Виведення розрахункової формули

Лабораторна робота № 8.1

Дослідження температурної залежності опору металів і напівпровідників

 

(учбово - методичний посібник до лабораторного практикуму)

 

Склав проф. Михайленко В.І

.

Затверджено на засіданні кафедри,

протокол №4 від 21.02.2011р.

 

Одеса - 2011


Теоретична частина

1.1. Елементи зонної теорії кристалів

Енергія окремого (відокремленого) атома квантована, тобто може приймати лише дискретні значення (рівні енергії). При зближенні N атомів і об'єднанні їх у єдине ціле (кристал) внаслідок взаємодії атомів їхні енергетичні рівні розщеплюються на N близько віддалених підрівнів (рис.1). Таку сукупність підрівнів, що виникла в результаті розщеплення вихідного енергетичного рівня атома, будемо називати далі дозволеною зоною енергії (або просто дозволеною зоною). Відстань між підрівнями енергії в межах дозволеної зони складає 10-23 еВ, що значно менше енергії теплового руху часток (kТ ~ 10-2 еВ).

 
 

Розподіл електронів по енергетичним підрівням у межах дозволеної зони визначається принципом мінімуму енергії, відповідно до якого спочатку заповнюються рівні з меншими значеннями енергії, і принципом Паулі, згідно з яким на кожному підрівні енергії не може бути більше двох електронів із протилежними спінами. Заповнення електронами підрівнів енергії з урахуванням принципу Паулі описується розподілом Фермі-Дірака:

Тут f(Wn) – ймовірність заповнення електроном підрівня енергії Wn, – стала Больцмана, T – абсолютна температура, WF – енергія (або рівень) Фермі. Графік функції розподілу Фермі - Дірака при температурах Т=0 і T>0 показано на рис.2.

Видно, що при Т=0 ймовірність заповнення підрівнів енергії в інтервалі від 0 до WF дорівнює одиниці, а для енергій W> WF дорівнює нулю. Це означає, що при цій температурі на кожному підрівні енергії в інтервалі енергій [0, WF ] відповідно до принципу Паулі знаходиться по два електрона з протилежними спінами, а більш високі підрівні не заповнені. При Т>0 за рахунок теплового руху починається часткове заповнення електронами підрівнів енергії з W>WF (рис.3).

Таким чином, рівень Фермі визначає верхню границю заповнення електронами підрівнів енергії при температурі Т=0.

 

Зони в кристалі можуть бути заповнені цілком електронами, заповнені частково або пустими.

Якщо на рівні енергії атома знаходяться два електрони з протилежними спінами, то при утворенні кристала з N атомів утвориться зона, що складається з N підрівнів, на кожному з яких розміститься по два електрона (всього 2N електронів). Таким чином, у даному випадку утвориться цілком заповнена зона.

При утворенні кристала, взагалі кажучи, утвориться кілька заповнених зон, розділених одна від другої так званими забороненими зонами, тобто зонами, у межах яких для електронів немає енергетичних рівнів. Найвища з повністю заповнених зон називається валентною зоною (рис.4). Наступна за нею зона називається зоною провідності. Валентна зона (ВЗ) і зона провідності (ЗП) відділені одна від другої забороненою зоною (ЗЗ).

Зона провідності може бути або незаповненою (при Т=0) або заповненою частково.

Якщо на рівні енергії атома знаходиться один електрон, то в кристалі з N атомів буде N електронів. Усього ж підрівнів у зоні – N , тому з врахуванням того, що на кожному підрівні можуть розміститися два електрони з протилежними спінами, то зона провідності буде заповнена наполовину (рис.4а). Незаповнена (пуста) зона провідності утвориться в тому випадку, якщо на відповідному незбудженому рівні атома немає жодного електрона (рис.4б).

Електричні властивості твердих тіл визначаються взаємним положенням валентної зони і зони провідності, а також тим, пуста зона провідності чи заповнена частково.

Якщо зона провідності частково заповнена електронами, то ми маємо справу з металами (рис.5).

ВЗ – валентна зона ЗП – зона провідності Рис.5

 

Розглянемо випадок, коли зона провідності пуста. Електрони знаходяться у валентній зоні, що відділена від зони провідності забороненою зоною. В залежності від ширини забороненої зони розрізняють діелектрики і напівпровідники. Чіткої границі в такій класифікації нема. Прийнято вважати, що тверде тіло є діелектриком, якщо ширина забороненої зони DW> 4 еВ; якщо ж DW <4еВ, то таке тіло відноситься до напівпровідників.

 

1.2 Електричні властивості діелектриків, металів і

напівпровідників

Діелектрики.

Як уже відзначалося, у діелектриків валентна зона цілком заповнена електронами і відділена від зони провідності забороненою зоною, ширина якої DW> 4 еВ. У зоні провідності електронів нема, тому що енергії теплового руху недостатньо для переводу їх з валентної зони в зону провідності. При накладанні зовнішнього електричного поля електрони, що знаходяться у валентній зоні, не можуть прийти в спрямований рух, тому що при цьому їхня енергія повинна зрости і, отже, вони повинні перейти на більш високі підрівні валентної зони. Однак усі підрівні енергії в цій зоні зайняті електронами, тому в силу принципу Паулі такі переходи заборонені.

Єдина можливість для виникнення струму провідності в діелектрику – це перехід електронів у зону провідності. Однак, оскільки ширина забороненої зони DW>>kТ, то енергії теплового руху недостатньо для переводу їх у зону провідності. Тому діелектрики практично не проводять електричний струм.

Метали.

На рис.3 схематично показане заповнення електронами зони провідності в металі при Т=0. Видно, що в цьому випадку електрони заповнюють усі нижні підрівні енергії аж до рівня Фермі. При Т>0 частина електронів може переходити на більш високі підрівні енергії в зоні провідності.

У частково заповненій зоні провідності металу електрони можуть переходити на більш високі підрівні енергії не тільки за рахунок теплового руху, але й під дією електричного поля, що приводить електрони в упорядкований рух. Ці переходи можливі, тому що підрівні енергії в зоні розташований дуже близько один до одного і не заповнені електронами. У зв'язку з цим метали є гарними провідниками.

Напівпровідники.

Чисті напівпровідники. У напівпровідників ширина забороненої зони менша, ніж у діелектриків. У зв'язку з цим енергії теплового руху при кімнатній температурі достатньо для переводу електронів з валентної зони в зону провідності. Під впливом зовнішнього електричного поля енергія електронів у зоні провідності може збільшуватися, оскільки вони можуть переходити на більш високі незайняті підрівні енергії. У результаті виникає електронна провідність (провідність n-типу).

При переході частини електронів з валентної зони в зону провідності у валентній зоні утворяться незайняті підрівні ("вакансії"). Вакансії мають позитивний заряд. Під дією зовнішнього електричного поля частина електронів валентної зони починає рухатися, заповнюючи послідовно сусідні вакансії. Щораз після перескоку електрона на вакансію на його місці утвориться позитивний заряд. Такий механізм провідності зручно описувати як рух позитивних зарядів ("дірок"). Провідність, обумовлена спрямованим рухом дірок, називається провідністю р -типу.

Таким чином, у чистому напівпровіднику провідність має змішаний електронно – дірковий характер.

Виведення розрахункової формули

Знайдемо залежність опору чистого напівпровідника від температури.

 
 

Концентрація електронів у зоні провідності пропорційна ймовірності перебування їх у цій зоні, тобто функції розподілу Фермі–Дірака:

 

Як показують розрахунки, рівень Фермі в чистому напівпровіднику

при T=0 розташований посередині забороненої зони (рис.5). Якщо в чистому напівпровіднику відраховувати енергію від стелі валентної зони, то W-WF=DW/2, де DW – ширина забороненої зони. Оскільки електропровідність g пропорційна концентрації електронів n, то

 
 

В області низьких температур (Т®0) значення експоненти

тому g=0. тобто при низьких температурах напівпровідник поводиться як діелектрик.

В області кімнатних температур значення експоненти eDW/2kТ значно більше одиниці. Тому нехтуючи одиницею в знаменнику, одержимо:

тобто з підвищенням температури електропровідність напівпровідників

 
 

зростає. Механізм такого росту зв'язаний з тим, що з підвищенням температури збільшується концентрація вільних електронів у зоні провідності. Оскільки опір R обернено пропорційний електропровідності, то

 
 

тобто з підвищенням температури опір напівпровідника падає (рис.6).

У той же час опір металів з підвищенням температури зростає:

R= R0(1+a t) (2)

де a - температурний коефіцієнт опору, а t – температура в шкалі Цельсія. Це зв'язано з тим, що з підвищенням температури зростає число зіткнень електронів з іонами кристалічної ґратки, амплітуда коливань яких збільшується з ростом Т. Помітимо, що такий механізм є універсальним, однак, для напівпровідників він не грає істотної ролі, тому що тут домінуючим є процес зростання концентрації вільних носіїв струму з підвищенням температури.

Метою роботи є дослідження температурної залежності опору напівпровідника і металу.

Напівпровідникові опори (термістори) – прилади, у яких використовується істотна зміна опору зі зміною температури, у зв'язку з чим вони знаходять широке застосування з метою регулювання процесів, де необхідний температурний контроль.

Визначивши залежність опору напівпровідника від температури, можна розрахувати ширину забороненої зони. Для цього прологарифмуємо вираз (1), запишемо його для двох різних температур і візьмемо різницю. В результаті одержимо:

  (3)

де =1.38 ×10-23 Дж/K – стала Больцмана.

Важливою характеристикою провідника є температурний коефіцієнт опору, що визначає відносну зміну опору при підвищенні температури на 1К:

  (4)

Взявши похідну від виразу (1), одержимо для термоопору:

aтерм = -DW/(2kТ2) (5)

Знак “мінус” у виразі (5) означає, що з підвищенням температури опір термістора зменшується.

З врахуванням того, що для металу залежність R від T є лінійною, вираз (4) можна перетворити до вигляду:

  (6)  

3. Експериментальна частина (варіант №1)

Досліджувані напівпровідниковий і металевий опори поміщені в термостат з нагрівачем, мішалкою і термометром. Спочатку в термостаті встановлюється кімнатна температура, при якій вимірюють опір термістора і металу. Потім включають на якийсь час нагрівач і, піднявши температуру в ньому на 5-70С, знову вимірюють опір. Такі виміри опорів через кожні 5-70С продовжують до 50-600С, зробивши не менше 10 вимірів. У процесі вимірів повинна безупинно працювати мішалка термостата. Опори термістора і металу вимірюють, використовуючи нульовий метод моста постійного струму.

Результати вимірювань заносять в таблицю.

    №   t,0C T, K 1/T ´10-3 Термоопір Метал
Rет, Ом Відношення плеч Rтерм Ком lnR Rет Ом Відношения плеч Rмет Ом
……     …… ……     …… ……   ……     …… ……     …………     …………     …… ……     …… ……     …… ……     …… ……