ДИФРАКЦІЯ НА КРУГЛОМУ ОТВОРІ

Лабораторна робота № 6.5

 

 

(учбово-методичний посібник до лабораторного практикуму)

 

 

 

Склав доц. Птащенко Ф. А.

.

Затверджено на засіданні кафедри

протокол №4 від 16 січня 2000 р.

 

 

Одеса - 2000

1. Теоретична частина.

Дифракцією світла називається явище огинання світловими хвилями перешкод (порівняних з довжиною хвилі) і наступна інтерференція цих хвиль. При цьому світло може проникати в область геометричної тіні, і, навпаки, в областях, які з точки зору геометричної оптики повинні бути освітленими, світло може бути відсутнім. Цілком задовільно явище дифракції можна пояснити й описати за допомогою принципів Гюйгенса й Гюйгенса-Френеля.

Принцип Гюйгенса говорить: кожна точка хвильового фронту є джерелом вторинних сферичних хвиль. Хвильовий фронт у наступний момент часу являє собою огинаючу цих хвиль. Таким чином, принцип Гюйгенса дозволяє знаходити фронт хвилі в наступний момент часу, якщо відоме положення хвильового фронту в попередній момент часу. За допомогою принципу Гюйгенса можна знайти, наприклад, положення хвильового фронту після проходження світлом щілини (рис.1). Видно, що хвильовий фронт, побудований як огинаюча вторинних сферичних хвиль, поблизу країв щілини викривляється, і світло заходить в область геометричної тіні - спостерігається дифракція світла. Однак принцип Гюйгенса не говорить про те, як розподілена інтенсивність світла, що йде в різних напрямках.

Кількісне описання дифракції можливо на основі принципу Гюйгенса, доповненого Френелем припущенням про когерентність вторинних хвиль і їх інтерференції. Принцип Гюйгенса-Френеля складається з двох частин:

хвильов фронт
1.Кожна точка хвильового фронту є джерелом вторинних сферичних хвиль, огинаюча яких дає новий фронт в кожний наступний момент часу.

2. Всі точки фронту хвилі виконують коливання з однаковою частотою і однаковою фазою і, отже, уявляють собою сукупність когерентних джерел. Інтенсивність світла в будь-якій точці простору перед хвильовим фронтом визначається результатом інтерференції вторинних хвиль, що доходять до цієї точки. Таким чином, щоб розрахувати інтенсивність світла в якій-небудь точці Р (рис.2) перед хвильовим фронтом, необхідно скласти коливання, що приходять у цю точку від усіх ділянок хвильового фронту. При цьому потрібно враховувати їх амплітуди й фази. Амплітуда коливань, що приходять у точку Р від ділянки поверхні хвильового фронту , залежить від розмірів цієї ділянки, від відстані r від нього до точки Р і від кута між вектором і нормаллю до поверхні ; фаза коливань визначається довжиною шляху r, пройденого вторинними хвилями. Додавання таких елементарних коливань є завданням інтегрального обчислення й може бути досить складним. Але в найпростіших випадках (що мають симетрію), інтегрування може бути замінене простим додаванням.

Метод зон Френеля. Основна ідея цього методу розрахунків дифракційної картини полягає в розбиванні хвильового фронту на певні зони – області так, щоб відстань від країв сусідніх зон до розглядуваної точки (точка Р на рис.3) відрізнялась на половину довжини хвилі. Розглянемо випадок проходження світла через круглий отвір. Нехай світло виходить із точкового джерела S, тобто хвильовий фронт - сферичний. Необхідно розрахувати інтенсивність світла в точці Р, що знаходиться на відстані від отвору. Згідно методу зон Френеля, поверхня хвильового фронту розбивається на кругові сегменти (зони) таким чином, щоб відстані від країв сусідніх зон до точки Р відрізнялися на . Тоді коливання, що приходять у точку Р від відповідних частин сусідніх зон, будуть мати різницю ходу , тобто прийдуть у точку Р у протилежних фазах. Можна показати, що площі побудованих у такий спосіб зон приблизно рівні, а амплітуди коливань , що доходять до точки Р з різних зон, убувають із ростом номера зони . Оскільки фази коливань, що приходять у точку Р від двох сусідніх зон, протилежні, то амплітуда сумарного коливання, викликаного дією зон, рівна

, (1)

де знак останнього члена додатний при непарному і від’ємний при парному . Очевидно, що при парнім числі відкритих зон їх дії попарно послабляють одна одну, і амплітуда сумарного коливання мінімальна. При непарнім числі зон дія однієї із зон залишається не ослабленою, і амплітуда буде максимальною. Враховуючи той факт, що з ростом номера зони амплітуди монотонно убувають, можна показати, що сумарна амплітуда

, (2)

де знак плюс відповідає непарному числу відкритих зон, а знак мінус - парному.

Дифракція на круглому отворі. Вище було показано, що, залежно від числа зон Френеля, не закритих екраном, у центрі дифракційної картини від круглого отвору (у точці Р) буде спостерігатися максимум або мінімум інтенсивності (світла або темна пляма). Знайдемо залежність числа відкритих зон від розміру отвору, а також від взаємного розташування джерела світла S, екрана з отвором і точки спостереження Р. Нехай відстань від джерела монохроматичного світла (довжина хвилі ) до отвору дорівнює , відстань від точки спостереження до отвору дорівнює , радіус останньої відкритої зони Френеля дорівнює (рис.4). Із трикутника SОВ

 

; (3)

із трикутника РВО . Прирівнюючи праві частини цих виразів, дістанемо , звідки . Враховуючи, що зони Френеля побудовані таким чином, що

, (4)

знаходимо . Звідси

. (5)

У виразі (3) має місце нерівність . Тому, нехтуючи доданком , підставимо в (3) значення з (5). Остаточно одержимо або

. (6)

Радіус останньої відкритої зони Френеля дорівнює радіусу отвору в екрані. Звідси одержимо, що отвір радіуса відкриває частину хвильового фронту, на якому уміщається число зон, рівне

. (7)

Ще раз підкреслимо, що якщо непарне, то в центрі дифракційної картини буде світла пляма, якщо парне - то темне. Для інших точок спостереження, не розташованих на прямій SР, розрахунки інтенсивності світла, що дійшло до цих точок, в результаті дифракції більш складні. Але ясно, що при віддаленні від центру дифракційної картини будуть зустрічатися місця з більшою або меншою освітленістю. Оскільки вся картина повинна мати кругову симетрію, то навколо центру виникнуть темні кільця, що чергуються зі світлими. Загальне число світлих і темних кілець дорівнює числу відкритих зон Френеля.

Таким чином, знаючи довжину хвилі випромінювання та взаємне розміщення джерела світла, отвору й екрана, на якому спостерігається дифракційна картина, можна з високою точністю виміряти діаметр малого отвору, а за формою дифракційних кілець можна судити про правильність форми отвору. Такого роду виміру застосовуються в техніці для контролю якості малих отворів, наприклад, алмазних фільер для волочіння дроту.

2. Експериментальна частина.

Метою даної роботи є визначення радіуса малого отвору за допомогою дифракційних вимірів. Схема експериментальної установки представлена на рис.5. Джерелом світла служить напівпровідниковий

лазер ПЛ, який з достатньою точністю можна вважати точковим джерелом світла. Він дає потужне когерентне випромінювання. Діафрагма з отвором О може переміщатися уздовж оптичної осі установки обертанням ручки Р. Відстань від джерела світла до отвору ( ) вимірюється за допомогою лінійки Л1. Відстань від джерела світла до екрана, на якому спостерігається дифракційна картина, виміряється лінійкою Л2.

Порядок проведення вимірів.

1. Вимірюють і записують відстань від джерела світла до екрана .

2. Обертанням ручки Р установлюють діафрагму з отвором на максимальну відстань від джерела світла і спостерігають дифракційну картину.

3. Невеликими переміщеннями діафрагми домагаються максимальної чіткості дифракційної картини. По її виду визначають число відкритих зон Френеля k, відповідних до даного положення отвору. На рис.6 показано вид дифракційних картин при k, рівних від 1 до 6. Число k визначають так:

 
 

фіксують число світлих кілець на дифракційній картині і множать його на два. Якщо в центрі дифракційної картини - світла пляма, то до отриманого результату додають одиницю. Знайдене у такий спосіб число k записують у таблицю 1.

4. Вимірюють і заносять у таблицю відстань .

Потім, міняючи відстань , знаходять наступну чітку дифракційну картину (темна пляма в центрі повинна змінитися світлою або навпаки). Наступне значення k буде більшим на одиницю, ніж попереднє. Записують відповідне значення . У такий спосіб роблять 5-6 вимірів.

 

Таблиця 1.

  мм    
№ k , мм2 R, мм , мм , мм
             
...              
             
                   

Розрахунки радіуса отвору r виконують за формулою (6). Потім знаходять його середнє значення

,

де - число вимірів. Похибку в значенні радіуса отвору знаходять за формулою

.

Кінцевий результат записують у вигляді .

 

Контрольні питання.

1. Що таке дифракція світла?

2. Сформулюйте принцип Гюйгенса-Френеля.

3. У чому полягає метод зон Френеля?

4. Як залежить інтенсивність світла в центрі дифракційної картини від числа відкритих зон Френеля?

5. Виведіть вираз для числа відкритих зон Френеля при дифракції на отворі (формула 7).

ЛІТЕРАТУРА.

1. Загальна фізика / В.І.Михайленко, В.М.Білоус, Ю.М.Поповський. -К.: ИСДО, 1993.

2. Оптика и атомная физика / Р.В.Поль. - М.: Наука, 1966.

3. Курс общей физики. Тому III/ С.Е.Фриш и А.В.Тиморева. - М.: ГИФМЛ, 1962.