входе в ТО р_вх, (кгс/см²)	Температура нефти на выходе t_г, ( ⁰С)

			7.9
			7.9
			7.7
			8.5
			8.5
			8.0






			8.0
			8.0
			8.0
			5.6
			5.6
			8.0
			8.0
			8.0
			5.1

Таблица 1.4г
		Расход флегмы

	7,8	0,5	9,5
	7,7		9,4
	7,8	0,3	9,8
	7,8		9,4
	7,8	0,2	9,6
	7,8	0,2	9,5
	7,8	0,2	9,5
	7,8	0,2	9,7
		0,2	10,1
		0,1

	8,1	0,1	9,9
	7,8	0,1	9,6
	7,9	0,4	9,4
	7,6	0,5	9,3
	7,3	0,5	9,2
	7,6	0,2	9,2
	7,6	0,8	9,7
	7,9	0,6	9,8
		0,5	9,5
		0,4

Порядок выполнения работы

1. Ввод исходных данных.

2. Переход к новому масштабу.

3. Получение параметров уравнения регрессии по МНК.

4. Переход к натуральному масштабу.

5. Нахождение коэффициента множественной корреляции.

6. Оценка адекватности полученной зависимости.

7. Вывод результатов.

Пример

Исходные данные запишем в следующем виде:

Найдем средние значения факторов:

Найдем среднеквадратичные отклонения:

Перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех случайных величин по формулам:

, , , ,

В новом масштабе имеем:

Выборочный коэффициент корреляции при этом равен:

Влияние на выход оказывают Х₂ и Х₃, т.к. их выборочный коэффициент корреляции по абсолютному значению превышает 0,7.

Найдем коэффициенты для нормированного уравнения регрессии:

Найдем коэффициент множественной корреляции R:

Перейдем к натуральному масштабу по формулам:

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Лабораторная работа № 4

Методы планирования экспериментов

Цель работы

Изучение полного факторного эксперимента 2^k.

Теоретические сведения

Оптимальный двухуровневый план (план 2^k). В этом случае при планировании экспериментов условия опытов представляют собой фиксированное число значений уровней — для каждого фактора. Уровни факторов представляют собой в этом случае границы исследуемой области по данному технологическому параметру.

Пусть, например изучается влияние на выход продукта у трех факторов: температуры Т в диапазоне 100-200° С, давления Р=20-60 атм. и времени пребывания t=10-30 мин. Верхний уровень по температуре , нижний , , :

;

Для любого фактора имеем:

; (1.39)

. (1.40)

Точка с координатами ( ) носит название центра плана, иногда ее называют основным уровнем; — единица варьирования, или интервал варьирования по оси . От системы координат перейдем к новой безразмерной системе координат . Формула перехода (кодирования):

; . (1.41)

В безразмерной системе координат верхний уровень равен +1, нижний равен -1, координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. В нашей задаче k = 3. Число возможных комбинаций N из трех факторов на двух уровнях равно N = 2^k = 2³ = 8. Запишем план проведения экспериментов (матрицу планирования) в виде следующей таблицы 1.5.

Значения выхода у, полученные в результате реализации плана экспериментов, приведены в последнем столбце таблицы.

Запишем кодированную матрицу планирования 2³ и результаты эксперимента, введя столбец так называемой фиктивной переменной .

Приведенная в таблице 1.6 матрица планирования обладает следующими свойствами:

; (1.42)

;

, (1.43)

где k — число независимых факторов; N — число опытов в матрице планирования.

Первое свойство (уравнение 1.42) — равенство нулю скалярных произведений всех вектор-столбцов — называется свойством ортогональности матрицы планирования. Благодаря этому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений (Х*Х) становятся диагональной и ее диагональные элементы равны числу опытов в матрице планирования N. Диагональные элементы обратной матрицы (Х*Х)^-1.

.

Таблица 1.5

Матрица планирования 2³

Значения факторов в натуральном масштабе Значения факторов в безразмерной системе координат Выход

№ опыта Z₁ Z₂ Z₃ X₁ X₂ Х₃ Y

-1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

Таблица 1.6

Матрица планирования с фиктивной переменной

N X₀ X₁ X₂ X₃ Y

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 Y₁ Y₂ Y₃ Y₄ Y₅ Y₆ Y₇ Y₈

Таким образом,

. (1.44)

Следовательно, любой коэффициент уравнения регрессии b_j определяется скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец x_j, деленным на число опытов в матрице планирования N:

. (1.45)

Пользуясь планом, представленным в таблице 1.5, сначала вычислим коэффициенты регрессии линейного уравнения:

. (1.46)

Например, для определения коэффициента b₁ при х₁ необходимо получить сумму произведений:

Аналогично получим:

b₀ = 18,5 b₂ = -0,5 b₃ = +3,5

Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с коэффициентами взаимодействия:

. (1.47)

то для определения коэффициентов b₁₂, b₁₃, b₂₃ (эффектов двойного взаимодействия) и b₁₂₃ (эффекта тройного взаимодействия) необходимо расширить матрицу (таблица 1.7) следующим образом:

Таблица 1.7

№ X₀ X₁ X₂ X₃ X₁₂ X₁₃ X₂₃ X₁₂₃ Y

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 +2 -1 +1 -1 -1 +1

Эффекты взаимодействия определяются аналогично линейным эффектам.

Задание

Необходимо установить зависимости выходной величины от входных. Проверить адекватность и достоверность полученных результатов.

Для получения уравнения регрессии проведен полный факторный эксперимент (табл. 1.8).

Таблица 1.8

№ опы-та	Количество изопентана, кг/ч	Количество пентана, кг/ч	Количество гексана, кг/ч	Флегмовое число	Тепловая нагрузка на кипятильник, кДж/ч
	6477,0	6936,0	26,40	18,0	38476547,9
	6477,0	6936,0	10185,0	21,0	44546006,0
	6477,0	10151,0	2640,0	25,0	52670991,5
	6477,0	10151,0	10185,0	27,0	56719158,0
	9183,5	6936,0	2640,0	11,0	24296811,9
	9183,5	6936,0	10185,0	13,0	26300916,3
	9183,5	10151,0	2640,0	14,5	31399481,9
	9183,5	10151,0	10185,0	15,5	33423869,8

Порядок выполнения работы

Данные табл. 1.8 представляют собой матрицу планирования 2^k, необходимую для проведения ПФЭ.

1. Определение коэффициентов линейного уравнения регрессии. Требуется рассмотреть линейное уравнение множественной регрессии.

y = b₀+b₁x₁+b₂x₂+b3x3+b₄x₄

2. Определение коэффициентов уравнения регрессии с учетом эффектов двойного взаимодействия. Требуется рассмотреть уравнение с коэффициентами двойного взаимодействия:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x₄ + b₁₂x₁x₂ + b₁₃x₁x3 + b₁₄x₁x₂ +

+ b₂₃x₂x3 + +b₂₄x₂x₄ + b3₄x₃x₄

3. Проверка адекватности уравнений.

4. Получение уравнения регрессии в натуральном масштабе.

5. Определение относительной погрешности уравнений регрессии.

С помощью выражений (1.41), (1.42) составляется кодированный план. Коэффициенты уравнений регрессии рассчитываются по формуле (1.45).

Т.к. отсутствуют параллельные опыты, то критерий Фишера определяется на основе выражения .

Если рассчитанное значение будет превышать табличное F (к₁,к₂) [приложение 1], т. е.

, , ,

то рассматриваемое уравнение адекватно.

Пример приведен в теоретических сведениях.

Отчет

Отчет по лабораторным работам 1-4 темы 1 должен содержать:

1. Исходные данные.

2. Краткие сведения из теории.

3. Расчеты в программе Mathcad.

4. Полученные графики в программе Mathcad.

5. Выводы.

Приложение 1

Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости p = 0.05

f₂	f₁


	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.41	19.42	19.43	19.44
	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.74	8.71	8.69	8.66
	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.91	5.87	5.84	5.80
	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.68	4.64	4.60	4.56
	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	4.00	3.96	3.92	3.87
	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.57	3.53	3.49	3.44
	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.28	3.24	3.20	3.15
	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	3.07	3.03	2.99	2.93
	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.91	2.86	2.83	2.77
	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.85	2.79	2.74	2.70	2.65
	4.75	3.89	3.49	3.26	3.11	3.00	2.91	2.85	2.80	2.75	2.69	2.64	2.60	2.54
	4.67	3.81	3.41	3.18	3.03	2.92	2.83	2.77	2.71	2.67	2.60	2.55	2.51	2.46
	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.76	2.70	2.65	2.60	2.53	2.48	2.44	2.39
	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.48	2.42	2.38	2.33
	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.42	2.37	2.33	2.28
	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.61	2.55	2.49	2.45	2.38	2.33	2.29	2.23
	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.34	2.29	2.25	2.19
	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.54	2.48	2.42	2.38	2.31	2.26	2.21	2.15
	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.28	2.22	2.18	2.12
	4.32	3.47	3.07	2.84	2.68	2.57	2.49	2.42	2.37	2.32	2.25	2.20	2.16	2.10
	4.30	3.44	3.05	2.82	2.66	2.55	2.46	2.40	2.34	2.30	2.23	2.17	2.13	2.07
	4.28	3.42	3.03	2.80	2.64	2.53	2.44	2.37	2.32	2.27	2.20	2.15	2.11	2.05
	4.26	3.40	3.01	2.78	2.62	2.51	2.42	2.36	2.30	2.25	2.18	2.13	2.09	2.03
	4.24	3.39	2.99	2.76	2.60	2.49	2.40	2.34	2.28	2.24	2.16	2.11	2.07	2.01

Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости p = 0.01

f₂	f₁


	98.50	99.00	99.17	99.25	99.30	99.33	99.36	99.37	99.39	99.40	99.42	99.43	99.44	99.45
	34.12	30.82	29.46	28.71	28.24	27.91	27.67	27.49	27.34	27.23	27.05	26.92	26.83	26.69
	21.20	18.00	16.69	15.98	15.52	15.21	14.98	14.80	14.66	14.55	14.37	14.25	14.15	14.02
	16.26	13.27	12.06	11.39	10.97	10.67	10.46	10.29	10.16	10.05	9.89	9.77	9.68	9.55
	13.74	10.92	9.78	9.15	8.75	8.47	8.26	8.10	7.98	7.87	7.72	7.60	7.52	7.39
	12.25	9.55	8.45	7.85	7.46	7.19	7.00	6.84	6.72	7.62	6.47	6.36	6.27	6.16
	11.26	8.65	7.59	7.01	6.63	6.37	6.18	6.03	5.91	5.81	5.67	5.56	5.48	5.36
	10.56	8.02	6.99	6.42	6.06	5.80	5.61	5.47	5.35	5.26	5.11	5.00	4.92	4.81
	10.04	7.56	6.55	5.99	5.64	5.39	5.20	5.06	4.94	4.85	4.71	4.60	4.52	4.41
	9.65	7.21	6.22	5.67	5.32	5.07	4.89	4.74	4.68	4.54	4.40	4.29	4.21	4.10
	9.33	6.93	5.95	5.41	5.06	4.82	4.64	4.50	4.39	4.30	4.22	4.05	3.97	3.86
	9.07	6.70	5.74	5.21	4.86	4.62	4.44	4.30	4.19	4.10	3.96	3.86	3.78	3.66
	8.86	6.51	5.56	5.04	4.70	4.46	4.28	4.14	4.03	3.94	3.80	3.70	3.62	3.51
	8.68	6.36	5.42	4.89	4.56	4.32	4.14	4.00	3.89	3.80	3.67	3.56	3.49	3.37
	8.53	6.23	5.29	4.77	4.44	4.20	4.03	3.89	3.78	3.69	3.55	3.45	3.37	3.26
	8.40	6.11	5.18	4.67	4.34	4.10	3.93	3.79	3.68	3.59	3.46	3.35	3.27	3.16
	8.29	6.01	5.09	4.58	4.05	4.01	3.84	3.71	3.60	3.51	3.37	3.27	3.19	3.08
	8.18	5.93	5.01	4.50	4.17	3.94	3.77	3.63	3.52	3.43	3.30	3.19	3.12	3.00
	8.10	5.85	4.94	4.43	4.10	3.87	3.70	3.56	3.46	3.37	3.23	3.13	3.05	2.94
	8.02	5.78	4.87	4.37	4.04	3.81	3.64	3.51	3.40	3.31	3.17	3.07	2.99	2.88
	7.95	5.72	4.82	4.81	3.99	3.76	3.59	3.45	3.35	3.26	3.12	3.02	2.94	2.83
	7.88	5.66	4.76	4.26	3.94	3.71	3.54	3.41	3.30	3.21	3.07	2.97	2.89	2.78
	7.82	5.61	4.72	4.22	3.90	3.67	3.50	3.36	3.26	3.17	3.03	2.93	2.85	2.74
	7.77	5.57	4.68	4.18	3.86	3.63	3.46	3.32	3.22	3.13	2.99	2.89	2.81	2.70