КРИТЕРИИ ДОСТОВЕРНОСТИ РАЗЛИЧИЯ ФАКТИЧЕСКОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
6.1 Критерий Пирсона
2 = ((n )2 / ), (6.1)
где n фактическая численность;
теоретическая численность.
Таблица 6.1 Вычисление меры совпадения фактического и теоретического вариационных рядов (по Пирсону) для диаметра
диаметр xj, см | численность, шт | nj- j | (nj- j)2 | 2= (nj- j)2/ j | |
фактическая nj | теоретическая j | ||||
11,0 | 6,6 | 3,4 | 11,56 | 1,75 | |
13,0 | 6,8 | 3,2 | 10,24 | 1,51 | |
15,0 | 11,6 | -5,6 | 31,36 | 2,70 | |
17,0 | 17,0 | -3,0 | 9,00 | 0,53 |
Продолжение таблицы 6.1
19,0 | 22,4 | -3,4 | 11,56 | 0,52 | |
21,0 | 26,2 | 1,8 | 3,24 | 0,12 | |
23,0 | 27,2 | 8,8 | 77,44 | 2,85 | |
25,0 | 25,2 | -0,2 | 0,04 | ||
27,0 | 20,8 | -5,8 | 33,64 | 1,62 | |
29,0 | 15,2 | -1,2 | 1,44 | 0,10 | |
31,0 | 10,0 | 3,0 | 9,00 | 0,90 | |
33,0 | 5,8 | -0,8 | 0,64 | 0,11 | |
35,0 | 5,2 | -0,2 | 0,04 | 0,01 | |
всего | 12,84 |
2 = 12,84
U' = k q, (6.2)
где k число образованных интервалов (классов);
q число ограничений.
k = 13
q = 3
U = 13 3 = 10
2st = 18,3 для I уровня надежности
2 < 2st
Опытное распределение можно считать нормальным, а отличие его от теоретического является случайным.
Таблица 6.2 Вычисление меры совпадения фактического и теоретического вариационных рядов (по Пирсону) для высоты
высота yj, м | численность, шт | nj- j | (nj- j)2 | 2= (nj- j)2/ j | |
фактическая nj | теоретическая j | ||||
14,0 | 7,6 | 4,4 | 19,36 | 2,55 | |
16,0 | 14,2 | -4,2 | 17,64 | 1,24 | |
18,0 | 27,6 | -5,6 | 31,36 | 1,14 | |
20,0 | 39,8 | -7,8 | 60,84 | 1,53 | |
22,0 | 43,0 | 2,0 | 4,00 | 0,09 | |
24,0 | 34,4 | 14,6 | 213,16 | 6,20 | |
26,0 | 33,2 | -3,2 | 10,24 | 0,31 | |
всего | 13,06 |
2 = 13,06
k = 7
q = 3
U = 7 3 = 4
2st = 9,5 для I уровня надежности
2st = 13,3 для II уровня надежности
2 > 21
Отличие опытного распределения от нормального доказано для I уровня надежности.
6.2 Критерий Колмогорова и Смирнова
Таблица 6.3 Вычисление критерия (по диаметру)
диаметр xj, см | численность, шт. | накопленная численность, шт. | n - | ||
фактическая n | теоретическая | фактическая n | теоретическая | ||
5,0 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | ||
7,0 | 0,8 | 1,0 | 1,0 | ||
9,0 | 1,8 | 2,8 | 1,8 | ||
11,0 | 3,8 | 6,6 | 3,4 | ||
13,0 | 6,8 | 13,4 | 6,6 | ||
15,0 | 11,6 | 25,0 | 1,0 | ||
17,0 | 17,0 | 42,0 | 2,0 | ||
19,0 | 22,4 | 64,4 | 5,4 | ||
21,0 | 26,2 | 90,6 | 3,6 | ||
23,0 | 27,2 | 117,8 | 5,2 | ||
25,0 | 25,2 | 143,0 | 5,0 | ||
27,0 | 20,8 | 163,8 | 0,8 | ||
29,0 | 15,2 | 179,0 | 2,0 | ||
31,0 | 10,0 | 189,0 | 1,0 | ||
33,0 | 5,8 | 194,8 | 0,2 | ||
35,0 | 3,0 | 197,8 | 1,8 | ||
37,0 | 1,4 | 199,2 | 0,8 | ||
39,0 | 0,6 | 199,8 | 0,2 | ||
41,0 | 0,2 | 200,0 | |||
всего |
Примечание. Максимальная разность накопленных численностей заключена в рамку.
= [ n ]max / N, (6.3)
где [ n ]max максимальная разность между накопленными фактическими и теоретическими численностями одного и того же класса;
N общая численность фактического распределения.
= 6,6 / 200 = 0,47
Эмпирический критерий меньше стандартного (0,48 < 1,36). Различие фактического и теоретического рядов по Гауссу-Лапласу недостоверно.
Таблица 6.4 Вычисление критерия (по высоте)
высота yj, м | численность, шт. | накопленная численность, шт. | n - | ||
фактическая n | теоретическая | фактическая n | теоретическая | ||
8,0 | 0,2 | 0,2 | 0,8 | ||
10,0 | 0,4 | 0,6 | 1,4 | ||
12,0 | 1,6 | 2,2 | 3,8 | ||
14,0 | 5,4 | 7,6 | 4,4 | ||
16,0 | 14,2 | 21,8 | 0,2 | ||
18,0 | 27,6 | 49,4 | 5,4 | ||
20,0 | 39,8 | 89,2 | 13,2 | ||
22,0 | 43,0 | 132,2 | 11,2 | ||
24,0 | 34,4 | 166,6 | 3,4 | ||
26,0 | 20,4 | 187,0 | 9,0 | ||
28,0 | 9,0 | 196,0 | 3,0 | ||
30,0 | 3,0 | 199,0 | 1,0 | ||
32,0 | 0,8 | 199,8 | 0,2 | ||
34,0 | 0,2 | ||||
всего |
Примечание. Максимальная разность накопленных численностей заключена в рамку.
= 13,2 / 200 = 0,93
Эмпирический критерий меньше стандартного (0,93 < 1,36). Различие фактического и теоретического рядов по Гауссу-Лапласу недостоверно.
ПОКАЗАТЕЛИ МЕРЫ СВЯЗИ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
7.1 Вычисление коэффициента корреляции, корреляционного отношения и других численных характеристик корреляционной таблицы
Таблица 7.1 Вычисление коэффициента корреляции r и корреляционного отношения
диаметр х, см | высота y, м | номер столбца | |||||||||||||||||||
1 nx | 2 kx | 3 nxkx | 4 nxkx2 | 5 nxyky | 6 nxykykx | 7 ( nxyky)2 | 8 ( nxyky)2/ nx | ||||||||||||||
-7 | -7 | -7 | 49,0 | ||||||||||||||||||
-6 | -54 | -39 | 169,0 | ||||||||||||||||||
-5 | -50 | -33 | 108,9 | ||||||||||||||||||
-4 | -24 | -14 | 32,7 | ||||||||||||||||||
-3 | -42 | -19 | 25,8 | ||||||||||||||||||
-2 | -38 | -32 | 53,9 | ||||||||||||||||||
-1 | -28 | -9 | 2,9 | ||||||||||||||||||
3,4 | |||||||||||||||||||||
6,8 | |||||||||||||||||||||
15,0 | |||||||||||||||||||||
25,8 | |||||||||||||||||||||
48,1 | |||||||||||||||||||||
24,2 | |||||||||||||||||||||
25,0 |
Продолжение таблицы 7.1
(1) ny | - | -35 | -49 | - | 590,5 | |||||||||||||||
(2 ) ky | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | - | ||||||||||||
(3) nyky | -7 | -6 | -20 | -24 | -30 | -44 | -32 | -49 | ||||||||||||
(4) nyky2 | ||||||||||||||||||||
(5) nxykx | -7 | -6 | -24 | -31 | -45 | -61 | -46 | -35 | ||||||||||||
(6) nxykxky | ||||||||||||||||||||
(7) ( nxykx)2 | - | |||||||||||||||||||
(8) ( nxykx)2/ ny | 49,0 | 36,0 | 144,0 | 160,2 | 202,5 | 169,1 | 66,1 | 97,2 | 361,9 | 48,0 | 49,0 | 1383,0 |
7.1.1 Коэффициент корреляции
r = µ1/1 / 'x'y, (7.1)
где µ1/1 первый центральный момент произведения двух статистических величин;
'x'y неименованные средние квадратичные отклонения статистических величин x, y.
µ1/1 = m1/1 m1xm1y, (7.2)
где m1/ 1 первый начальный момент произведения двух статистических величин;
m1x, m1y первые начальные моменты статистических величин x, y.
m 1/1= nxykykx / n, (7.3)
где nxykykx сумма произведений отклонений на численности;
n общая численность выборки.
m 1/1= 959 / 200 = 4,795
1/1 = 4,795 (-0,175 (-0,245)) = 4,752
r = 4,752 / 2,93 1,84 = +0,88
mr = ±(1 r2) / n (7.4)
mr = ±(1 0,882) / 200 = ±0,016
r ± mr = 0,88 ± 0,016
t1 = r / mr = 0,88 / 0,016 = 55
Величина коэффициента корреляции достоверна. Теснота связи между диаметром и высотой высокая.
7.1.2 Корреляционное отношение
2 y/x = 1 / 2y[1 / n ((nxyky)2 / nx ) m1y2], (7.5)
где µ2y второй центральный момент по высоте, µ2y = 3,375;
n общая численность выборки, n = 200;
((nxyky)² / nx) итоговые данные столбца 8 (см. табл. 7.1), равны 590,5;
m1y первый начальный момент по высоте, m1y = -0,245.
2 y/x = 1 / 3,375 [1 / 200 590,5 (-0,245)2] = 0,857
y/x = 0,857 = 0,93
m = ±(1 2) / n, (7.6)
где m основная ошибка корреляционного отношения.
m = ±(1 0,932) / 200 = ±0,010
± m = 0,93 ± 0,010
t1 = 0,93 / 0,010 = 93
Величина корреляционного отношения достоверна.
7.1.3 Коэффициент (индекс) детерминации
Д = 2
Д = 0,932 = 0,87
7.1.4 Мера линейности
= 2 r² (7.7)
= 0,932 0,882 = 0,10
m ±( / n) (7.8)
m ±(0,10 / 200) = ±0,0557
/ m = 0,10 / 0,0557 = 1,80
Вероятность правильности вывода о криволинейности 0,90.
7.1.5 Показатель криволинейности
Kp = (2 r2) / (1 r2) (7.9)
Kp = (0,932 0,882) / (1 0,882) = 0,44
7.2 Вычисление коэффициента корреляции и корреляционного отношения малой выборки
Таблица 7.2 Вычисление коэффициента корреляции для малой выборки
№ п/ п | признак | центральное отклонение | |||||
xj | yj | xj- Mx= | yj- My= | 2 | 2 | ||
21,8 | 21,6 | -2,0 | -0,8 | 1,6 | 4,00 | 0,64 | |
28,5 | 27,0 | 4,7 | 4,6 | 21,62 | 22,09 | 21,16 | |
22,3 | 23,4 | -1,5 | 1,0 | -1,50 | 2,25 | 1,00 | |
18,0 | 16,7 | -5,8 | -5,7 | 33,06 | 33,64 | 32,49 | |
23,0 | 22,5 | -0,8 | 0,1 | -0,08 | 0,64 | 0,01 | |
23,5 | 23,0 | -0,3 | 0,6 | -0,18 | 0,09 | 0,36 | |
36,0 | 29,5 | 12,2 | 7,1 | 86,62 | 148,84 | 50,41 | |
19,0 | 17,8 | -4,8 | -4,6 | 22,08 | 23,04 | 21,16 | |
21,5 | 22,4 | -2,3 | 5,29 | ||||
22,0 | 23,8 | -1,8 | 1,4 | -2,52 | 3,24 | 1,96 | |
13,0 | 16,4 | -10,8 | -6,0 | 64,80 | 116,64 | 36,00 | |
29,5 | 26,4 | 5,7 | 4,0 | 22,80 | 32,49 | 16,00 | |
22,5 | 19,1 | -1,3 | -3,3 | 4,29 | 1,69 | 10,89 | |
19,5 | 18,0 | -4,3 | -4,4 | 18,92 | 18,49 | 19,36 | |
28,0 | 24,5 | 4,2 | 2,1 | 8,82 | 17,64 | 4,41 | |
20,0 | 20,5 | -3,8 | -1,9 | 7,22 | 14,44 | 3,61 | |
30,0 | 25,0 | 6,2 | 2,6 | 16,12 | 38,44 | 6,76 | |
22,5 | 23,7 | -1,3 | 1,3 | -1,69 | 1,69 | 1,69 | |
27,0 | 24,0 | 3,2 | 1,6 | 5,12 | 10,24 | 2,56 | |
28,0 | 23,1 | 4,2 | 0,7 | 2,94 | 17,64 | 0,49 | |
всего | 475,6 | 448,4 | -0,4 | +0,1 | 310,04 | 512,52 | 230,96 |
Mx = 23,8 см., My = 22,4 м.
r = / 2², (7.10)
где центральное отклонение по диаметру;
центральное отклонение по высоте.
r = 310,04 / 512,52 230,96 = 0,90
mr = ±(1 r2) / n
mr = ±(1 0,902) / 20 = ±0,043
r ± mr = 0,90 ± 0,043
t1 = 0,90 / 0,043 = 21
Величина коэффициента корреляции достоверна. Теснота связи между диаметром и высотой высокая.
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
H = (h1n1 + h2n2 + h3n3 + .. + hknk) / n1 + n2 + n3 + .. + nk (8.1)
Таблица 8.1 Опытные средние высоты по ступеням толщины
диаметр, см | |||||||||||||||
опытная средняя высота, м | 8,0 | 13,3 | 15,4 | 17,3 | 19,3 | 18,6 | 21,4 | 22,6 | 23,0 | 24,0 | 24,7 | 25,9 | 26,4 | 22,0 | 27,0 |
8.1 Вычисление уравнения прямой y = a + bx
Таблица8.2 Вычисление уравнения прямой y = a + bx
диаметр х, см | высота y, м | x2 | xy | высота по уравнению(8.3) , м | (y )2 |
8,0 | 72,0 | 13,0 | 25,00 | ||
13,3 | 146,3 | 14,1 | 0,64 | ||
15,4 | 200,2 | 15,2 | 0,04 | ||
17,3 | 259,5 | 16,3 | 1,00 | ||
19,3 | 328,1 | 17,3 | 4,00 | ||
18,6 | 353,4 | 18,4 | 0,04 | ||
21,4 | 449,4 | 19,5 | 0,91 | ||
22,6 | 519,8 | 20,6 | 4,00 | ||
23,0 | 575,0 | 21,7 | 1,69 | ||
24,0 | 648,0 | 22,8 | 1,44 | ||
24,7 | 716,3 | 23,9 | 0,64 | ||
25,9 | 802,9 | 24,9 | 1,00 | ||
26,4 | 871,2 | 26,0 | 0,16 | ||
22,0 | 770,0 | 27,1 | 26,01 | ||
27,0 | 999,0 | 28,2 | 1,44 | ||
всего 345 | 308,9 | 7711,1 | 68,01 |
308,9= 15a+ 345b
{
7711,1= 345a+ 9055b
20,593= a+ 23,000b
{
22,351= a+ 26,246b
_22,351= a+ 26,246b
20,593= a+ 23,000b
1,758= 3,246b
b= 0,542
20,593 = a + 23,000b
20,593 = a + 23,000 0,542
20,593= a+ 12,466
a= 20,593- 12,466
a= 8,127
= 8,127+ 0,542x (8.2)
my= ±(y )2 / n e (8.3)
my= ±68,01 / 15 2 = ±2,29м
8.2 Вычисление уравнения параболы второго порядка y = a + bx + cx2
Таблица 8.3 Вычисление уравнения параболы второго порядка y= a+ bx+cx2
диаметр х, см | высота y, м | x2 | x3 | x4 | xy | x2y | высота по уравнению , м | (y- )2 |
8,0 | 72,0 | 648,0 | 9,8 | 3,24 | ||||
13,3 | 146,3 | 1609,3 | 12,3 | 1,00 | ||||
15,4 | 200,2 | 2602,6 | 14,5 | 0,81 | ||||
17,3 | 259,5 | 3892,5 | 16,5 | 0,64 | ||||
19,3 | 328,1 | 5577,7 | 18,4 | 0,81 | ||||
18,6 | 353,4 | 6714,6 | 20,0 | 1,96 | ||||
21,4 | 449,4 | 9437,4 | 21,4 | |||||
22,6 | 519,8 | 11955,4 | 22,6 | |||||
23,0 | 575,0 | 14375,0 | 23,6 | 0,36 | ||||
24,0 | 648,0 | 17496,0 | 24,3 | 0,09 | ||||
24,7 | 716,3 | 20772,7 | 24,9 | 0,04 | ||||
25,9 | 802,9 | 24889,9 | 25,2 | 0,49 | ||||
26,4 | 871,2 | 28749,6 | 25,3 | 1,21 | ||||
22,0 | 770,0 | 26950,0 | 25,3 | 10,89 | ||||
27,0 | 999,0 | 36963,0 | 25,0 | 4,00 | ||||
всего 345 | 308,9 | 7711,1 | 212633,7 | 25,54 |
308,9= 15a+ 345b+ 9055c
{7711,1= 345a+ 9055b+ 259785c
212633,7= 9055a+ 259785b+ 7902127c
20,593= a+ 23b+ 603,667c
{22,351= a+ 26,246b+ 753c
23,483= a+ 28,690b+ 872,681c
_23,483= a+ 28,690b+ 872,681c
20,593= a+ 23b+ 603,667c
------------------------------------
2,890= 5,69b+ 269,014c
_23,483= a+ 28,690b+ 872,681c
22,351= a+ 26,246b+ 753c
-----------------------------------------
1,132= 2,444b+ 119,681c
2,890= 5,69b+ 269,014c
{
1,132= 2,444b+ 119,681c
0,508= b+ 47,278c
{
0,463= b+ 48,969c
_0,463= b+ 48,969c
0,508= b+ 47,278c
-0,045= 1,691c
c= -0,02661
0,508= b+ 47,278c
b= 0,508- 47,278c
b= 1,766
20,593= a+ 23b+ 603,667c
a= 20,593- 23b- 603,667c
a= -3,961
= -3,961 + 1,766x - 0,02661x² (8.4)
my = ±(y )2 / n e
my = ±25,54 / 13 = ±1,40м.
8.3 Выбор оптимального уравнения
Таблица 8.4 Основные ошибки уравнений
вид уравнения | сумма квадратов отклонений | ошибка уравнения |
уравнение прямой y = 8,127+ 0,542x | 68,01 | 2,29 |
уравнение параболы второго порядка y = -3,961 + 1,766x 0,02661x2 | 25,54 | 1,40 |
Лучшие результаты выравнивания высот по ступеням толщины дает уравнение параболы второго порядка y = -3,961 + 1,766x 0,02661x2.
h = -3,961 + 1,766d 0,02661d² (8.5)
mh = ±1,40м.
Рисунок 8.1 Кривые высот