Метод замены плоскостей проекций

(к задачам 5, 6,7)

Данную геометрическую фигуру оставляют в системе плоскостей проекций неподвижной. Новые плоскости проекции устанавливают так, чтобы получаемые на них проекции обеспечивали рациональное решение рассматриваемой задачи. При этом каждая новая система плоскостей проекций должна быть системой ортогональной. После проецирования объектов на плоскости, они совмещаются в одну посредством вращения их вокруг общих прямых (осей проекций) каждой пары взаимно перпендикулярных плоскостей.

Так например, пусть в системе двух плоскостей П₁ и П₂ задана точка А. Дополним систему еще одной плоскостью П₄ (рис. 20), П₁^П₄. Она имеет общую линию Х₁₄ с плоскостью П₁. Строим проекцию А₄ на П₄.

АА₁=А₂А₁₂=А₄А_14.

На рис. 21, где плоскости П₁, П₂ и П₄ приведены в совмещение, этот факт определен результатом А₁А₄^Х₁₄, а А₁₄А₄^А₂А_12.

Правило:

Расстояние новой проекции точки до новой оси проекции (А₄А₁₄) равно расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси (А₂А₁₂).

Большое количество метрических задач начертательной геометрии решаются на основе следующих четырех задач:

1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (рис.22):

а) П₄ || АВ (ось Х₁₄ || А₁В₁);

б) А₁А₄^Х₁₄; В₁В₄^Х₁₄;

в) А₄А₁₄=А₁₂А₂;

В₄В₁₄=В₁₂В₂;

А₄В₄ - н.в.

2. Преобразование прямой общего положения в проецирующую (рис.23):

а) П₄ || АВ (Х₁₄ || А₁В₁);

А₁А₄^Х₁₄;

В₁В₄^Х₁₄;

А₁₄А₄=А₁₂А₂;

В₁₄В₄=В₁₂В₂;

А₄В₄ - н.в.;

б) П₅^АВ (Х₄₅^А₄В₄);

А₄А₅^Х₄₅;

В₄В₅^Х₄₅;

А₄₅А₅=В₄₅В₅=А₁₄А₁=В₁₄В₁;

Рис. 23

А₅ºВ_5.

Х₁₄

В₂

3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующее положение (рис.24):

Плоскость можно привести в проецирующее положение, если одну прямую плоскости сделать проецирующей. В плоскости АВС проведем горизонталь (h₂, h₁), которую за одно преобразование можно сделать проецирующей. Проведем плоскость П₄ перпендикулярно горизонтали; на эту плоскость она спроецируется точкой, а плоскость треугольника - прямой линией.

В₂

4. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (рис.25).

Плоскость сделать плоскостью уровня с помощью двух преобразований. Вначале плоскость надо сделать проецирующей (см. рис. 25), а затем провести П₅ || А₄В₄С₄, получим А₅В₅С₅ - н.в.

Задача №5

Определить расстояние от точки С до прямой общего положения (рис.26).

Решение сводится ко 2-й основной задаче. Тогда расстояние по эпюре определяется как расстояние между двумя точками

А₅ºВ₅ºD₅ и С_5.

Проекция С₄D₄|| Х_45.

Рис. 26

Задача №6

Определить расстояние от (×)D до плоскости, заданной точками А,В,С, (рис. 27).

Задачу решают, используя 2-ю основную задачу. Расстояние (Е₄D₄), от (×)D₄ до прямой A₄C₄В₄ ,в которую спроецировалась плоскость АВС, является натуральной величиной отрезка ED.

Проекция D₁E₁ || Х₁₄;

Е₂Е_Х12=Е₄ Е_Х14.

Построить самостоятельно D₁E_1.

Построить самостоятельно D₂E_2.

Рис. 27

Задача №7

Определить натуральную величину треугольника АВС (см. решение 4-й основной задачи) (рис.25)

Контрольная работа №2