КРИТЕРИИ ДОСТОВЕРНОСТИ РАЗЛИЧИЯ ФАКТИЧЕСКОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

6.1 Критерий Пирсона

² = ((n )² / ), (6.1)

где n фактическая численность;

теоретическая численность.

Таблица 6.1 Вычисление меры совпадения фактического и теоретического вариационных рядов (по Пирсону) для диаметра

диаметр xj, см	численность, шт	nj- j	(nj- j)2	2= (nj- j)2/ j
фактическая nj	теоретическая j
11,0		6,6	3,4	11,56	1,75
13,0		6,8	3,2	10,24	1,51
15,0		11,6	-5,6	31,36	2,70
17,0		17,0	-3,0	9,00	0,53

Продолжение таблицы 6.1

19,0		22,4	-3,4	11,56	0,52
21,0		26,2	1,8	3,24	0,12
23,0		27,2	8,8	77,44	2,85
25,0		25,2	-0,2	0,04
27,0		20,8	-5,8	33,64	1,62
29,0		15,2	-1,2	1,44	0,10
31,0		10,0	3,0	9,00	0,90
33,0		5,8	-0,8	0,64	0,11
35,0		5,2	-0,2	0,04	0,01
всего					12,84

 

² = 12,84

U' = k q, (6.2)

где k число образованных интервалов (классов);

q число ограничений.

k = 13

q = 3

U = 13 3 = 10

²_st = 18,3 для I уровня надежности

² < ²_st

Опытное распределение можно считать нормальным, а отличие его от теоретического является случайным.

 

Таблица 6.2 Вычисление меры совпадения фактического и теоретического вариационных рядов (по Пирсону) для высоты

высота yj, м	численность, шт	nj- j	(nj- j)2	2= (nj- j)2/ j
фактическая nj	теоретическая j
14,0		7,6	4,4	19,36	2,55
16,0		14,2	-4,2	17,64	1,24
18,0		27,6	-5,6	31,36	1,14
20,0		39,8	-7,8	60,84	1,53
22,0		43,0	2,0	4,00	0,09
24,0		34,4	14,6	213,16	6,20
26,0		33,2	-3,2	10,24	0,31
всего					13,06

 

² = 13,06

k = 7

q = 3

U = 7 3 = 4

²_st = 9,5 для I уровня надежности

²_st = 13,3 для II уровня надежности

² > ²₁

Отличие опытного распределения от нормального доказано для I уровня надежности.

 

 

6.2 Критерий Колмогорова и Смирнова

Таблица 6.3 Вычисление критерия (по диаметру)

диаметр xj, см	численность, шт.	накопленная численность, шт.	n -
фактическая n	теоретическая	фактическая n	теоретическая
5,0		0,2		0,2	0,2
7,0		0,8		1,0	1,0
9,0		1,8		2,8	1,8
11,0		3,8		6,6	3,4
13,0		6,8		13,4	6,6
15,0		11,6		25,0	1,0
17,0		17,0		42,0	2,0
19,0		22,4		64,4	5,4
21,0		26,2		90,6	3,6
23,0		27,2		117,8	5,2
25,0		25,2		143,0	5,0
27,0		20,8		163,8	0,8
29,0		15,2		179,0	2,0
31,0		10,0		189,0	1,0
33,0		5,8		194,8	0,2
35,0		3,0		197,8	1,8
37,0		1,4		199,2	0,8
39,0		0,6		199,8	0,2
41,0		0,2		200,0
всего

Примечание. Максимальная разность накопленных численностей заключена в рамку.

= [ n ]max / N, (6.3)

где [ n ]max максимальная разность между накопленными фактическими и теоретическими численностями одного и того же класса;

N общая численность фактического распределения.

= 6,6 / 200 = 0,47

Эмпирический критерий меньше стандартного (0,48 < 1,36). Различие фактического и теоретического рядов по Гауссу-Лапласу недостоверно.

Таблица 6.4 Вычисление критерия (по высоте)

высота yj, м	численность, шт.	накопленная численность, шт.	n -
фактическая n	теоретическая	фактическая n	теоретическая
8,0		0,2		0,2	0,8
10,0		0,4		0,6	1,4
12,0		1,6		2,2	3,8
14,0		5,4		7,6	4,4
16,0		14,2		21,8	0,2
18,0		27,6		49,4	5,4
20,0		39,8		89,2	13,2
22,0		43,0		132,2	11,2
24,0		34,4		166,6	3,4
26,0		20,4		187,0	9,0
28,0		9,0		196,0	3,0
30,0		3,0		199,0	1,0
32,0		0,8		199,8	0,2
34,0		0,2
всего

Примечание. Максимальная разность накопленных численностей заключена в рамку.

= 13,2 / 200 = 0,93

Эмпирический критерий меньше стандартного (0,93 < 1,36). Различие фактического и теоретического рядов по Гауссу-Лапласу недостоверно.

 

ПОКАЗАТЕЛИ МЕРЫ СВЯЗИ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

7.1 Вычисление коэффициента корреляции, корреляционного отношения и других численных характеристик корреляционной таблицы

Таблица 7.1 Вычисление коэффициента корреляции r и корреляционного отношения

диаметр х, см	высота y, м	номер столбца
												1 nx	2 kx	3 nxkx	4 nxkx2	5 nxyky	6 nxykykx	7 ( nxyky)2	8 ( nxyky)2/ nx
														-7	-7		-7			49,0
														-6	-54		-39			169,0
														-5	-50		-33			108,9
														-4	-24		-14			32,7
														-3	-42		-19			25,8
														-2	-38		-32			53,9
														-1	-28		-9			2,9
																				3,4
																				6,8
																				15,0
																				25,8
																				48,1
																				24,2
																				25,0

Продолжение таблицы 7.1

(1) ny														-	-35		-49		-	590,5
(2 ) ky	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1						-
(3) nyky	-7	-6	-20	-24	-30	-44	-32						-49
(4) nyky2
(5) nxykx	-7	-6	-24	-31	-45	-61	-46						-35
(6) nxykxky
(7) ( nxykx)2													-
(8) ( nxykx)2/ ny	49,0	36,0	144,0	160,2	202,5	169,1	66,1		97,2	361,9	48,0	49,0	1383,0

 

7.1.1 Коэффициент корреляции

r = µ1/1 / 'x'y, (7.1)

где µ1/1 первый центральный момент произведения двух статистических величин;

'x'y неименованные средние квадратичные отклонения статистических величин x, y.

µ1/1 = m1/1 m1xm1y, (7.2)

где m1/ 1 первый начальный момент произведения двух статистических величин;

m1x, m1y первые начальные моменты статистических величин x, y.

m _1/1= n_xyk_yk_x / n, (7.3)

где nxykykx сумма произведений отклонений на численности;

n общая численность выборки.

m _1/1= 959 / 200 = 4,795

_1/1 = 4,795 (-0,175 (-0,245)) = 4,752

r = 4,752 / 2,93 1,84 = +0,88

m_r = ±(1 r²) / n (7.4)

m_r = ±(1 0,88²) / 200 = ±0,016

r ± m_r = 0,88 ± 0,016

t₁ = r / mr = 0,88 / 0,016 = 55

Величина коэффициента корреляции достоверна. Теснота связи между диаметром и высотой высокая.

7.1.2 Корреляционное отношение

² _y/x = 1 / _2y[1 / n ((n_xyk_y)² / n_x ) m_1y²], (7.5)

где µ2y второй центральный момент по высоте, µ2y = 3,375;

n общая численность выборки, n = 200;

((nxyky)² / nx) итоговые данные столбца 8 (см. табл. 7.1), равны 590,5;

m1y первый начальный момент по высоте, m1y = -0,245.

² _y/x = 1 / 3,375 [1 / 200 590,5 (-0,245)²] = 0,857

_y/x = 0,857 = 0,93

m = ±(1 ²) / n, (7.6)

где m основная ошибка корреляционного отношения.

m = ±(1 0,93²) / 200 = ±0,010

± m = 0,93 ± 0,010

t₁ = 0,93 / 0,010 = 93

Величина корреляционного отношения достоверна.

7.1.3 Коэффициент (индекс) детерминации

Д = ²

Д = 0,93² = 0,87

7.1.4 Мера линейности

= ² r² (7.7)

= 0,93² 0,88² = 0,10

m ±( / n) (7.8)

m ±(0,10 / 200) = ±0,0557

/ m = 0,10 / 0,0557 = 1,80

Вероятность правильности вывода о криволинейности 0,90.

7.1.5 Показатель криволинейности

Kp = (² r²) / (1 r²) (7.9)

Kp = (0,93² 0,88²) / (1 0,88²) = 0,44

7.2 Вычисление коэффициента корреляции и корреляционного отношения малой выборки

 

 

Таблица 7.2 Вычисление коэффициента корреляции для малой выборки

№ п/ п	признак	центральное отклонение
xj	yj	xj- Mx=	yj- My=		2	2
	21,8	21,6	-2,0	-0,8	1,6	4,00	0,64
	28,5	27,0	4,7	4,6	21,62	22,09	21,16
	22,3	23,4	-1,5	1,0	-1,50	2,25	1,00
	18,0	16,7	-5,8	-5,7	33,06	33,64	32,49
	23,0	22,5	-0,8	0,1	-0,08	0,64	0,01
	23,5	23,0	-0,3	0,6	-0,18	0,09	0,36
	36,0	29,5	12,2	7,1	86,62	148,84	50,41
	19,0	17,8	-4,8	-4,6	22,08	23,04	21,16
	21,5	22,4	-2,3			5,29
	22,0	23,8	-1,8	1,4	-2,52	3,24	1,96
	13,0	16,4	-10,8	-6,0	64,80	116,64	36,00
	29,5	26,4	5,7	4,0	22,80	32,49	16,00
	22,5	19,1	-1,3	-3,3	4,29	1,69	10,89
	19,5	18,0	-4,3	-4,4	18,92	18,49	19,36
	28,0	24,5	4,2	2,1	8,82	17,64	4,41
	20,0	20,5	-3,8	-1,9	7,22	14,44	3,61
	30,0	25,0	6,2	2,6	16,12	38,44	6,76
	22,5	23,7	-1,3	1,3	-1,69	1,69	1,69
	27,0	24,0	3,2	1,6	5,12	10,24	2,56
	28,0	23,1	4,2	0,7	2,94	17,64	0,49
всего	475,6	448,4	-0,4	+0,1	310,04	512,52	230,96

 

M_x = 23,8 см., M_y = 22,4 м.

r = / ²², (7.10)

где центральное отклонение по диаметру;

центральное отклонение по высоте.

r = 310,04 / 512,52 230,96 = 0,90

m_r = ±(1 r²) / n

m_r = ±(1 0,90²) / 20 = ±0,043

r ± m_r = 0,90 ± 0,043

t₁ = 0,90 / 0,043 = 21

Величина коэффициента корреляции достоверна. Теснота связи между диаметром и высотой высокая.

 

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

H = (h₁n₁ + h₂n₂ + h₃n₃ + .. + h_kn_k) / n₁ + n₂ + n₃ + .. + n_{k (8.1)}

Таблица 8.1 Опытные средние высоты по ступеням толщины

диаметр, см
опытная средняя высота, м	8,0	13,3	15,4	17,3	19,3	18,6	21,4	22,6	23,0	24,0	24,7	25,9	26,4	22,0	27,0

 

8.1 Вычисление уравнения прямой y = a + bx

Таблица8.2 Вычисление уравнения прямой y = a + bx

диаметр х, см	высота y, м	x2	xy	высота по уравнению(8.3) , м	(y )2
	8,0		72,0	13,0	25,00
	13,3		146,3	14,1	0,64
	15,4		200,2	15,2	0,04
	17,3		259,5	16,3	1,00
	19,3		328,1	17,3	4,00
	18,6		353,4	18,4	0,04
	21,4		449,4	19,5	0,91
	22,6		519,8	20,6	4,00
	23,0		575,0	21,7	1,69
	24,0		648,0	22,8	1,44
	24,7		716,3	23,9	0,64
	25,9		802,9	24,9	1,00
	26,4		871,2	26,0	0,16
	22,0		770,0	27,1	26,01
	27,0		999,0	28,2	1,44
всего 345	308,9		7711,1		68,01

 

308,9= 15a+ 345b

{

7711,1= 345a+ 9055b

20,593= a+ 23,000b

{

22,351= a+ 26,246b

_22,351= a+ 26,246b

20,593= a+ 23,000b

1,758= 3,246b

b= 0,542

20,593 = a + 23,000b

20,593 = a + 23,000 0,542

20,593= a+ 12,466

a= 20,593- 12,466

a= 8,127

= 8,127+ 0,542x (8.2)

m_y= ±(y )² / n e (8.3)

m_y= ±68,01 / 15 2 = ±2,29м

8.2 Вычисление уравнения параболы второго порядка y = a + bx + cx²

Таблица 8.3 Вычисление уравнения параболы второго порядка y= a+ bx+cx²

диаметр х, см	высота y, м	x2	x3	x4	xy	x2y	высота по уравнению , м	(y- )2
	8,0				72,0	648,0	9,8	3,24
	13,3				146,3	1609,3	12,3	1,00
	15,4				200,2	2602,6	14,5	0,81
	17,3				259,5	3892,5	16,5	0,64
	19,3				328,1	5577,7	18,4	0,81
	18,6				353,4	6714,6	20,0	1,96
	21,4				449,4	9437,4	21,4
	22,6				519,8	11955,4	22,6
	23,0				575,0	14375,0	23,6	0,36
	24,0				648,0	17496,0	24,3	0,09
	24,7				716,3	20772,7	24,9	0,04
	25,9				802,9	24889,9	25,2	0,49
	26,4				871,2	28749,6	25,3	1,21
	22,0				770,0	26950,0	25,3	10,89
	27,0				999,0	36963,0	25,0	4,00
всего 345	308,9				7711,1	212633,7		25,54

 

308,9= 15a+ 345b+ 9055c

{7711,1= 345a+ 9055b+ 259785c

212633,7= 9055a+ 259785b+ 7902127c

20,593= a+ 23b+ 603,667c

{22,351= a+ 26,246b+ 753c

23,483= a+ 28,690b+ 872,681c

_23,483= a+ 28,690b+ 872,681c

20,593= a+ 23b+ 603,667c

------------------------------------

2,890= 5,69b+ 269,014c

_23,483= a+ 28,690b+ 872,681c

22,351= a+ 26,246b+ 753c

-----------------------------------------

1,132= 2,444b+ 119,681c

2,890= 5,69b+ 269,014c

{

1,132= 2,444b+ 119,681c

0,508= b+ 47,278c

{

0,463= b+ 48,969c

_0,463= b+ 48,969c

0,508= b+ 47,278c

-0,045= 1,691c

c= -0,02661

0,508= b+ 47,278c

b= 0,508- 47,278c

b= 1,766

20,593= a+ 23b+ 603,667c

a= 20,593- 23b- 603,667c

a= -3,961

= -3,961 + 1,766x - 0,02661x² (8.4)

m_y = ±(y )² / n e

m_y = ±25,54 / 13 = ±1,40м.

8.3 Выбор оптимального уравнения

Таблица 8.4 Основные ошибки уравнений

вид уравнения	сумма квадратов отклонений	ошибка уравнения
уравнение прямой y = 8,127+ 0,542x	68,01	2,29
уравнение параболы второго порядка y = -3,961 + 1,766x 0,02661x2	25,54	1,40

Лучшие результаты выравнивания высот по ступеням толщины дает уравнение параболы второго порядка y = -3,961 + 1,766x 0,02661x².

h = -3,961 + 1,766d 0,02661d² (8.5)

m_h = ±1,40м.

 

 

Рисунок 8.1 Кривые высот