Анытамасы, трлері, мысалдары

 

Айталы, V жне V¢ – F рісінде берілген векторлы кеістіктер болсын.

Анытама. Бір рісте берілген V векторлы кеістігін V¢ векторлы кеістігіне бейнелейтін бейнелеуді оператор деп атайды.

Анытама. Бір рісте берілген V векторлы кеістігін V¢ векторлы кеістігіне бейнелейтін операторы аддитивті жне біртекті болса, оны сызыты оператор дейді.

операторыны аддитивтік шарты:

а,b V (a + b) = (a ) + (b),

операторыны біртектілік шарты:

а V F ( a) = (a).

Ескертулер:

1). Сызыты операторды аддитивтік жне біртектілік шарттарын біріктіріп тмендегіше бір шарт етіп жазуа болады:

а,b V , F ( a + b) = (a) + (b).

2). Сызыты оператор гомоморфизм екені тсінікті.

3). Егер V¢ кеістігі сан жиыны болса (Z,Q,R,C), онда сызыты операторды сызыты функционал деп атайды.

4). Егер V жне V¢ кеістіктері беттессе, онда V кеістігінде берілген сызыты операторды, кейде, сызыты трлендіру деп те атайды.

Осыларды ескеріп, векторлы кеістікте берілген (аныталан) сызыты операторды анытамасын былайша тжырымдауа болады:

Анытама.

def

( : V V –сыз. операт.) ( а,b V , F ( a+ b)= (a)+ (b) )

Бл анытамадан, векторлы кеістікте берілген сызыты оператор – сол кеістікті эндоморфизмі екені тсінікті.

Сызыты операторды анытамадан шыатын 2 арапайым асиеттері бар:

1 . = = 0 F болса, ( 0 ) = 0 сызыты оператор нольдік векторды орынында алдырады (немесе сызыты оператор нольдік векторды з – зіне кшіреді).

2 . Операторды сызыты болу шартын бірнеше векторлар шін жалпылауа болады, яни

( а + ... + а ) = (a ) + ... + (а ).

Мысалдар.

1). Кезкелген V векторлы кеістігінде тепе – те бейнелеу (х) = х (х V) сызыты оператор болады. Шынында да,

( a + b) = a + b = (a) + (b) –сызыты оператор.

Оны бірлік оператордейді.

2). Кезкелген V векторлы кеістігіні барлы векторын нольдік вектора кшіретін (х) =0(х V) бейнелеуі де сызыты оператор болады. Шынында да, ( a+ b) = 0= 0+ 0= (a) + (b) –сызыты оператор.

Оны нольдік оператордейді.

3). С – здіксіз функциялар кеістігінде бейнелеу ретінде дифференциал- дау задылыын d(f ) = f ¢ алайы. Онда ол да сызыты оператор болады. Шынында да, d( a + b) = ( a + b)¢ = |дифференциалдау ережелері бойынша| = a¢ + b¢ = d(a)+ d(b) d–сызыты оператор.

Оны дифференциалдау операторыдейді.

4). Айталы, V векторлы кеістігі зіні екі ішкі кеістігіні тура осындысы болсын: V = W W . Онда х = х + х бірмнді рнектелуіндегі

х – х векторыны W -ге проекциясы ( W -ге параллель) деп,

х – х векторыны W -ге проекциясы ( W -ге параллель) деп аталады.

х векторына х векторын сйкестікке оятын задылыты арастырайы. Оны V кеістігін W ішкі кеістігіне (W -ге параллель) проекциялау деп атап, деп белгілейді: (х) = х .

(Сйкесінше, (х) = х алынса, ол V кеістігін W ішкі кеістігіне (W -ге параллель) проекциялау болады).

осынды тура осынды боландытан, рбір х векторы шін х бірмнді аныталады. Сондытан задылыы, шынында да, бейнелеу болады. Осы бейнелеуі сызыты оператор болатынын зііз тексерііз.

Оны проекциялау операторыдейді.

5). F рісінде берілген кезкелген V векторлы кеістігінде, тратандырылан F скаляры шін, (х) = х (х V) бейнелеуі де сызы- ты оператор болады. (Тексерііз).

Оны састы операторыдейді.