Сызыты операторлара амалдар олдану
n 
1. Сызыты операторлар жиыны.
Сызыты операторларды тедігі
F рісінде берілген n лшемді V 
векторлы кеістігіне сер ететін сызыты операторларды жиынын L(V ) деп белгілейік. Сонда
L(V ) = 
| : V 
V & – сызыты 
.
Сызыты операторларды тедігі, деттегіше, бейнелеулерді тедігі ретінде аныталады: , 
L(V )
def
( = ) 
( 
х V (х) = (х) ) (*)
Егер екі сызыты оператор те болса, онда белгілі – бір базистегі оларды матрицалары да те болады: 
.
n 2. Сызыты операторларды осу
Айталы, , L(V ) болсын. Мынадай задылы анытайы:
( + ) (х) = (х) + (х) , х V (4)
Осы аныталан + задылыы мен сызыты операторларыны осындысы деп аталады.
Лемма. + осындысы сызыты оператор болады.
Длелдеу. х V шін (х) жне (х) векторлары бірмнді аныталан, себебі , – сызыты операторлар. Векторлы кеістікте + БАО боландытан, (х) + (х) векторы да бірмнді аныталады. Онда + задылыы бейнелеу (оператор) болады. Сызыты болатынын крсетейік.
(4) , с.оп.
( + )( 
х+ 
у) = ( х+ у) + ( х + у) = (х)+ (у)+ (х)+ (у)= =|в.к.акс. | = ( (х)+ (х)) + ( (у)+ (у)) = |(4) бой. |= ( + )(х)+ ( + )(у).
Онда + L(V ).
Анытама. Берілген жне сызыты операторларына + сызыты операторын сйкестікке оятын амалды сызыты операторларды осу амалы деп атайды.
Сонымен, L(V ) жиынында + БАО-сы аныталды.
осынды + сызыты операторды матрицасын анытайы. V кеістігі- ні андай да бір е 
, е 
, ... , е базисіндегі сызыты операторыны матрицасы А 
, сызыты операторыны матрицасы А 
болсын. осынды
+ сызыты операторыны осы базистегі матрицасын А 
деп белгілейік
Онда (2¢) бойынша 
= А 
; екінші жаынан, (4) бойынша
||
= 
+ 
= А + А = =|матрицаларды кбейту осуа атысты дистрибутивті боландытан| =
=( А + А ) ; бдан, векторды базис арылы жіктелуіні бірмнділігінен, екі жіктелуді коэффициенттеріні тедігі шыады: А = А + А . (*)
(Соы тедікті зііз сзбен оыыз).
L(V ) жиынында аныталан + БАО-ны тмендегідей асиеттері бар:
1 . , L(V ) + = +
2 . , , 
L(V ) ( + )+ = +( + )
3 . L(V ) + 
=
4 . L(V ) 
(– ) L(V ) +(– ) = .
Бл асиеттерді здерііз длелдеіз. Нсау. 4 асиетте алдымен (– ) задылыын анытап алу керек, сонан кейін оны сызыты екенін крсету керек, соында -ге арама-арсы болатынын длелдеу керек.
Аныталан (4) амалды асиеттерінен L(V ) жиыны абельдік группа болатыны шыады: 
L(V ), + 
– абельдік группа.
n 3. Сызыты операторды скаляра кбейту
Айталы, L(V ), 
F болсын. Мынадай задылы анытайы:
( 
)(х) = (х) , х V (5)
Осы аныталан задылыы сызыты операторыны 
скалярына кбейтіндісі деп аталады.
Лемма. (5) формуламен аныталан задылыы сызыты оператор болады.
Длелдеу. сызыты оператор боландытан х V шін (х) векторы бірмнді аныталан. Векторлы кеістіктегі скаляра кбейту амалыны берілуінен (х) векторы да бірмнді аныталатыны шыады. Онда задылыы бейнелеу (оператор) болады. Сызыты болатынын крсетейік.
(5) с.о. в.к.акс.
( )( х+ у) = ( х+ у) = ( (х) + (у) ) = (х) + (у) = = |в.к.акс.| = ( (х)) + ( (у)) = |(5) бой.| = ( )(х) + ( )(у).
Онда L(V ).
Анытама. Берілген сызыты операторына сызыты операторын сйкестікке оятын амалды сызыты операторды скаляра кбейту амалы деп атайды.
Ескерту. Аныталан скаляра кбейту амалы L(V ) жиынында сырты амал болады.
Осы сызыты операторыны матрицасын анытайы. V кеістігіні андай да бір е , е , ... , е базисіндегі сызыты операторыны матрицасы А болсын. Аныталан сызыты операторыны осы базистегі матрицасын А 
деп белгілейік.
Онда (2¢) бойынша 
= А ; екінші жаынан, (5) бойынша
||
= = А ; бдан, векторды базис арылы жіктелуіні бірмнділігінен, екі жіктелуді коэффициенттеріні тедігі шыады: А = А . (Тедікті сзбен оыыз).
L(V ) жиынында аныталан скаляра кбейту – сырты амалыны мынадай асиеттері бар:
1 . L(V ) 
F ( 
= 
2 . L(V ) F ( 
= 
3 . , L(V ) 
F ( + ) = +
4 . L(V ) 1· = , мндаы 1 – F рісіні бірі.
(асиеттерді длелдеуі збетімен).
(4), (5) амалдарды анытамасы мен оларды асиеттерінен L(V ) жиыныны зі F рісінде берілген векторлы кеістік райтыны шыады:
L(V ), +, 
F – векторлы кеістік.
Сонда, рісте берілген векторлы кеістіктегі сызыты операторлар жиыны, зі, сол рісте берілген векторлы кеістік райды.
n 4. Сызыты операторларды кбейту
Айталы, , L(V ) болсын. Мынадай задылы анытайы:
( 
) (х) = ( (х)) , х V (6)
Осы аныталан задылыы мен сызыты операторларыны кбейтіндісі деп аталады.
Лемма. кбейтіндісі сызыты оператор болады.
Длелдеу. сызыты оператор боландытан, х V шін (х) векторы бірмнді аныталан, ал де сызыты оператор боландытан ( (х)) векторы бірмнді аныталан. Онда задылыы бейнелеу (оператор) болады. Оны сызыты болатынын тексерейік.
(6) с.оп. с.оп. (6)
( )( х+ у)= ( ( х+ у)) = ( (х)+ (у)) = ( (х))+ ( (у)) =
= ( )(х) + ( )(у).
Онда L(V ).
Анытама. Берілген жне сызыты операторларына сызыты операторын сйкестікке оятын амалды сызыты операторларды кбейту амалы деп атайды.
Сонымен, L(V ) жиынында · БАО-сы аныталды.
Кбейтінді сызыты операторды матрицасын анытайы. V кеіс- тігіні андай да бір е , е , ... , е базисіндегі сызыты операторыны матрицасы А , сызыты операторыны матрицасы А болсын. Кбейтінді сызыты операторыны осы базистегі матрицасын А 
деп белгілейік.
Онда (2¢) бойынша 
= А · ; екінші жаынан, (6) бойынша
||
= ( ) = (А ) = | с.оп.|= А ( ) =
= А = А А ; бдан, векторды базис арылы жіктелуіні бірмн- ділігінен, екі жіктелуді коэффициенттеріні тедігі шыады:
А = А ·А . (**)
Соы тедікті сзбен оыыз.
L(V ) жиынында аныталан · БАО-ны тмендегідей асиеттері бар:
1 . , , L(V ) ( ) = ( )
2 . , , L(V ) ( + ) = + 
& ( + ) = +
3 . L(V ) 
= =
Бл асиеттерді здерііз длелдеіз.
Аныталан (4), (6) амалдар мен оларды асиеттерінен L(V ) жиыны бірі бар саина болатыны шыады: L(V ), +, · – бірі бар саина.
Сонда, рісте берілген векторлы кеістіктегі сызыты операторлар жиыны саина райды.Оны сызыты операторлар саинасы дейді.
Жоарыда, §5-те біз, n лшемді векторлы кеістіктегі сызыты операторлар мен n–ші ретті квадрат матрицалар арасында зара бірмаыналы сйкестік (биекция) болатынын крдік. Ал осы §8-гі n 2, n 4 – ді нтижесінен бл сйкестікті аддитивті жне мультипликативті болатыны шыты ( (*), (**) формулаларын ара). Онда, сызыты операторлар саинасы мен квадрат матрицалар саинасы изоморфты боланы:
L(V ), +, · 
М (F), +, · .