ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Пример15.1. Изобразить точками комплексной плоскости комплексные числа 2+3i, -4+2,5i, -2,7-3,3i, 3-2i.
Решение. Между точками числовой плоскости и множеством комплексных чисел существует взаимно однозначное соответствие
Любому комплексному числу x+iy соответствует только одна точка числовой плоскости, определяемая координатами (x, y), и обратно, любой точке плоскости соответствует только одно комплексное число, действительная часть которого равна абсциссе, а коэффициент при мнимой части – ординате точки.
| -1 -2 -3 |
| -5 -4 -3 -2 -1 |
| D |
| С |
| В |
| А |
| х |
| у |
точка В – комплексное число В = -4+2,5i;
точка С – комплексное число С=-2,7-3,3i;
точка D – комплексное число D=3-2i.
Пример 15.2. Даны два числа в алгебраической форме:
z1=5 + 7i; z2=3-4i. Найти 
.
Решение.
.
Пример15.3. Дано: z1=10-7i; z2=5i; z3=3+4i; z4=(-1+5i); z5=1-3i. Найти 
Решение.
.
Пример 15.4. Даны два числа в тригонометрической форме: z1=2(cos 
+isin ); z2=5(cos 
+ isin ). Найти 
.
Решение. r1=2; j1= ; r2=5; j2= .
Подставим эти значения r1, r2, j1 и j2 в формулу (15.11), получим
Пример15.5. Заданы комплексные числа: 
Требуется:
1) представить z1, z2, z3 в тригонометрической и показательной форме;
2) вычислить 
3) вычислить все значения 
.
Решение. 1. Чтобы записать комплексное число в тригонометрической или показательной формах, необходимо найти его модуль и аргумент по формулам (15.2) и (15.5):
отсюда 
, 
,
т. е.
,
Точка принадлежит первой четверти, поэтому
.
Тогда по формуле (15.3)
,
а по формуле (15.7)
.
Итак,
,
,
поэтому
,
,
т. е.
.
2. Воспользуемся тригонометрической формой комплексного числа z1 и формулой Муавра
3. Перейдем к тригонометрической форме комплексного числа 
: 
Комплексное число z4 лежит в 4-й четверти.
arctg 
, так как arctg 
.
Воспользуемся формулой (15.13), где 
– арифметический корень:
, (k=0, 1, 2, …).
при k=0
;
при k=1
;
при k=2
.
Пример15.6. Изобразить в комплексной плоскости линии, заданные следующим образом:
1) 
;
2) 
.
Решение.1. Линия - окружность с центром в начале координат с радиусом, равным 8, так как по определению 
- это расстояние от начала координат до точки z.
2. 
– это расстояние между точками 
и 
. Поэтому равенство 
означает, что точки искомой линии удалены на расстояние, равное 5 от точки 
.
Т.е. искомая линия представляет собой окружность радиусом 5 с центром в точке 
.
| çz -3 + i=5 |
| x |
| -2 |
| -1 |
| -3 |
| y |
| -1 |
| О |
| 7 |
| 3 - i |
Пример 15.7. Указать геометрические места точек комплексной плоскости, для которых выполняются следующие условия:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Решение. 1. 
означает действительную часть комплексного числа 
, т. е. 
. Поэтому вместо уравнения 
можно написать 
. Это уравнение прямой, параллельной оси ординат.
2. Уравнению 
удовлетворяет множество точек, находящихся на луче, выходящем из начала координат, который образует с осью абсцисс угол 30°.
3. Искомое множество представляет из себя угол, ограниченный лучами 
и 
,
|
| x |
| y |
|
|
| О |
4. Действительная часть комплексного числа 
. Следовательно, данное множество – правая полуплоскость
| y |
| x |
| O |
| Re z 3 |
Пример 15.8. Дано w = z2, где z = x + i y. Найти Re w и Im w.
Решение.
w =(x + i y)2 = x2 + 2x i y + i2 y2 =
x3 + 2x i y – y2 =
= (x2 - y2) + 2x y i.
Отсюда
Re z2 = u (x, y) = x2 - y2 Im z2 = (x, y) = 2x y.
Пример 15.9. Изобразить на комплексной плоскости области, заданные следующими неравенствами, и установить, являются ли они односвязными.
1) 
;
2) 
.
| x |
| y |
| О |
| R |
| z0 |
удовлетворяют точки вне круга радиусом 2 с центром в точке 
, за исключением его границы, уравнение которой 
. Это односвязная область.
| x |
| О |
| y |
| i |
|
2)Условию 
удовлетворяют точки вне круга с центром в точке 
радиусом 2 и условию 
- круг радиуса 4 с центром в той же точке . Следовательно, данное множество представляет из себя кольцо, ограниченное окружностями радиусов 2 и 4 с центром в точке 
. Это двусвязная область.
| y |
| x |
| 1 |
| -2 |
| -3 |
| -1 |
| 1 + i |
| i |
| 2£½z-1-i½£4 |
Пример 15.10. Найти производную функции e5iz+7 и показать, что она дифференцируема при любом значении z.
Решение. функции ez и 5iz+7 дифференцируемы при всех значениях z. Поэтому и сложная функция, составленная из них, также дифференцируема:
(e5iz+7 )' = e5iz+7 (5iz+7)' = 5i e5iz+7 .
Пример 15.11. Найти все особые точки следующей функции, определить их характер:
Решение. Так как функция 
имеет три нуля: 
– девятого порядка; 
и 
– второго порядка, то функция 
имеет три полюса: в точке – девятого порядка; и – второго порядка.