Сызыты байланысты жне сызыты байланыссыз

Векторлар жйелері

 

n 1. Сызыты байланысты (СБ) жне сызыты байланыссыз (СБ-сыз)

векторлар жйелеріні анытамасы, мысалдары

 

Айталы, V= V, +, F – F рісінде берілген векторлы кеістік, ал а , а , ... , а V (1) векторлар жйесі болсын.

Анытама. Егер скалярлар рісінен брі бірдей нольге те болмайтын , ,..., скалярлары табылып, а + а + ... + а векторы нольдік вектор болса, онда (1) векторлар жйесін сызыты байланысты (СБ) дейді.

def

( (1) – СБ)( , ,..., F а + а + ... + а = 0)

 

СБ ымы жазытыта коллинеар, кеістікте компланар ымдарын береді.

Анытама. Егер (1) векторлар жйесіні а + а + ... + а сызыты комбинациясы тек , ,..., скалярларыны брі ноль боланда ана нольдік вектора те болса, онда ол жйені СБ-сыз дейді.

def

((1)–СБ-сыз)( , ,..., F ( а + а + ... + а = 0 =...= = 0 ))

 

Мысалдар.

1). F – n лшемді арифметикалы векторлы кеістікті а = ( ,0,...,0),

а = (0, ,...,0),

...................... ,

а = (0,0,..., )

векторлары СБ-сыз жйе болады. Жеке жадайы, R кеістігінде а = (3,0,0),

а = (0,-5,0),

а = (0,0, )

векторларыны жйесі СБ-сыз. Бл кеістікте (1,0,0),

(0,1,0),

(0,0,1) векторларыны жйесі де СБ-сыз екені тсінікті. Блар R кеістігіні бірлік векторлары.

 

 

2). Жазытытаы бір О нктесінен шыатын баытталан кесінділер кеістігіні сол О нктесінен шыатын, зара перпендикуляр кезкелген екі векторы СБ-сыз жйе болады.

3). М (R) – 2-ші ретті квадрат матрицалар кеістігінде

А = , А = , А = , А =

векторлары (матрицалары) СБ-сыз жйе болады.

 

 

n 2. СБ жне СБ-сыз векторлар жйелеріні асиеттері

 

1 . рамында нольдік вектор бар жйе СБ болады.

Длелдеу. а , 0, а , ... , а векторларыны жйесі берілсін.

F скалярлар рісіні 0, 0, 0, ... , 0 элементтері шін

0 а + 0+ 0 а + ... + 0 а = 0 д. к. о.

2 . рамында зара те векторлары бар жйе СБ болады.

Длелдеу. а , а , а , ... , а векторларыны жйесі берілсін.

F скалярлар рісіні 0, – 0, 0, ... , 0 элементтері шін

а + (– )а + 0 а + ... + 0 а = 0 д. к. о.

3 . рамында пропорционал векторлары бар жйе СБ болады.

Длелдеуі збетімен.

4 . Егер векторлар жйесіні андайда бір ішкі жйесі СБ болса, онда жйені зі де СБ болады.

Длелдеу. а , а , ... , а векторлар жйесі берілсін.

а , ... , а – СБ болсын ( i < к ). Онда СБ- анытамасы бойынша

,..., F а + ... + а = 0

,..., , 0, ..., 0 F а + ... + а +0а +...+ 0а = 0д.к.о.

Салдар. Егер векторлар жйесі СБ-сыз болса, онда оны кезкелген ішкі жйесі де СБ-сыз болады.

5 . ( Векторлар жйесіні СБ – лыыны критериі )

Векторлар жйесі СБ болу шін оны бір векторы аландарыны сызыты комбинациясы болуы ажет жне жеткілікті.

Длелдеуі збетімен (ара, 1 , 2 тарау, §2, 48 бет).

6 . Егер а , а , ... , а векторлар жйесі СБ-сыз болса, ал а , а , ... , а , b

векторлар жйесі СБ болса, онда b векторы а , а , ... , а жйесі арылы сызыты рнектеледі.

Длелдеуі збетімен.

7 . Егер b L(а , а , ... , а ) жне i =1,2,…,к а L(v , v , ... , v ) болса, онда b L(v , v , ... , v ).

(Длелсіз абылдаймыз).

8 . Егер а , а , ... , а L(v , v , ... , v ) болса, онда а , а , ... , а – СБ болады.

( Длелсіз абылдаймыз).

Салдар 1. Егер а , а , ... , а L(v , v , ... , v ) жне а , а , ... , а – СБ-сыз болса, онда к т болады.

Бл салдарды, кейде, векторлы кеістікті негізгі теоремасы деп те айтады.

Салдар 2. Егер а , а , ... , а L(v ,v , ... ,v ) жне к > m болса, онда а ,а , ... ,а – СБ болады.

Салдар 3. n лшемді арифметикалы векторлы кеістікте кезкелген n +1 вектордан (немесе одан да кп вектордан) тратын жйе СБ болады.

Мысал.R кеістігінде а = (2, -3, 1),

а = (3, -1, 5),

а = (1,-4,3) векторларыны СБ немесе СБ-сыз болатынын анытаыз.

Шыаруы. Анытама бойынша а + а + а = 0тедігінен – ларды та – бамыз. Бізге – ларды брі ноль ме, лде нольден згелері табыла ма?, соны анытау керек. Бізге оларды х – тар арылы белгілеген олайлы. Сондытан

х а + х а + х а = 0тедеуін шешеміз.

(2 х , -3х , х ) + (3х , -х , 5х ) + (х , -4х , 3х ) = (0, 0, 0)

Кортеждерді осу ережесінен тмендегідей біртекті СТЖ – сін аламыз:

Осы біртекті жйені нольдік емес шешулері бар ма, лде тек нольдік шешу ана бола ма? Бл сраа жауап беру шін жйені негізгі матрицасыны рангсын есептейді. Егер ранг 3-ке те болса, онда тек нольдік шешу ана болады; ал ранг 3-тен кіші болса, СТЖ – нольдік емес шешулері де болады.

– жйені матрицасы. (Берілген векторлармен салыстыр!).

Матрицаны жолды жне баанды ранглары те боландытан, бл матрицаны орынына транспонирленген матрицаны рангсын табуа болады.

– транспонирленген матрица. (Берілген векторлармен салыстыр!).

Сонымен, 3 – лшемді арифметикалы векторлы кеістікте берілген векторлар жйесіні СБ не СБ-сыз болатынын анытау шін оларды координаталарынан матрица рып, оны рангсын есептейміз. Егер ранг 3–ке те болса, онда векторлар жйесі СБ-сыз болады; ал ранг 3–тен кіші болса, – СБ болады.

 

 

«Сызыты кеістіктер» таырыбына дебиеттер:

 

1 . Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра, М., 1978

2 . Куликов Л.Я., Алгебра и теория чисел, М., 1979

3 . Ляпин Е.С., Евсеев А.Е., Алгебра и теория чисел (часть 2), М., 1978

4 . Мальцев И.А., Линейная алгебра, Санкт-Петербург, 2010

5 . Петрова В.Т., Лекции по алгебре и геометрии (часть 2), М., 1999

6 . Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре , М., 2008

7 . Сызыты алгебра элементтері (методикалы талдау), растыран

Т.Б.Блабаев, А., 1992