ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НАЧАЛЬНЫХ МОМЕНТОВ ПО СПОСОБУ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

3.1 Начальные моменты

m_a = (x_j x₀)^a n_j / n, (3.1)

где ma начальный момент некоторой степени a;

xj варианты ряда распределения;

xo начальное значение, относительно которого вычисляются начальные моменты;

nj численности ряда распределения по интервалам;

n сумма численностей.

k = xj xo / i (3.2)

Таблица 3.1 Вычисление начальных моментов по способу произведений для диаметра

Диаметр x_j, см	Численность n_j, шт	k_j	n_jk_j	n_jk_j²	n_jk_j³	n_jk_j⁴
9,0		-7	-7		-343
11,0		-6	-54		-1944
13,0		-5	-50		-1250
15,0		-4	-24		-384
17,0		-3	-42		-378
19,0		-2	-38		-152
21,0		-1	-28		-28
23,0
25,0

Продолжение таблицы 3.1

27,0
29,0
31,0
33,0
35,0
37,0
Всего	-35	-909

m₁ = n_jk_j / n = -35 / 200 = -0,175 (3.3)

m₂= n_jk_j² / n = 1725 / 200 = 8,625 (3.4)

m₃= n_jk_j³ / n = -909 / 200 = -4,545 (3.5)

m₄= n_jk_j⁴ / n = 42069 / 200 = 210,345 (3.6)

3.2 Статистические показатели

М = x o ± im1, (3.7)

где xo условно взятая начальная варианта, относительно которой вычисляются моменты;

i величина интервала;

m1 первый начальный момент.

M = 23,0 2 0,175 = 22,65 22,7 см.

= i m2 m1² (3.8)

= 2 8,625 (-0,175)²= 5,86 см.

’= m2 m1² (3.9)

’ = 8,625 (-0,175)²= 2,93

3.3 Центральные моменты

µ₂= m2 m1²; (3.10)

3 = m3 3m2m1 + 2m1³; (3.11)

µ₄= m₄ 4m₃m₁+ 6m₂m₁² 3m₁⁴^(3.12)

^где^2,^3,⁴^{соответственно второй, третий и четвёртый центральные моменты;}

^m¹^,^m²^,^m³^,^m⁴^{соответственно первый, второй, третий и четвёртый начальные моменты.}

²^{= 8,625 (-0,175)² = 8,594}

³^{= -4,545 3 8,625 (-0,175) + 2(-0,175)³ = -0,027}

µ₄= 210,345 4 (-4,545)(-0,175) + 6 8,625 (-0,175)² 3(-0,175)⁴= 208,745

3.4 Основные моменты

r_a = µ_a / (µ₂)^a^(3.13)

r₃= µ₃/ (µ₂)³= -0,027/ (8,594)³= -0,001

r₄= µ₄/ (µ₂)⁴= 208,745 / (8,594)²= 2,826

3.5 Мера косости и крутости кривой распределения

₁= r₃= -0,001

Кривая распределения имеет малую отрицательную косость.

m (6/N)

m = (6/200) = 0,173

t’ = ₁/ m = 0,001 / 0,173 = 0,006

Вывод недостоверный, косость ряда распределения по диаметру не доказана и объясняется случайными причинами.

j = r₄ 3 (3.14)

j = 2,826 3 = -0,174

Кривая распределения имеет незначительную отрицательную крутость.

m_j 2(6/N)

m _j= 2(6/200) = 0,346

t’_j = j / m_j = 0,174 / 0,346 = 0,51

Вывод недостоверный. Отклонение крутости данной кривой от нормальной не доказано.

Таблица 3.2 Вычисление начальных моментов по способу произведений для высоты

Высота y_j, м	Численность n_j, шт	k_j	n_jk_j	n_jk_j²	n_jk_j³	n_jk_j⁴
8,0		-7	-7		-343
10,0		-6	-6		-216
12,0		-5	-20		-500
14,0		-4	-24		-384
16,0		-3	-30		-270
18,0		-2	-44		-176
20,0		-1	-32		-32
22,0
24,0

Продолжение таблицы 3.2

26,0
28,0
30,0
Всего	-49	-1519

m₁ = n_jk_j / n = -49 / 200 = -0,245

m₂= n_jk_j² / n = 687 / 200 = 3,435

m₃= n_jk_j³ / n = -1519 / 200 = -7,595

m₄= n_jk_j⁴ / n = 9891 / 200 = 49,455

M = 22 2 0,245 = 21,51 21,5 м.

= 2 3,435 (-0,245)²= 3,67 м.

’ = 3,435 (-0,245)²= 1,84

µ₂= 3,435 (-0,245)²= 3,375

µ₃= -7,595 3 3,345 (-0,245) + 2(-0,245)³= -5,099

µ₄= 49,455 4 (-7,595)(-0,245) + 6 3,435 (-0,245)² 3(-0,245)⁴= 43,139

r₃= µ₃/ (µ₂)³= -5,099 / (3,375)³= -0,820

r₄= µ₄/ (µ₂)⁴= 43,139 / (3,375)²= 3,787

₁= r₃= -0,820

Кривая распределения имеет среднюю отрицательную косость.

m = (6/200) = 0,173

t’ = ₁/ m = 0,820 / 0,173 = 4,739

j = 3,787 3 = 0,787

Кривая распределения имеет положительную крутость.

m_j = 2(6/200) = 0,346

t’_j = j / m_j = 0,787 / 0,346 = 2,28

Вывод недостоверный. Отклонение крутости данной кривой от нормальной не доказано.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ МАЛОЙ ВЫБОРКИ НЕПОСРЕДСТВЕННЫМ СПОСОБОМ

Таблица 4.1 Вычисление статистических показателей малой выборки (по каждому десятому диаметру)

№	диаметр x_j, см	x_j- M	(x_j- M)²	№	диаметр x_j, см	x_j- M	(x_j- M)²
	21,8	-2,0	4,00		13,0	-10,8	116,64
	28,5	4,7	22,09		29,5	5,7	32,49
	22,3	-1,5	2,25		22,5	-1,3	1,69
	18,0	-5,8	33,64		19,5	-4,3	18,49
	23,0	-0,8	0,64		28,0	4,2	17,64
	23,5	-0,3	0,09		20,0	-3,8	14,44
	36,0	12,2	148,84		30,0	6,2	38,44
	19,0	-4,8	23,04		22,5	-1,3	1,69
	21,5	-2,3	5,29		27,0	3,2	10,24
	22,0	-1,8	3,24		28,0	4,2	17,64
				всего	475,6		512,52

M = x _j / n (4.1)

M = 475,6 / 20 23,8 см.

= (x_j M)²/ n 1 (4.2)

= 512,52 / 20 1 = 5,19 см.

m_M = / n

m_M = 5,19 / 20 1,16 см.

M ± m_M = 23,8 ± 1,16 см.

C = 100 / M

C = 5,19 100 / 23,8 = 21,8 %

p = m_M 100 / M

p = 1,16 100 / 23,8 = 4,9 %

t₁ = M / m_M

t₁= 23,8 / 1,16 = 21

Среднее значение является достоверным.

Таблица 4.2 Вычисление статистических показателей малой выборки (по каждому двадцатому диаметру)

№	диаметр x_j, см	x_j- M	(x_j- M)²
	28,5	5,4	29,16
	18,0	-5,1	26,01
	23,5	0,4	0,16
	19,0	-4,1	16,81
	22,0	-1,1	1,21
	29,5	6,4	40,96
	19,5	-3,6	12,96
	20,0	-3,1	9,61
	22,5	-0,6	0,36

Продолжение таблицы 4.2

	28,0	4,9	24,01
всего	230,5		161,61

M = 230,5 / 10 = 23,05 23,1 см.

= 161,61 / 10 1 = 4,24 см.

m_M = 4,24 / 10 1,34 см.

M ± m_M = 23,1 ± 1,34 см.

C = 4,24 100 / 23,1 = 18,4 %

p = 1,34 100 / 23,1 = 5,8 %

t₁= 23,1 / 1,34 = 17

Среднее значение является достоверным.

Определение достоверности различия средних значений двух выборок

t = (M₁ M₂) / (m₁²+ m₂²) tst, (4.3)

где М1, М2 средние значения соответственно первой и второй выборок;

m1, m2 основные ошибки;

tst стандартное значение по Стьюденту.

t = (23,8 23,1) / (1,34²+ 1,16²) = 0,40

U = n₁ + n₂ 2

U = 20 + 10 2 = 28

t_st для трех уровней вероятности безошибочного заключения составляет 2,1; 2,8; 3,7.

t < t_st

Различие между двумя средними не доказано.

Оценка различия средних квадратичных отклонений двух малых выборок.

F = ₁²/ 2²; (4.4)

где 1, 2 средние квадратичные отклонения первой и второй выборок, а 1² и 2² их дисперсии.

F = 5,19²/ 4,24²= 1,50

U₁= n₁ 1 = 19

U₂= n₂ 1 = 9

F _0,05= 2,9

F < F _0,05

Различие дисперсий двух малых выборок при 5%-ном уровне значимости не доказано.

Таблица 4.3 Вычисление статистических показателей малой выборки (по каждой десятой высоте)

№	высота y_j, м	y_j- M	(y_j- M)²	№	высота y_j, м	y_j- M	(y_j- M)²
	21,6	-0,8	0,64		16,4	-6,0	36,00
	27,0	4,6	21,16		26,4	4,0	16,00
	23,4	1,0	1,00		19,1	-3,3	10,89
	16,7	-5,7	32,49		18,0	-4,4	19,36
	22,5	0,1	0,01		24,5	2,1	4,41
	23,0	0,6	0,36		20,5	-1,9	3,61
	29,5	7,1	50,41		25,0	2,6	6,76
	17,8	-4,6	21,16		23,7	1,3	1,69

Продолжение таблицы 4.3

22,4				24,0	1,6	2,56
23,8	1,4	1,96		23,1	0,7	0,49
			всего	448,4		230,96

M = 448,4 / 20 = 22,42 22,4 м.

= 230,96 / 20 1 = 3,49 м.

m_M = 3,49 / 20 0,78 м.

M ± m_M = 22,4 ± 0,78 м.

C = 3,49 100 / 22,4 = 15,6 %

p = 0,78 100 / 22,4 = 3,5 %

t₁= 22,4 / 0,78 = 29

Среднее значение является достоверным.

Таблица 4.4 Вычисление статистических показателей малой выборки (по каждой двадцатой высоте)

№	высота y_j, м	y_j- M	(y_j- M)²
	27,0	5,0	25,00
	16,7	-5,3	28,09
	23,0	1,0	1,00
	17,8	-4,2	17,64
	23,8	1,8	3,24
	26,4	4,4	19,36
	18,0	-4,0	16,00
	20,5	-1,5	2,25
	23,7	1,7	2,89

Продолжение таблицы 4.4

	23,1	1,1	1,21
всего	220,0		116,59

M = 220 / 10 = 22,0 м.

= 116,59 / 10 1 = 3,60 м.

m_M = 3,60 / 10 1,14 м.

M ± m_M = 22,0 ± 1,14 м.

C = 3,60 100 / 22,0 = 16,4 %

p = 1,14 100 / 22,0 = 5,2 %

t₁= 22,0 / 1,14 = 19

Среднее значение является достоверным.

Определение достоверности различия средних значений двух выборок

t = (22,4 22,0) / (0,78²+ 1,14²) = 0,29

U = 20 + 10 2 = 28

t < t_st

Различие между двумя средними не доказано.

Оценка различия средних квадратичных отклонений двух малых выборок.

F = 3,6²/ 3,49²= 1,06

U₁= n₁ 1 = 19

U₂= n₂ 1 = 9

F _0,05= 2,9

F < F _0,05

Различие дисперсий двух малых выборок при 5%-ном уровне значимости не доказано.