Несимметричные вынужденные колебания
Несимметричные колебания СП с нелинейными элементами
Смещение может возникать из-за постоянного внешнего возмущения, несимметрии характеристики нелинейного звена и т. п.
Рассмотрим простейший случай – несимметричную характеристику вида (рис. 11.1):
.
Из-за несимметрии к гармонической (переменной) составляющей 
добавляется постоянная составляющая 
:
.
Тогда:
где 
– смещение выходной величины. Таким образом необходимо отыс-кать три неизвестных: 
– параметры автоколебаний со смещенным центром. При постоянном внешнем воздействии выражения аналогичны. Далее будет рассмотрен именно такой случай.
Обратимся к платформе с нелинейным симметричным ДУ. Смещение центра колебаний происходит за счет постоянного возмущающего момента 
. Будем считать, что 
(момент по оси прецессии), т. е. он слабо влияет на величину угла . Структурная схема при 
примет вид, показанный на рис. 11.2.
Передаточная функция линейного звена:
,
где 
.
Найдем 
,
где 
– постоянная составляющая 
; 
– переменная составляющая.
Уравнение системы получается из структурной схемы:
, (11.3)
где 
стремится к значению 
.
Напомним, что на выходе нелинейного элемента после линеаризации:
,
т. е. 
. Подставим 
в (11.3), получим линеаризованное уравнение системы:
. (11.4)
Учитывая, что или медленно меняющаяся величина, уравнение (11.4) можно представить в виде двух уравнений:
Первое уравнение описывает периодическое движение системы относительно центра 
, второе – положение центра колебаний в зависимости от воздействия 
. Подставляя в первое уравнение 
, получим из него следующие уравнения:
Из данной системы можно получить все необходимые параметры. Поскольку , то последнее дифференциальное уравнение следует рассматривать как 
, т. е. учитывать только свободный член операторного многочлена звена 
:
.
Тогда окончательно получим систему:
Первые два уравнения будут отличаться только видом 
и 
:
; (11.5)
. (11.6)
При симметричной нагрузке и при однозначной характеристике:
,
;
.
Автоколебания возможны только при 
, т. е. 
. Из (11.6) при находим частоту автоколебаний:
.
Параметры 
и найти таким образом сложно, сделать это возможно графически или с помощью вычислительных устройств. Для более простого случая – релейной характеристики будут следующие уравнения при 
:
; 
.
Подставляя в (11.5), получим:
,
где 
. Откуда амплитуда автоколебаний:
; (11.7)
или 
. (11.8)
Подставив (11.8) в (11.7), получим:
;
;
;
.
Вращающий момент двигателя 
больше 
– момента возмущения, поэтому автоколебания возможны, когда под синусом и косинусом аргумент 
.
Несимметричные вынужденные колебания
Пусть действует возмущающий момент вида:
,
где 
– постоянная составляющая момента .
Решение ищем как
.
Для периодической составляющей:
.
Объединив уравнения, получим:
(11.14)
Порядок вычисления 
следующий:
1. Уравнение (11.14) распадается на два, так как исследуется установившийся режим:
Для постоянной составляющей, где 
, 
:
,
тогда
Для переменной составляющей получим уравнение вида (11.13) как в случае симметричного варианта. Отличие только в том, что коэффициенты гармонической линеаризации и 
зависят не только от амплитуды 
и частоты 
, но и от смещения от 
.
2. Далее находятся три неизвестных для заданной частоты возмущения: .
Уравнение для переменной составляющей решается графически в соответствии с вышеизложенным:
.
Точка пересечения кривой 
с окружностью радиусом 
дает пару 
, которая должна удовлетворять уравнению постоянных составляющих.