Чётные и нечётные функции.

 

Если функция является чётной, то её график симметричен относительно ________________________. Обратное утверждение _____________________.

Итак, функция является чётной тогда и только тогда, когда её график симметричен относительно оси Оу.

Если функция является нечётной, то её график симметричен относительно ________________________. Обратное утверждение _____________________.

Итак, функция является нечётной тогда и только тогда, когда её график симметричен относительно начала координат.

 

· Сумма чётных (нечётных) функций является чётной (нечётной) функцией.

· Произведение двух чётных или двух нечётных функций является чётной функцией.

· Произведение чётной и нечётной функции является нечётной функцией.

· Если функция f чётна (нечётна), то и функция 1/f чётна (нечётна).

 

Задание 1. Продолжите утверждение:

Известно, что функция f(x) – нечётная функция, причём в точке (х0; f(х0)) функция имеет минимум,и х2<x1<0, причём на интервале (х2; х1) функция возрастает.

функция f(x) в точке (-х0; _____) имеет___________________;

функция f(x) в точке (-х0; _____) имеет___________________;

функция f(x) на интервале______________________________;

 

Известно, что функция f(x) – чётная функция, причём в точке (х0; f(х0)) функция имеет минимум,и х2>x1>0, причём на интервале (х1; х2) функция возрастает.

функция f(x) в точке (-х0; _____) имеет___________________;

функция f(x) в точке (-х0; _____) имеет___________________;

функция f(x) на интервале______________________________;

 

 

Задание 2. Выберите среди предложенных функции, которые следует исследовать на чётность или нечётность:

№ Пример функции Область определения
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Задание 3. Какие из следующих функций чётные, какие нечётные, а какие функции общего вида:

№ Пример функции Область определения Вид функции
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

 
 

 


Задание 4. Выберите верные утверждения:

№ Утверждение (+) (-)
если f(x) – чётная, то её график симметричен относительно оси ординат  
если f(x) – не является чётной, то её график не симметричен относительно оси ординат  
если f(x) – не является чётной, то её график симметричен относительно оси ординат  
если f(x) – чётная, то её график симметричен относительно оси абсцисс  
если f(x) – не является чётной, то её график не симметричен относительно оси абсцисс  
если f(x) – не является чётной, то её график симметричен относительно оси абсцисс  
если f(x) – чётная, то её график симметричен относительно начала координат  
если f(x) – не является чётной, то её график не симметричен относительно начала координат  
если f(x) – не является чётной, то её график симметричен относительно начала координат  
если f(x) – нечётная, то её график симметричен относительно оси ординат  
если f(x) – не является нечётной, то её график не симметричен относительно оси ординат  
если f(x) – не является нечётной, то её график симметричен относительно оси ординат  
если f(x) – нечётная, то её график симметричен относительно оси абсцисс  
если f(x) – не является нечётной, то её график не симметричен относительно оси абсцисс  
если f(x) – не является нечётной, то её график симметричен относительно оси абсцисс  
если f(x) – нечётная, то её график симметричен относительно начала координат  
если f(x) – не является нечётной, то её график не симметричен относительно начала координат  
если f(x) – не является нечётной, то её график симметричен относительно начала координат  
существуют функции, являющиеся одновременно чётными и нечётными  
не существует функций, являющихся одновременно чётными и нечётными  

 

Периодические функции.

Функция у=f(х) называется периодической, если существует число Т¹0, такое, что для любого х из области определения функции выполняется равенство f(х+Т)=f (x).

Число Т называется периодом функции. Если Т – период функции, то её периодом является также и число –Т. Обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.

Задание 5. Известно, что функция f(x) – периодическая функция с периодом T. Запишите к каждой функции соответствующие им периоды:

 

№ Функция Период   № Функция Период
f(2x)     f(4x)  
f(0,2x)     f(0,4x)  
f(0,5x)     f(0,25x)  
f(2+x)     f(3+x)  
f(-x)     f(-2x)  
f(2-x)     f(3-x)  
f(x+4)     f(x+2)  
f(2x-5)     f(4x+3)  
f(1,25x)     f(2,5x)  
f(4x)+f(3x)     f(2x)+f(3x)  
f(4x+2)-f(3x-1)     f(3x-2)-f(2x+1)  
f(4x)·f(0,25x)     f(5x)·f(0,2x)  
f(0,3x)/f(3x)     f(4x)/f(0,4x)  
f(-1,5x)+f(4x)     f(1,2x)+f(-5x)  
5f(1-4x)-f(0,2x)     2f(0,5x)-5f(2x)  
f(4x)·f(-x)     f(-x)·f(2-3x)  
2f(0,1x)/f(3x)     3f(0,4x)/f(2x)  
f(0,5x)+3f(0,6x)     f(0,3x)+2f(-0,2x)  
f(x)-2f(3x)     f(4x)-4f(x)  
f(4x)·f(0,3x)     3f(0,5x)·f(5x)  

 

Задание 6. Построить в полярной системе координат:

 
j °
r                  

 

j °
r                

 

 

 

 
j °
r                  

 

j °
r                

 

 

 

Задание 7. Соотнести функции и построенные графики:

     
     

 

Задание 8. Построить в прямоугольной декартовой системе координат функцию заданную параметрически:

 
t°
x                  
y                  

 

t°
x                
y                

 

 

 


Задание 9. Соотнести функции и построенные графики:

       
       

Решить в тетради:

Номера заданий Страница в задачнике
43-71 (нечётные номера) 40-41

 

Полярные координаты позволяют рисовать намного более сложные и красивые фигуры. На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен.

· Дельтоида

· Астроида

· Кардиоида

· Лимакона (Улитка Паскаля)

· Спираль Архимеда

· Логарифмическая спираль

· Кохлеоида

· Строфоида

· Freeth's Nephroid

· Овалы Кассини

· Лемниската Бернулли

 
Окружность радиуса R Уравнение в полярных координатах: r=R Окружность радиуса R Уравнение в полярных координатах: r=2R·cosj Окружность радиуса R Уравнение в полярных координатах: r=2R·sinj
Окружность радиуса R Уравнение в прямоугольных координатах: х2+у2=R2 параметрические уравнение: Окружность радиуса R   Уравнение в прямоугольных координатах: (х-х0)2+(у-у0)2=R2
Лемниската Бернулли Уравнение в прямоугольных координатах: (х2+у2)2-а2(х2-у2)2=0, где а>0 Уравнение в полярных координатах: Трёхлепестковая роза Уравнение в полярных координатах: где а>0
Улитка Паскаля (a>b)   Уравнение в полярных координатах: r=b+a·cosj Улитка Паскаля (a=b)   Уравнение в полярных координатах: r=b+a·cosj Улитка Паскаля (a<b)   Уравнение в полярных координатах: r=b+a·cosj
Полукубическая парабола Уравнение в прямоугольных координатах: у2=х3 параметрические уравнение: Астроида Уравнение в прямоугольных координатах: параметрические уравнение:
Кардиоида Уравнение в полярных координатах: r=a·(1+cosj), где а>0 Кардиоида – частный случай улитки Паскаля (a=b) Спираль Архимеда Уравнение в полярных координатах: r=a·j, где а>0
Циклоида Параметрические уравнение: , где а>0 Циклоида – это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой.