Тема : Проверка статистических гипотез.

Задача 2.По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98. Выборка: =182

Решение. Для построения интервального ряда распределения определим число групп в ряду распределения по формуле Г.А. Стерджесса:

.

Принимаем число интервалов .

Максимальное значение ряда 103, минимальное значение ряда 55.

Длина интервала: .

Центр распределения: .

Поскольку число интервалов нечетное, центр распределения находится в центре среднего интервала.

Полученный ряд распределения: (52-58); (58-64); (64-70); (70-76); (76-82); (82-88); (88-94); (94-100); (100-106).

Принимаем гипотезу , утверждающую, что случайная величина имеет нормальный закон распределения. В качестве критерия для проверки этой гипотезы используем случайную величину – критерий согласия Пирсона, который имеет приближенное распределение с числом степеней свободы . Здесь – число интервалов, на которые разделена область изменения ; – количество неизвестных параметров теоретического распределения, оценки которых вычисляются по выборке; – объем выборки; - эмпирические частоты; - теоретические частоты, где - вероятность попадания значения признака в -й интервал. Чтобы утверждение о распределении случайной величины по закону было достаточно точным, требуется выполнение условия . В случае невыполнения условия для некоторых интервалов, их объединяют с соседними интервалами.

Теоретические частоты вычислим по формулам: , где , - значения функции Лапласа ( – находится по таблице).

Левый конец первого интервала принимаем равным – ¥, а правый конец последнего интервала + ¥.

Определим эмпирические частоты и характеристики выборки:

 

№ n/n	Интервалы	Частоты	Середины интервалов
	52-58			-21,53	2045,82
	58-64			-15,53	3588,92
	64-70			-9,53	2929,85
	70-76			-3,53	894,67
	76-82			2,47	65,18
	82-88			8,47	1799,57
	88-94			14,47	3403,81
	94-100			20,47	3006,11
	100-106			26,47	1933,14
					19667,08

 

Характеристики выборки рассчитываются по следующим формулам:

Выборочное среднее

Выборочная дисперсия

.

 

Среднеквадратическое отклонение:

.

Определим доверительный интервал для . Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал:

< a < , где S – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение

, находят по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному числу степеней свободы и уровню значимости . Для = 0,98 ( и =182: .

< < , отсюда

75,82 < < 79,42.

Таким образом, интервалом, покрывающим с вероятностью 0,98, служит интервал (75,82; 79,42).

 

Для вычисления теоретических характеристик учитывая, что , , , составим расчетную таблицу:

 

	Границы интервала
				-1,887	-0,5	-0,4706	5,3508
			-1,887	-1,310	-0,4706	-0,4049	11,957
			-1,310	-0,733	-0,4049	-0,2673	25,043
			-0,733	0,155	-0,2673	-0,0636	37,073
			0,155	0,422	-0,0636	0,1628	41,205
			0,422	0,999	0,1628	0,3413	32,487
			0,999	1,576	0,3413	0,4429	18,491
			1,576	2,153	0,4429	0,4846	7,5894
			2,153		0,4846	0,5	2,8028
							182,00

Поскольку для последнего интервала теоретическая частота меньше 5, объединим два последних интервала в один и на основании полученных величин найдем расчетное значение критерия Пирсона.

 

	Границы интервала
			5,3508		0,341007
			11,9574		0,090907
			25,0432		0,036555
			37,0734		0,654685
			41,2048		1,259784
			32,487		0,008101
			18,4912		0,014000
			10,3922		0,035548
			182,00		2,440587

=2,44.

Для определения критического значения критерия Пирсона найдем число степеней свободы:

.

Здесь – число групп ряда распределения в последней таблице; – число параметров нормального закона распределения, оценки которых вычислялись по выборке.

По таблице критических точек распределения для уровня значимости 0,02 и числа степеней свободы 5 находим

.

Поскольку < , то значение не принадлежит критической области и, следовательно, гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.